物理下学期讲座电磁感应

大学物理Harbin

Engineering

University----电磁感应姜海丽Email：jianghaili@磁场变化磁通量磁场能量V2w

=

1B

•HdV感应电动势dte

=

-

df感生电动势21自感磁能

Li2互感磁能MI1I2动生电动势

(v

·

B)

•dldI自感电动势-LdtdtdI互感电动势-M本章计算可分为四个方面：动生电动势的计算；感生电动势的计算；自感和互感问题的计算；

磁场能量的计算．一、解题指南二、基本概念与基本规律dfe

=

-

dt(1)电源电动势；把单位正电荷从负极经电源内部移L(2)法拉第电磁感应基本定律：无论什么原因，使通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中将产生感应电动势，该电动势与通过回路所围面积的磁通量对时间的变化率的负值成正比．数学表达式为到正极时，非静电力所做的功．e

=

EK

dl(3)动生电动势：磁场不变，导体做切割磁力线的运动而产生的电动势

e

=

(V

·

B)

•dll（4）感生电动势：导体回路不动，通过导体回路所围面积的磁通量变化所产生的

dB

ei

=

L

E

k

dl

=

-

dt

dss(5)自感L：线圈自身的电流发生变化而引起的感应电动势的现象．通常回路中产生自感电动势的能力不同，自感系数可表示该能力大小IL

=

y（6)磁场的能量：磁场本身只有的存在于磁场所在空间线圈自感磁能2mW

=

1

LI

2总能量：VmBHdV2W

=

11．动生电动势的计算当动生电动势是一段导体产生的，则动生电动势的计算方法和步骤如下由结定的电流分布求出相应的磁场分布；在运动导线上任取一线元dl，判明它的线速度的大小和方向；计算线元上产生的动生电动势dε求整段导线上的动生电动势ε确定方向，可由有于定则或(V

·B)来确立．结论：平动：e

=Blv221BwL转动：e

=1、一导线被弯成如图所示形状，acb为半径为R的四分之三圆弧，直线段Oa长为R．若此导线放在匀强磁场中，的方向垂直图面向内．导线以角速度w在图面abcwOB2内绕5

O点匀速转动，则此导线中的动生电动势为Bw

R

2，电势最高的点是 O点

．2、如图所示，一直角三角形abc回路放在一磁感强度为B的均匀磁场中，磁场的方向与直角边ab平行，回路绕ab边以匀角速度w旋转，则ac边中的动生电动势为，整个回路产生的动生电动势为abclw30°Bl

2w

B

/

8

0

．3、无限长直导线载有电流I，其旁放置一段长度为l与载流导线在同一平面内且成60度的导线。计算当该导线在平面上以垂直于载流导线的速度v平移到该导线的中点距载流导线为a时，其上的动生电动势，并说明其方向。B

=

m0

I

/(2pr)(v

B) d

l=

vB

d

l

cos

60d

e

=

·

d

l

=

d

r

/

cos30r1

=

a

-

3l

/

4d

e

=

vB

tg

3，0 d

rr2e

=

vB

tg

30 d

rr1r2

=

a

+

3l

/

42

3π

a

-

3l

/

4e

=

m0

Iv

ln

a

+

3l

/

4r0LoqwI˜

B4、一无限长竖直导线上通有稳定电流I，电流方向向上。导线旁有一与导线共面、长为L的金属棒，绕其一端O在该平面内顺时针匀速转动，如图。转动角速度为w

，O点到导线的垂直距离为r0(r0>L)。试求金属棒转到与水平面成q角时，棒内感应电动势的大小和方向。其中:

x

-

r0

=

l

cosqdx

=

dl

cosqao=m

Iwlr0

+L

cosqr002pxe

=

(v

·

B)

dl

解：00rdxr2p

cos2

q2p

cosqm0

Iw

L2px

cosq

cosqw

0

(

0)m0

Iw

r0

ln

ro

+

L

cosq-=m

I

x

-

re

=r0+L

cosqr0odlqwdl

I˜

BxIaA5.如图所示，在纸面所在的平面内有一载有电流I的无限长直导线，其旁另有一边长为l的等边三角形线圈ACD．该线圈的AC边与长直导线距离最近且相互平行．今使线圈ACD在纸面内以匀速

v

远离长直导线运动，且与长直导线相垂直．求当线圈AC边与长直导线相距a时，线圈ACD内的动生电动势e．（2009.1）CvD

CA(v

·

B)

dl1e

=DC(v

·

B)

dl2e

=AD(v

·

B)

dl3e

==

e1

+

e2

+

e3解：e

=

ACDA

(v

·

B)

dl2

π

a1e

=

vlB

=

vl

m

0

IaIACvD方向：A指向C(v

B) d

l2=

-vB

cos

60 d

ld

e

=

·

sin

60cos

6002d

x2pxm

Id

e

=

-v2sin

60a

+l

cos

30ad

x-

v

0

cos

602pxm

Ie

=02ln6pe

=-同理

e3

=e2a3m

Iv

a+l

3/

2]2021aa+

3

l[

-

ln2π

a

3m

Iv

l

2

3e=e

-2e

=其方向为顺时针6、一半径r=10cm的圆形闭合导线回路置于均匀磁场B

(B=0.80T)中，B与回路平面正交。若圆形回路的半径从t=0开始以恒定的速率(dr/dt=-80cm/s)收缩，则在t=0时刻闭合回路的感应电动势的大小是多少？如要求感应电动势保持这一数值，则闭合回路面积应以怎样的恒定速率收缩？7、有一很长的长方形U形导轨，与水平面成q

角，裸导线ab可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感应强度B垂直向上的均匀磁场中，如图所示。设导线ab的质量为

m，电阻为R，长度为l，导轨的电阻略去不计，abcd形成电路，t=0时，v=0，试求：导线ab下滑的速度v与时间t的函数关系。Babq感生电动势的计算感生电动势问题的计算，直接使用法拉第电磁感应定是通常采用的方法．除此法之外，也可用感生电动势的定义来直接计算．用法拉弟电磁感应定律求解问题时常用的基本方法及步骤如下。选取回路绕行正方向，并规定回路平面法向方向，使绕行方向与平面法向矢量成右手螺旋系统；计算通过回路平面的磁通量，此处计算时一定要分清磁场的分布情况，再根据分析情况使用相应的公式作计算；计算感应电动势，在求导要注意分清哪个物理量是时间的函数；根据ε的正负判断ε的方向．例、一半径为R的长直螺线管，dB/dt>0，且为常数。在其内放一导线ab，长为l.求：1）管内外的涡旋电场；2）ab上的感应电动势；3）当ab=bc=R时，ac上的感应电动势。ab·

·

·

·

·

·O·

·

·

·

·

··

·

·

·

·

·c解：（1）如图，因dB/dt>0，所以涡旋电场的方向为逆时针。dS=

-

dB由

E

dldt在管内取半径为r的同心环路，管内则有dt

2

dt\E

=

dB

E

=

r

dBpr

22pr管外则有R

dBdt2r

dtE

=

dBpR

2

\

E

=2pr方向沿逆时针。（2）如图，选闭合回路oab

三角形，oaSoabdtdBdt=

-

dBab

E

dl

+

E

dl

+

E

dlbodS得

由

E

dldB2

dtSoab1

dBdt=

lh即：eab

==

E

dl

=

eab

=ab另解：babba

ar

dB

h

1

dBdx

=

lhr

2

dt=

2

dteab

=

E

dl

=

E

cosqdx

Oa·Bh

qEdx

babcO·Bd12R

2

)dt

4dB(3)同理caeac3

R

2

+

p=

dB

(=

(Soab

+

Sobddt

=

E

dl

=

E

dl1、在半径为R的圆柱形空间内，存在磁感强度为B的均匀磁场，B的方向与圆柱的轴线平行．有一无限长直导线在垂直圆柱中心轴线的平面内，两线相距为a，a>R，如图所示．已知磁感强度随时间的变化率为dB

/dt，求长直导线中的感应电动势e，并说明其方向．2、如图所示，有一弯成q

角的金属架COD放在磁场中，磁感强度B的方向垂直于金属架COD所在平面．一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度

V向右滑动，与MN垂直．设t

=0时，x

=0．求下列两情形，框架内的感应电动势Ei．磁场分布均匀，且不随时间改变.非均匀的时变磁场B

=Kx

cosw

tCDOxMNqBv21F

=

B

xy y

=

tgq

xx

=

vt1d

t

2iB

tgq

x2

)e

=

-dF

/d

t

=

-

d

(COxMNvDq

h

Bx

dx解：(1)由法拉第电磁感应定律：=

-

1

B

tgq2x

d

x

/d

t

=

B

tgqv

2

t2在导体MN内Ei方向由M向N．B

=

Kx

cos

w

t(2)对于非均匀时变磁场取回路绕行的正向为O→N→M→O，则dΦ=

B

d

S

=

Bh

dxh

=

x

tgqdF

=

Bx

tgq

dx

=

Kx

2

cosw

t

tgq

dxx133Kx

cosw

t

tgqF

=

dF

=

Kx

2

cosw

t

tgq

dx

=0id

te

=

-

dΦ3=

1

Kw

x3

sin

w

t

tgq

-

Kx

2v

cosw

t

tgq3=

Kv

3

tgq(1

w

t

3

sin

w

t

-

t

2

cosw

t)Ei

>0，则Ei方向与所设绕行正向一致，Ei

<0，则Ei方向与所设绕行正向相反．3、电荷Q均匀分布在半径为a、长为L(L>>a)的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度w绕中心轴线旋转．一径为2a、电阻为R的单匝圆形线圈套在圆筒上(如图所示若圆筒转速按照w

=w

0

(1

-t

/t0

)的规律(w

0和t0是已知常数)随时间线性地减小，求圆形线圈中感应电流的大小和流向．w解：旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流QL

2π按长螺线管产生磁场的公式，筒内均匀磁场磁感强度为B

=

m0Qw2pLm

Qwa

2F

=

pa

2

B

=

0

方向沿筒的轴向2Lt02L

d

td

td

wm

Qa

2

m

Qa

2w=

-

0

=

0

0

d

Fe

=

-2L在单匝线圈中产生感生电动势为R

2RLt0m

Qa

2we感应电流i

==

0 0

其流向与圆筒转向一致．4、两根平行无限长直导线相距为d，载有大小相等方向相反的电流I，电流变化率dI/dt=l

>0．一个边长为d的正方形线圈位于导线平面内与一根导线相距d，如图所示．求线圈中的感应电动势e，并说明线圈中的感应电流的方向．ddII解：1.规定回路的正方向

2.计算任意时刻的磁通量2px

2p

(

x

-

d

)m0

IB

=

m0

I

-dF

=

B dS

=

BddxF

=

dF-F

=3d2d0]ddx[m0

I2px

2p

(x

-

d

)m

IoxdxddII4F

=

m0

Id

ln

32p3.计算回路中的电动势340l

lnm

d3

d

t

2p4

d

Ie

=

-

dΦ

=

m0

d

(ln

)

=d

t

2p方向：顺时针3．关于自感和互感问题的计算关于自感和互感的计算问题，是本章要求掌握的计算问题之一．自感相互感的计算方法大致相似，仅略有不同，通常在线圈周围无铁磁性物质．且周围磁介质的磁导率不变时，求线圈自感的基本方法步骤如下：(1)设线圈中有电流I通过；

(2)求由I产生的磁感应强度B(3)计算线圈的磁链；(4)出Ψ＝LI计算L．1、一无限长直导线通有电流-3tI

=

I

0

e一矩形线圈与长直导线共面放置，其长边与导线平行，如图所示。求：（1）矩形线圈中感应电动势的大小及方向；（2）导线与线圈的互感系数。Il内通以交变电流Oibi

=

I0

coswt2、一矩形截面的螺绕环（μr=1），由细导线均匀密绕而成，内半径为R1，外半径为R2，高为b，共N匝。在螺绕环的轴线上，另有一无限长直导线，如图所示。在螺绕环i

>0

时电流方向如图求当时,在无限长直导线中的感应电动势的大小和方向。4wt

=

p4．磁场能量的计算磁场本身是具有能量的，因此计算磁场的能量时，一是要清楚磁场的分布情况，二是要清楚计算的是全部能量还是磁场中的某一部分能量，明确了上面两个问题后，用下面的基本步骤来解磁场能量问题确立体积元dv．根据场分布的特征取不同形状体积元．作能量空间积分21

1B

2Wm=

=

BH

=

mHV

2m

2

2（1）计算磁场的能量密度w

m

=VmBHdV2W

=

11、一广播电台的平均辐射功率为20kW，假定辐射的能量均匀分布在以电台为球心的球面上。求：距电台10km处电磁波的辐射强度。2、充了电的由半径为r的两块圆板组成的平板电容器，在放电时两板间的电场强度大小为0E

=

E e

-t

/RC0，式中E

、R、C均为常数，:求:两极板间位移电流的大3、如图所示，设平行板电容器内各点的交变电场强度E

=

720

sin

105

pt正方向规定如图。求:（1）电容器中的位移电流密度；（2）电容器内距中心联线r=0.01m的一点P，当t=0,t=5*10-6s时的磁场强度的大小及方向。（不考虑传导电流产生的磁场）1无限长直导线旁有一与其共面的矩形线圈，直导线中通有恒定电流I，将此直导线及线圈共同置于随时间¶t变化的而空间分布均匀的磁场B中．设¶B

>0，当线圈以速度v,垂直