三学课堂中强化学生数学思维的教学实践-以《二次函数》第一课时为例

“三学”课堂中强化学生数学思维的教学实践以《二次函数》第一课时为例

包丽（南通市启秀中学江苏南通226000）1.教学目标1.1创设情境，引导学生分析并建立两个变量之间的二次函数关系，通过类比归纳出二次函数有关概念。1.2引导学生研究、分析函数y=ax2的解析式、两个变量的对应值表，结合“描点法”画图象，帮助学生深刻认识二次函数图象特征和函性质，让学生充分体验“数形结合”的思想方法。2.教学重点与难点二次函数y=ax2的图象特征及性质。3.教学过程3.1利用实例，分析变量间的关系，帮助学生自主生成二次函数的定义及有关概念3.1.1引例（1）汽车油箱中原有汽油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y与行驶时间x的关系.y=-5x+50.（2）正方体的棱长为x，表面积为y，求y与x的关系.y=6x2.（3）n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次m与球队数n有什么关系？，即.（4）某工厂今年的产量是20件，预计今后两年每年的增长率为x，那么两年后这种产品产量y与x有什么关系？y=20(1+x)2，即y=20x2+40x+20.3.1.2二次函数定义和有关概念第一个函数是一次函数，由此复习回顾一次函数的定义及有关知识。引导学生观察后三个函数有什么共同特点。学生思考可以发现：这三个函数都是用自变量的二次式表示的，并猜想像这样的函数叫做二次函数。由此得到二次函数的定义。学生由一次函数的知识迁移得到二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。其中a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项。教师引导学生发现这两种函数都是形式定义。设计意图：这部分充分利用教材中三个二次函数模型，添加了一个一次函数模型，目的是抓住本节的研究重点，避免分散学生的注意力，这样更有利于培养学生抓住关键问题、关键环节的思维习惯。这一教学环节的研究重点是引导学生顺利找到变量间的关系，回忆函数及一次函数的定义，并由一次函数的基本概念迁移到二次函数的基本概念。利用这几个引例，学生可以自主生成新知，提高学习效率，最终激发学生学习的兴趣和热情，培养学生数学建模能力。3.2通过对二次函数y=ax2解析式特征和变量对应值表的分析、描点画图,建构二次函数y=ax2的图象特征和性质根据定义，教师引导学生思考a为什么不等于0，b、c是否可以等于0,从而强化二次函数的定义。教师提出当b、c同时为0时，二次函数即y=ax2，a可以取0以外的任意实数，最简单的就是a=0的情形。研究问题可以从最简单的情形开始，因此研究二次函数也可以从最简单的y=x2入手。3.2.1分析y=x2的解析式（1）自变量x的取值范围是什么？x为任意实数.（2）函数值y的取值范围是什么？非负实数.（3）从函数解析式的特征来看，猜想函数的图象有什么特征？如果学生有困难，教师可以给出提示：图象一定过哪个点？图象大致在什么位置？（图象过原点，除了原点以外，图象都在x轴上方.）3.2.2分析变量对应值表从变量对应值表的特点猜想图象的特征.（对称性）学生的猜想是否正确，二次函数图象是什么，需要学生通过描点画图来观察验证。3.2.3描点画图描点画图得出一条曲线.这条曲线和投篮时球所经过的路线类似，所以就叫做抛物线.实际上，二次函数的图象都是抛物线.学生通过观察图象分析函数y=x2的图象特征与性质.教师引导学生从抛物线的开口方向、对称轴、抛物线的顶点、函数的最值、函数的增减性等方面进行研究、总结。随后学生再在同一平面直角坐标系中画函数y=-x2的图象，并把它与y=x2的图象进行比较。学生画图后可以发现：函数y=-x2的图象开口向下，对称轴也是y轴，抛物线的顶点是（0，0），函数y=-x2的图象与y=x2的图象关于x轴对称。3.2.4总结概括函数的性质从开口、对称轴、顶点、最值、增减性等方面列表总结。设计意图：从特殊到一般，引导学生从函数解析式、两变量的对应值表分析、猜想函数的图象与性质，培养学生直观想象能力.再利用“描点法”画图验证猜想，帮助学生自主建构二次函数y=ax2的函数图象与性质.课程设计充分体现从“数”到“形”，再从“形”到“数”的过程，有利于帮助学生强化“数形结合”的思想，从而提升学生的数学抽象及直观想象能力。3.3练、议，深化对二次函数定义、图象及其性质的认识3.3.1说出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点、最值及增减性：y=3x2；y=-3x2；；.设计意图：练习是检验学生学习效果的重要手段，能深化学生对新知的理解和吸收。第1题加深学生对函数图象与性质的理解，训练学生的数形结合思想。第2题涵盖了本堂课的所有知识内容。教师还可以根据学生情况增加本题难度，将（4）中的条件x1〉x2〉0去掉，直接让学生讨论得出答案，这样能引导学生充分理解二次函数的增减性。设置这组练习的目的是训练学生举一反三的能力。3.4师生共同总结3.4.1本节课研究了什么内容？3.4.2如何分析得到函数y=ax2（a≠0）的函数图象及其性质？3.4.3通过这堂课，掌握了哪些研究问题的方法，有什么收获？设计意图：引导学生归纳总结本节课的知识要点及思想方法。这是学生对本节课知识点的再认识过程，通过总结能帮助学生进一步掌握知识，进一步提高数学思维能力，从而提升学习能力.在这个过程中，教师要着重重视提升学生“从一般到特殊”研究知识的能力，以及“从特殊到一般”解决问题的能力。3.5作业布置3.5.1必做题（1）一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.（2）画出函数y=4x2与的图象并说出抛物线的开口方向、对称轴及顶点3.5.2选做题在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2+1与y=x2-1的图象，并思考这两个函数的图象与抛物线y=x2有什么关系？设计意图：必做题用于复习本课内容，并进一步培养学生的模型观念、数学抽象能力。选做题可以作为学生掌握本课内容基础上的提升，进一步培养学生应用意识和创新能力。这样的分层作业，在尊重学生的个体差异基础上，让不同的人有不同的收获。实践反思：最新版《数学课程标准》指出，数学课程要培养的核心素养包括三个方面：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界。在教学中，教师要挖掘教材的相关要素，依托“三学”课堂，训练学生的数学思维。（1）注重效率，学材再建构，培养学生逐步找到思考问题、分析问题、解决问题的方法、策略和路径，逐步习惯用数学的思维思考现实世界“三学”课堂主张“学材再建构”，知识内容要源于教材，高于教材，活化教材。因此本节课的教学内容与教材有一定幅度的调整。人教版教材第一课时是二次函数的基本概念，第二课时是二次函数y=ax2的图象与性质。其实，此阶段学生已经有学习变量与函数、一次函数、二次三项式及一元二次方程等的经验，只需要简单复习旧知就可以帮助学生顺利进行知识迁移。因此，笔者将两小节内容进行统筹涉及，重新整合相应的教学目标。同时，通过选取一个一次函数模型问题及教材中的引例揭示来两变量之间的关系，突出教学重点，帮助学生为知识迁移做好准备。在这个过程中，教师重点要关注学生思考问题、分析问题、解决问题的方法、策略和路径。（2）基于主体，学法三结合,培养学生逐步形成观察事物、探究结论、研究问题的方法和归纳表达的能力，逐步习惯用数学的眼光观察现实世界“学法三结合”贯穿本课全过程，在个人学习、小组学习、全班学习中，帮助学生自主生成二次函数的定义及有关概念。在研究二次函数的图象与性质时，教师要注重培养学生探索新知识的科学思维：从解析式的特征开始观察，猜想函数图象的特征，再实际操作画图验证，最后归纳总结出二次函数的定义。在课堂教学中，教师注重培养学生观察、研究、归纳等能力，而不是直接告知结论.同时，教师引导学生认识到这样的学习研究方法在其他类型知识学习中也可以参考使用，从而实现提升学生的学力教育目标。这种基于学生为主体的“学法三结合”，就是让学生在教与学的过程中用数学的眼光观察世界，逐步养成学生养成从数学的角度观察世界的习惯。（3）加强引导，学程重生成，培养学生在思辨中总结归纳,提升学生对科学知识的热情和积极的态度，逐步习惯用数学的语言表达现实世界这堂课的重点和难点都是二次函数的图象特征及性质.为了抓住重点突破难点，笔者精心设计了三个教学层次：首先，从最简单的二次函数y=ax2入手，在教师的引导下学生研究了函数解析式、两变量的对应值表；然后，学生自己尝试画出函数图象，总结函数y=x2的图象特征和性质；最后，分别画出a=-1，a=2，a=的函数图象，再由图象总结概括二次函数y=ax2的图象特征及性质。整个教学过程充分体现“学程重生成”。教师精心创设问题情境，留给学生思考的空间，教学过程充分揭示获取知识的思维过程，从而优化学生的思维品质.教学中，学生不是被动的接受知识，而是在自主探究、亲自实践、合作交流的氛围中解决自己的困惑，并将学习的困惑及研究的成果用数学的语言表达出来，与同学分享。学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者、合作者。“三学”课堂不仅能使学生感受到合作学习的快乐，更能培养学生学习的热情和积极的态度，从而帮助学生逐步养