《垂线》人教版初中数学2课件-002

§5.1.2垂线ABCDABCD平行相交知识回顾：（1）相交（2）平行同一平面内两条直线的位置关系：E(2)(3)(1)(4)交点这四组直线有什么相同点？有什么不同点？

下图中两直线相交，形成四个角，若∠1=90°，那么∠2、∠3、∠4

分别等于多少度？1243创设问题情境：两种方法：①用量角器测量；②用平角等于180°计算：邻补角互补、对顶角相等。90°

当两条直线相交所成的四个角中，有一个等于90°时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线;这两条直线的交点叫做垂足

.“⊥”读作

“垂直于”.定义：符号：垂足有一个等于90°两条直线符号语言：∵∠1=90°（已知）∴AB⊥CD于O（垂直定义）图形语言CDABO4123符号语言：∵AB⊥CD于O（已知）∴∠1=90°（垂直定义）作用：计算或证明角度作用：证明两条线的垂直关系再探究:请同学们再举一些日常生活中垂直的例子？①“有一个角是直角”是指四个角中的哪一个角？②“互相垂直”是什么意思？③相交的两条直线都垂直吗？想一想：任意一条都是另一条的垂线不一定想一想，你知道怎么画吗？请同学们用三角板和直尺作为工具1)在图中经过直线BC外一点A,画直线BC的垂线,且讨论这样的垂线有几条？ABC“⊥”读作

“垂直于”.∴AB⊥CD于O（垂直定义）（２）经过一点画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？答案：

∠ABO=∠BOD

=30°问题3：用三角尺或量角器画已知直线l的垂线过两点有且只有一条直线也是直线____与直线____的交点，结论：则直线m即为所求垂线.结论：无论点A是在直线BC上还是在直线BC（２）经过一点画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？画∠AOB=120°，画∠AOB

的平分线OE,在OE上取一点F，

过F做OA,OB的垂线.∠AQD=∠AOF=90°方开沟,才能使沟最短?画出图来,并说明道理.如图:请同学们相互比试,谁能更快地过直线CD上一点P作直线AB的垂线,并在小组间进行交流.1)在图中经过直线BC外一点A,画直线BC的垂线,且讨论这样的垂线有几条？画垂线

标垂足1)在图中经过直线BC外一点A,画直线BC的垂线,且讨论这样的垂线有几条？∵DE⊥BC于E(已知）∴AB⊥CD于O（垂直定义）∵AC⊥BC于C(已知）CBA画一画：1、过直线外一点画出已知直线的垂线

CBAD一贴二过1.贴住

已知

直线

2.经过

已知点画法：

3.画垂线

标垂足三画结论：则直线DA即为所求垂线.想一想，你知道怎么画吗？请同学们用三角板和直尺作为工具2)若点A在直线BC上,与直线BC垂直,且讨论这样的垂线有几条？BACCBA2、过直线上一点画出已知直线的垂线

CBA一贴二过1.贴住

已知

直线

2.经过

已知点画法：

3.画垂线

标垂足三画结论：则直线m即为所求垂线.m练习:在图中，过点A分别作DE和BD的垂线.DABEDABEDABENM结论：直线AM,AN为所求垂线.合作交流：通过画图作垂线，你能得出什么结论？1)点A在直线BC外2)点A在直线BC上ABCBAC这样的垂线有几条？结论：无论点A是在直线BC上还是在直线BC

外，这样的垂线只有一条.∟∟问题3：用三角尺或量角器画已知直线l的垂线．（１）用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？无数条问题3：用三角尺或量角器画已知直线l的垂线（１）用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？（２）经过一点画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？①经过一点画已知直线l的垂线有几种情况？②通过画图，你发现过一个点可以画几条直线与已知直线垂直？垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.注：与直线性质对比过两点有且只有一条直线注：①“有”指“存在”，“只有”指“唯一”.②“过一点”的点在直线外，或在

直线上都可以.问题5：在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？思考：（1）你能将这个实际问题转化成数学问题吗？（2）在直线上有无数个点，试着取几个点与点P相连，比较一下它们的大小关系．你有什么发现？（3）你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？（4）你能用一句话总结出观察得出的结论吗？垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．2、点到直线的距离的概念：A长度C3、点到点的距离的概念：两点之间线段的长度.（如：点A到直线CD的距离：AC

）DB(如：点A到点D的距离：AD）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.ABCD垂线段探索:

如图所示：点A到直线CD上各点B、C、D的距离长短一样吗？谁最短？他具备什么条件？答案：不一样∵

AB⊥DC.∴线段AB最短简单应用：（类比问题5）某村在如图所示的河边,为解决村庄供水问题,需把河中水引到村庄A处,在河岸CD的什么地方开沟,才能使沟最短?画出图来,并说明道理.小河CD.A村庄∟理由为：垂线段最短C例题选讲：2、如图,量出村庄A与货场B的距离,货场B到铁道的距离.AB0m20m30m10m0m20m30m10m8m25m3、如图，点M、N分别在直线AB、CD上，用三角板画图，

1)过M点画CD的垂线交CD于F点,

2)M点、N点的距离是线段____的长，

3)M点到直线CD的距离是线段____的长.MNMFABCDMNF∴直线MF即为所求垂线.归纳小结1．什么是垂直？垂直和相交有什么关系？我们是如何刻画两直线垂直的位置关系的？2．垂线有哪些性质？

特殊情况

两条直线相交对顶角相等邻补角互补垂直垂线的存在唯一性垂线段最短点到直线的距离一般情况特殊情况

两条直线相交垂直垂线的存在唯一性垂线段最短点到直线的距离一般情况知识结构图如图:请同学们相互比试,谁能更快地过直线CD上一点P作直线AB的垂线,并在小组间进行交流.CDPAB∟O比一比：E结论：直线FM,FN为所求垂线.应用举例：例1.画∠AOB=120°，画∠AOB

的平分线OE,在OE上取一点F，

过F做OA,OB的垂线.ABOMNF例2.如图,已知AB与EF相交于O,

∠AOE=30°,AB⊥CD于Ｏ.求∠EOD的度数.

DABEFCO解：∵AB⊥CD于Ｏ

∴∠AOD=90°(垂直定义）∵∠AOE+∠EOD=90°

∴∠EOD=90°-∠AOE∵∠AOE=30°

∴∠EOD=90°-30°=60°（等量代换）合作学习：如图，AO⊥BO于Ｏ,

求∠AOD和∠BOC的和.DOABC90°练习：（1）按要求画图：ABCABCABCDFDEFE过A点作的BC垂线；

过B点作的AC垂线;

过C点作的AB垂线.F（2）如图，直线ＡＢ⊥CD于Ｏ,过O点的直线EF平分∠AOD,求∠COE的大小.CDFEABO解：∠COE=∠AOC+∠AOE=90°+45°=135°（3）如图，AB⊥EF于O,CD⊥AB于Q，指出∠AQD与∠AOF的关系.EDACQOBF∠AQD=∠AOF=90°画垂线

标垂足通过画图作垂线，你能得出什么结论？点D在直线____外；点D在直线____外；1）点B在直线____上，①“有一个角是直角”是指四个角中的哪一个角？如图,∠ABD=90°（２）经过一点画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？（如：点A到直线CD的距离：AC）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.画垂线

标垂足（如：点A到直线CD的距离：AC）两点之间线段的长度.方开沟,才能使沟最短?画出图来,并说明道理.答案：

∠ABO=∠BOD

=30°如图:请同学们相互比试,谁能更快地过直线CD上一点P作直线AB的垂线,并在小组间进行交流.∴AB＞AC＞CD＞DE

（不等量的传递性）的垂线1）点B在直线____上，如图，AO⊥BO于Ｏ,

求∠AOD和∠BOC的和.1.如图,∠ABD=90°1）点B在直线____上，点D在直线____外；2）直线____与直线____相交与点A，点D是直线____与直线____的交点，也是直线____与直线____的交点，又是直线____与直线____的交点;3）直线___⊥直线____，垂足为点___；4）过点D有且只有____条直线与直线AC垂直.基础练习：ABCD∟ACACABADADBDADCDBDCDBDACB一2.如图所示的各个三角形中，分别画出AB边上的高.BCAABCBCA∟∟∟DD例题选讲：

1、如图：AC⊥BC于C,

CD⊥AB于D,DE⊥BC于E,

试比较四条线段AC、DC、

DE和AB的大小.CADEBCADEBCADEB解：∵AC⊥BC于C(已知）∴AC＜AB

（垂线段最短）又∵CD⊥AD于D(已知）∵DE⊥BC于E(已知）∴CD＜AC

（垂线段最短）∴DE＜CD（垂线段最短）∴AB