状态空间极点配置设计

状态空间极点配置设计第1页，课件共114页，创作于2023年2月

状态反馈极点配置问题，可以分成为两个部分：首先假定系统的全部状态都可能用于反馈，设计一个全状态反馈的控制系统；然后，再设计一个状态观测器，用来估计状态反馈要用的状态变量。设计中依据的参数为期望的闭环极点的位置和采样周期T。

第2页，课件共114页，创作于2023年2月4.2状态反馈极点配置

假设系统的全部状态变量都可以量测，并且都能用于反馈。如果系统是完全状态可控的，那么，用状态反馈的方法，适当地选择状态反馈增益矩阵，可以将闭环系统的极点配置在z平面的任何期望的位置。首先必须指出，状态空间中，任意极点配置的充分且必要的条件是，系统必须是完全状态可控的。

第3页，课件共114页，创作于2023年2月4.2.1状态反馈

假设连续系统由方程：

描述。只讨论单输入-单输出情况。对该系统按一定周期进行零阶保持采样得到的离散系统为：其中矩阵Ф和Г由：给出。为简化起见，将系统写为：

第4页，课件共114页，创作于2023年2月连续控制器D(s)在时间域里用微分方程来表示，把微分运算用等效差分来近似，就可得到逼近微分方程的差分方程。等效差分有前向差分、后向差分等方法。前向差分法又称为欧拉法，是用前向差分近似导数：得到差分方程；后向差分法用后向差分近似导数：来得到差分方程。4.2.1.1差分法和双线性变换法第5页，课件共114页，创作于2023年2月在上述变换变量中，相当于用(z－l)/T或者(z－l)/(zT)代替s。前面的章节已经表明，可把变量z和s用自然指数关联起来，即z＝exp(sT)。这两个差分近似相应于级数展开： （前向差分法/欧拉法）（4.1） （后向差分法）（4.2）另一种与数值积分的梯形法相对应的近似法是： （4.3）这种近似也常常叫做双线性变换，或者塔斯廷（Tustin）近似。第6页，课件共114页，创作于2023年2月使用上述近似方法时，可用下述s´直接代替G(s)中的自变量s而得到脉冲传递函数G(z)，其中： （前向差分法/欧拉法）（4.4） （后向差分法） （4.5） （双线性变换法） （4.6）从而第7页，课件共114页，创作于2023年2月（4.4）式由s平面到z平面的映射（4.5）式由s平面到z平面的映射（4.6）式由s平面到z平面的映射第8页，课件共114页，创作于2023年2月可以看出：使用前向差分法有可能把一个稳定的连续时间系统映射为一个不稳定的离散时间系统。使用后向差分近似时，一个稳定的连续时间系统将总是给出一个稳定的离散系统。但是一些不稳定连续时间系统也可能被转换成稳定的离散时间系统。而且运用后向差分法时频率被严重压缩了，不能保证频率特性不变。使用双线性变换（塔斯廷近似）将s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内。因此把连续时间系统的稳定性与离散时间系统的稳定性不变。第9页，课件共114页，创作于2023年2月经过双线性近似变换后，模拟频率与离散频率之间存在着非线性关系。设模拟频率为ω，变换后得到的离散频率为ω'，现在将s'=iω，z=eiω´T代入双线性变换式，得到：则模拟频率ω与离散频率ω'之间有如下关系：即： （4.7）4.2.1.2频率畸变现象的预防第10页，课件共114页，创作于2023年2月ω与ω´的非线性关系双线性变换造成的频率畸变第11页，课件共114页，创作于2023年2月由（4.7）式可知，在ω=0处没有频率畸变，并且ωT小时畸变也小。如果系统要求变换后的某些特定频率不能畸变时，可以采用预畸变方法来补偿。要在规定的频率ω1处没有畸变，只要把（4.6）式的双线性变换修改为下列变换即可： （频率预畸变的双线性变换） （4.8）根据（4.8）式，可以得出：即该连续时间滤波器及其近似式在频率ω1处具有同样值。不过，该方法仅仅能在规定的频率处保证不发生畸变，在其他频率处仍会有畸变。第12页，课件共114页，创作于2023年2月4.2.2基于状态模型的近似法在某些情况下，已知连续时间状态空间模型描述的控制器，希望将它离散化成离散时间近似式。可以把状态反馈控制器看作广义的P控制器。假设连续时间系统方程为： （4.12）且所有的状态都是可量测的。对应的离散系统方程为： （4.13）如果系统（4.12）是能控的，那么使用形式为： （4.14）的控制器就可任意配置该闭环系统的极点。第13页，课件共114页，创作于2023年2月对状态采样并在采样周期内保持控制信号恒定就可以实现数字形式（4.14）的控制器。随着采样周期的增加，离散闭环系统的特性开始恶化，不过，可以修改控制器以改进闭环系统的性能。假定离散时间控制器形式如下： （4.15）可以采用离散状态空间的极点配置设计方法来实现上述离散时间控制器（后续章节详细讨论）。这里讨论的是，如何使用近似方法把（4.14）式控制器转换成离散时间形式。第14页，课件共114页，创作于2023年2月用连续时间控制器（5.14）式来控制连续系统（5.12）式，得到的闭环系统为：若在采样周期内保持uc(t)不变，就可以对状态方程积分，得出： （5.16）其中：第15页，课件共114页，创作于2023年2月如果使用离散时间控制器（5.15）式控制（5.13）式所示的离散系统，则有： （5.17）一般说来不可能选择使得：但可以利用级数展开，并使T的不同幂次项相等，以使二者非常接近。假设：那么：和第16页，课件共114页，创作于2023年2月取即当 （5.18）时，直到T2阶为止，系统（5.16）式和（5.17）式都具有同样的极点。当直到并包括T阶时，在不修改L的情况下各极点也是相同的。假设（5.16）式和（5.17）式的稳态值相同可确定M的修正式。令参考值是常数并假设状态的稳态值是x0，这可以得到如下关系：和从T幂到T2幂，上述两个关系式左边的级数展开式是相等的。第17页，课件共114页，创作于2023年2月现在来确定以使上述两个关系式右边的级数展开式对T和T2也是相等的。假设：那么：和令这得出： （5.19）第18页，课件共114页，创作于2023年2月故修正的离散时间控制器为（重新列写）：

（5.15）其中：

（5.18）

（5.19）第19页，课件共114页，创作于2023年2月在连续时间控制系统中，PID控制器应用得非常广泛。其设计技术成熟，长期以来形成了典型的结构，参数整定方便，结构更改灵活，能满足一般的控制要求。特别是PID控制技术有其突出的优点，当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其他设计技术难以使用，系统的控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。因此，PID控制具有很大的适应性和灵活性。当今，数字计算机广泛地应用于控制系统中。数字PID控制比连续PID控制更为优越，因为计算机程序的灵活性，很容易克服连续PID控制中存在的问题，经修正而得到更完善的数字PID算法。5.2.3数字PID控制器第20页，课件共114页，创作于2023年2月5.2.3.1连续PID控制器在连续时间系统的实际应用中，常常根据受控对象的特性和控制的性能要求，灵活地采用不同的控制组合，构成比例（P）控制器比例+积分（PI）控制器和比例+积分+微分（PID）控制器 （5.23）式中 KP—比例放大系数；

TI—积分时间；

TD—微分时间。第21页，课件共114页，创作于2023年2月比例控制能迅速反应误差，从而减小稳态误差。但是，比例控制不能消除稳态误差。比例放大系数的加大，会引起系统的不稳定。积分控制的作用是，只要系统有误差存在，积分控制器就不断地积累，输出控制量，以消除误差。因而，只要有足够的时间，积分控制将能完全消除误差，使系统误差为零，从而消除稳态误差。积分作用太强会使系统超调加大，甚至使系统出现振荡。微分控制可以减小超调量，克服振荡，使系统的稳定性提高，同时加快系统的动态响应速度，减小调整时间，从而改善系统的动态性能。应用PID控制，必须适当地调整比例放大系数KP，积分时间TI和微分时间TD，使整个控制系统得到良好的性能。第22页，课件共114页，创作于2023年2月PID控制器在连续-时间工业控制系统中是由硬件设备实现的。而在计算机控制系统中，PID控制器是通过计算机PID控制算法程序实现的。进入计算机的连续时间信号，必须经过采样和整量化后，变成数字量，方能进入计算机的存贮器和寄存器，而在数字计算机中的计算和处理，不论是积分还是微分，只能用数值计算去逼近。因此在数字计算机中，PID控制规律的实现，也必须用数值逼近的方法。当采样周期相当短时，用求和代替积分，用差分代替微分，使PID算法离散化，将描述连续时间PID算法的微分方程，变为描述离散时间PID算法的差分方程。5.2.3.2离散化第23页，课件共114页，创作于2023年2月用矩形求和代替积分时，有： （5.24）用差分代替微分： （5.25）将式（5.24）、（5.25）代入式（5.23），PID算法变为： （5.26）或

（5.27）第24页，课件共114页，创作于2023年2月式中：

u（k）—第k

个采样时刻的控制；

KP

—比例放大系数；

KI

—积分放大系数： ；

KD

—微分放大系数： ；

T—采样周期。式（5.26）或（5.27）是数字PID算法的非递推形式，称全量算法。算法中，为了求和，必须将系统偏差的全部过去值e(j)（j=1，2，3，…，k）都存贮起来。这种算法得出控制量的全量输出u(k)，是控制量的绝对数值。在控制系统中，这种控制量确定了执行机构的位置，故将这种算法称为“位置算法”。第25页，课件共114页，创作于2023年2月当执行机构需要的不是控制量的绝对值，而是控制量的增量（例如去驱动步进电动机）时，需要用PID的“增量算法”。由位置算法求出：再求出：两式相减，得出控制量的增量算法：

（5.28）（5.28）称为增量式PID算法。第26页，课件共114页，创作于2023年2月PID控制算法的简化示意图对增量式数字PID算法（5.28）归并后，得：

（5.29）其中：

第27页，课件共114页，创作于2023年2月表达式（5.29）已看不出是PID的表达式了，也看不出P、I、D作用的直接关系，只表示了各次误差量对控制作用的影响。从式（5.29）看出，数字增量式PID算法，只要贮存最近的三个误差采样值e（k）、e（k-1）、e（k-2）就足够了。KP、TI、TD、T都预先选择好，因而每次采样后计算很方便。利用增量算法，可以得出位置的递推算法：

（5.30）PID算法的选择，与受控对象的执行元件有关系。若系统的执行部件是步进电动机，用位置算法就不合适，因为步进电机本身就具有积分作用，因而要选用增量算法进行控制。第28页，课件共114页，创作于2023年2月用增量算法的PID控制器有以下优点：增量算法不需要做累加，控制量增量的确定仅与最近几次误差采样值有关，计算误差或计算精度问题，对控制量的计算影响较小。而位置算法要用到过去的误差的累加值容易产生大的累加误差。增量式算法得出的是控制量的增量，例如阀门控制中，只输出阀门开度的变化部分，误动作影响小，必要时通过逻辑判断限制或禁止本次输出，不会严重影响系统的工作。而位置算法的输出是控制量的全量输出，误动作影响大。采用增量算法，易于实现手动到自动的无冲击切换。第29页，课件共114页，创作于2023年2月实际的控制系统中，存在着饱和特性。当控制变量达到一定值后，系统的输出变量不再增长，系统进入饱和区。这就要求系统的控制变量必须限制在某个范围之内，即：有时候，对控制量的变化率也有限制：若计算得到的控制量超出了上述范围，系统实际执行的不是控制量的计算值，而是控制量的最大值（umax或umin），控制达不到预期的效果，甚至引起振荡。这种现象在开工、停工或大幅度改变给定值的情况下尤其容易发生。5.2.3.3数字PID的改进算法第30页，课件共114页，创作于2023年2月PID位置算法的积分饱和当误差信号e

较大时，由数字PID位置算法计算得出的控制u很大，以至u>umax，如图中曲线a。控制系统这时执行的控制，实际上是u=umax，而不是计算值u，见图中曲线b。被控量的增长显然比不考虑饱和时的增长要慢。可以看到，受控量增长慢，正误差值的积累更大，当受控量增长到等于给定值时，误差等于零，但误差和积累项累积值很大，控制量u还将继续维持饱和，经过相当的时间（图中τ）后。才脱离饱和，这样，使系统被控量的超调量明显加大，严重的情况下，会引起系统出现振荡。PID位置算法中，“饱和”主要由积分项引起，称为“积分饱和”。第31页，课件共114页，创作于2023年2月是在误差量较大时，不进行积分，控制量u的计算中，只计算比例项和微分项，直到误差达到一定值之后，才加入积分累积，如图中曲线b所示。控制量不易进入饱和区，即使进入饱和区了，也能很快退出，系统被控量的特性，比直接用PID位置算法时的特性有了改善。积分分离法的PID算法为： （5.31）其中：ε为门限值，见图所示。用积分分离的改进算法效果较好，程序简单。5.2.3.3.1积分分离法用积分分离法克服积分饱和a—不采用积分分离法；b—采用积分分离法；0<t<τ积分不累积，t>τ后积分累积。第32页，课件共114页，创作于2023年2月基本思想是，当控制进入饱和区以后，便不再进行积分项的累加，而只执行削弱积分的运算。因而,在计算u(k)时，先判断u(k-1)是否已超出限制值，若u(k-1)>umax，则只累加负偏差，若u(k-1)<umin，则累加正偏差。这种算法可以避免控制量长时间停留在饱和区。用消弱积分法的PID算法时，系统响应和控制量示于图中。5.2.3.3.2遇限消弱积分法遇限消弱积分法克服积分饱和第33页，课件共114页，创作于2023年2月在上述数字PID算法中，采用梯形积分取代矩形积分，从而提高积分项运算精度，减少残差。在此基础上，可采用有效偏差法来克服积分饱和。其思想是将实际执行的控制量对应的误差值作为有效误差值，进行积分累加，而不用实际的误差值进行积分累加。5.2.3.3.3梯形积分和有效偏差法第34页，课件共114页，创作于2023年2月数字PID增量算法中没有累加和项，不会出现积分饱和，避免了大的超调和振荡。但在增量算法中，可能出现比例与微分饱和现象。5.2.3.3.4数字PID增量算法的比例与微分饱和及其抑制PID增量算法的比例与微分饱和(a)无限制时的控制结果(b)(c)控制量及其变化率受限制时的比例和微分饱和第35页，课件共114页，创作于2023年2月当给定量发生较大的跳变时，PID增量算法中的比例＋微分部分计算得之控制量可能很大。当控制量的计算值超过了限制值时，即u>umax，或u<umin时，实际上执行的控制量不是计算值，而是umax或是umin，如上图所示。（a）绘出了控制系统无饱和时，系统的给定量、响应y和控制量u。当系统无饱和时，控制量u不受限制，则被控制量响应较快。图（b）绘出了有饱和时系统的给定量、响应y和控制量u。当系统有饱和时，若出现控制量的计算值u>umax，实际系统中只能取u=umax，见（b）图中u，则系统的响应减慢。（c）绘出了当控制量的变化率受限制时，给定量的变化和系统的响应及控制量的变化曲线。从上图的分析，可以看出，比例和微分饱和，使系统的动态过程变慢，达不到计算的效果。为了抑制微分饱和，加速系统的动态过程，可以采用积累补偿法。第36页，课件共114页，创作于2023年2月积累补偿法的基本思想是，将那些因饱和而未能执行的控制增量信息累积起来，一旦有可能时再补充执行。这样，信息没有丢失，动态过程可以加快。做法是，如果计算出的Δu(k)越界，多余的未执行的控制增量将存贮在累加器中。一旦控制Δu(k)脱离了饱和区，累加器中的量将全部或部分地加到计算机算出的控制增量中，以补偿由于限制而未执行的控制。使用“积累补偿”法，可以抑制比例微分饱和。然而，由于引入了累加器，便具有积分作用，使得增量算法中也可能出现积分饱和现象。应该避免出现积分饱和。第37页，课件共114页，创作于2023年2月PID控制器有K、Ti、Td、Tt、b、N、umin和umax等参数需要选择。基本参数是K、Ti和Td。除此之外，还需要确定系统的采样周期T。实际的被控对象，特别是工业控制过程，数学模型很难准确获得，而且随着时间的变化，过程参数在不断地变化，过程模型也在缓慢地变化。因此工程上，PID控制器的参数常常是通过实验来确定，通过试凑，或者通过实验经验公式来确定。齐格勒和尼科尔斯在1942年提出了两种经典的试探规则，即阶跃响应法和最大灵敏度法，可用它们来确定控制器参数。此外，还可以运用实验凑试法等方法来选择参数。5.2.3.4参数整定第38页，课件共114页，创作于2023年2月适用于阶跃响应呈现单调特性的系统或过程。给定单位阶跃输入，记录响应曲线；在响应曲线的斜率最陡处作切线；确定斜率和切线与横坐标轴的交点；再确定参数L（称为视在死区时间）和a=RL；查表，获得控制器的经验参数。5.2.3.4.1齐格勒-尼科尔斯方法5.2.3.4.1.1阶跃响应法第39页，课件共114页，创作于2023年2月表5.1由齐格勒-尼柯尔斯阶跃响应法得到的PID参数第40页，课件共114页，创作于2023年2月关键是确定开环系统的奈奎斯特曲线与负实轴的交点。具体方法是：①选择一个足够短的采样周期，使其为被控对象纯滞后时间的十分之一以下；②把控制器与系统（或过程）相连，按选择的采样周期工作，调整参数以获得纯比例（P）控制；③逐渐增加控制器增益KP（或者说，减小比例度δ=1/KP），直到闭环系统达到稳定边界为止（出现等幅振荡），进而确定此时的临界增益Ku和临界振荡周期Tu；④通过查表得到控制器的经验参数。5.2.3.4.1.2

最大灵敏度法表5.2根据最大灵敏度法得到的PID参数第41页，课件共114页，创作于2023年2月5.2.3.4.1.3关于齐格勒-尼科尔斯方法的评价齐格勒-尼柯尔斯整定规则用两个参数表征过程的动力学特性，再通过简单的查表得到控制器参数，在概念上有吸引力，运用也非常广泛。但齐格勒-尼柯尔斯规则有以下缺点：①获得的闭环系统的相对阻尼非常低，典型值大约是ζ≈0.2；②该调整规则不能给出全部的控制器参数；③积分时间总是微分时间的4倍。通过修改表中的数值可以改善阻尼。但若要改进整定需要更多的参数。因此应当小心使用齐格勒-尼柯尔斯型整定规则。第42页，课件共114页，创作于2023年2月5.2.3.4.2实验凑试法实验凑试法是通过闭环运行或模拟，观察系统的响应曲线，然后根据各参数对系统的影响，反复凑试参数，直至出现满意的响应，从而确定PID控制参数。实验凑试，可对参数先比例，再积分，最后微分的整定步骤。PID参数对控制质量的影响不十分敏感。因而整定中，参数的选择不是唯一的。不同的比例、积分、微分的组合，可能达到相近的控制效果。实际应用中，只要受控过程或受控对象的主要指标达到设计要求，相应的控制器参数即可作为有效的控制参数。第43页，课件共114页，创作于2023年2月5.2.3.5采样周期的选择从信号的保真度来考虑，采样周期T不宜太长，香农（Shannon）采样定理给出了下限频率即ωs≥2ωmax，ωmax是原来信号的最高频率。从控制性能来考虑，T应尽可能地短，也即ωs应尽可能地高，但是采样频率越高，对计算机的运算速度要求越快，存储器容量要求越大，计算机的工作时间和工作量随之增加。另外，采样频率高到一定程度，对系统性能的改善已经不显著了。第44页，课件共114页，创作于2023年2月采样周期T的选择与下列一些因素有关：（1）作用于系统的扰动信号频率fn。通常fn越高，要求采样频率fs也要相应提高，即采样周期（T=2π/fs）缩短。（2）对象的动态特性。当系统中仅是惯性时间常数起作用时，ωs≥10ωm，ωm为系统的通频带；当系统中纯滞后时间τ占有一定份量时，应该选择T≈τ/10；当系统中纯滞后时间τ占主导作用时，可选择T≈τ。表5.3列出了几种常见的对象，选择采样周期的经验数据。（3）测量控制回路数。测量控制回路数N越多，采样周期T越长。若采样时间为τs，则采样周期T≥Nτs。（4）与计算字长有关。计算字越长，计算时间越多，采样频率就不能太高。反之，计算字长较短，便可适当提高采样频率。第45页，课件共114页，创作于2023年2月表5.3常见对象选择采样周期的经验数据第46页，课件共114页，创作于2023年2月5.2.4小结前面内容介绍了把一个连续时间控制器转换成一个数字控制器的各种不同方法。如果已有可用的模拟设计，而且需要一个数字解决方法，那么此问题还是有相当大的意义的。已经讨论了若干种计算与连续时间传递函数对应的脉冲传递函数的方法，由于双线性变换方法简单，且效果不错，因此通常采用。但值得注意的是它使滤波器的频率标度发生畸变。只要采样周期足够短，这些转换方法都能获得较好的效果。选择采样周期的一个好办法是必须遵守附加时延使相位裕量的减小量为ωcT/2（弧度）或者180ωc/ωs（度），其中ωc是剪切频率。第47页，课件共114页，创作于2023年2月5.3离散化设计方法前面所讨论的连续化设计技术，在被控对象的特性不太清楚的情况下，可以充分利用技术成熟的连续化设计技术（如PID控制器的设计技术），并把它移植到计算机上予以实现，以达到满意的控制效果。但连续化设计技术要求相当短的采样周期，只能实现较简单的控制算法。由于控制任务的需要，当所选择的采样周期比较大或对控制质量要求比较高时，必须从被控对象的特性出发，直接根据计算机控制理论（采样控制理论）来设计数字控制器，这类方法称为离散化设计方法。离散化设计技术比连续化设计技术更具有一般意义，它完全是根据采样控制系统的特点进行分析和综合，并导出相应的控制规律和算法。离散化设计方法，实质上是基于变换的方法，是将离散时间系统进行z变换后，在z域或z平面上的设计方法。常用的方法包括：最少拍设计法，根轨迹设计法，和频率响应设计法。第48页，课件共114页，创作于2023年2月5.3.1最少拍设计法最少拍设计法设计离散时间系统的准则是：离散时间系统在典型的时间域输入信号的作用下（例如阶跃输入、速度输入、加速度输入等），经过有限个采样周期（也称有限个拍），输出信号的稳态误差为零，且在尽可能少的有限个数目的采样周期，稳态误差为零。用这种方法设计的离散时间系统称为最少拍（有限拍）控制系统。本节讨论的设计方法，是针对单输入—单输出离散时间系统，给定了最佳响应特性，根据受控对象的脉冲传递函数，求取控制器的脉冲传递函数，这是z域的设计，设计过程中没有做任何的假设和近似，完全是传递函数的解析推导得出，因而也称为解析设计法。第49页，课件共114页，创作于2023年2月5.3.1.1最少拍设计法的依据考察图中绘出的离散时间系统。系统连续时间受控对象传递函数为Gp（s），零阶保持器传递函数为G0（s），输入信号为r（t），输出响应信号为y（t），则误差信号e（t）为：

e（t）=r（t）-y（t）

（5.32）采样周期为T。数字控制器脉冲传递函数为D（z），其输入信号为e（kT），输出信号为u（kT），也就是控制信号。u（kT）输入至零阶保持器，零阶保持器的输出u（t）是一个分段连续的时间信号，是受控对象的输入信号。第50页，课件共114页，创作于2023年2月上图中，把受控对象连同其前面的零阶保持器为广义的受控对象，定义其脉冲传递函数为GH（z）：

（5.33）则上图可以简化为下图。第51页，课件共114页，创作于2023年2月上图绘出的离散时间系统中，闭环脉冲传递函数Gc（z）为：

（5.34）其中，R（z）—输入序列r（k）的z变换式；

Y（z）—输出序列y（k）的z变换式。由闭环脉冲传递函数Gc（z）的表达式（5.34）中解出D（z）： （5.35）第52页，课件共114页，创作于2023年2月误差序列e（kT）的变换式为：

（5.36）其中，1-Gc（z）即为离散时间系统的误差的脉冲传递函数。用采样点的值表示，需将E（z）展开为： （5.37）一般的离散时间系统，典型的输入信号可以表示为：

（5.38）式中，A（z）为z-1的多项式。第53页，课件共114页，创作于2023年2月对单位阶跃输入信号，r（t）=1（t）：则 A（z）=1 q=0对单位速度输入信号，r（t）=t·1（t）：则

q=1第54页，课件共114页，创作于2023年2月对单位加速度输入信号：第55页，课件共114页，创作于2023年2月将式（5.38）代入式（5.36），得到：

（5.39）最少拍响应系统的设计，要求系统在有限个采样周期后进入稳态，且系统采样点的误差为零，则E（z）的展开式必为有限项。由式（5.39）则要求误差传递函数为有限项，即：

（5.40）F（z）是z

-1的有限项多项式。将（5.40）代入（5.39），有：

E（z）=A（z）F（z）

（5.41）由于A（z）、F（z）都是z

-1的有限项多项式，则E（z）也是z

-1的有限项多项式。保证了在有限个采样周期后，系统的稳态误差为零。第56页，课件共114页，创作于2023年2月由式（5.40）得出系统的闭环传递函数为：

（5.42）展开形为：

（5.43）其中，L=q＋1，L

为正整数，

p

为闭环系统的阶数。最少拍响应系统的闭环脉冲传递函数为z

-1的有限项多项式，保证系统在有限个采样周期内到达稳态。第57页，课件共114页，创作于2023年2月从式（5.43）看出，按最少拍响应的条件设计的离散时间系统，其闭环脉冲传递函数的全部极点均位于z=0处，即全部极点均位于z平面的原点。可以说，离散时间系统，当其闭环脉冲传递函数的特征方程的全部根均位于z=0的点时，即特征方程具有下面形式：

zp

=0

（5.44）其中，

p≥L，该系统在有限个采样周期内，稳态误差必为零。将（5.40）式代入（5.35）式，得：

（5.45）这便是要求的满足最少拍响应的条件的数字控制器。第58页，课件共114页，创作于2023年2月5.3.1.2最少拍设计法的限制条件（1）数字控制器的脉冲传递函数D（z）的分子多项式的阶数不能大于分母多项式的阶数。（2）如果受控对象的传递函数Gp（s）中包含有纯滞后环节e-τs，则所设计的闭环控制系统中，必须包含有纯滞后，且滞后的时间至少要等于受控对象的滞后时间。（3）如果将GH（z）展开为z

-1的级数，Gc（z）按z

-1的级数展开式中的次数最低的项的阶数，至少要与GH（z）的展开式中z

-1的最低阶数一样。例如，GH（z）按z

-1展开式中从z

-1项开始，则Gc（z）的展开式中的z

0项系数必为零，即是说，展开式必是：

（5.46）这就意味着，当用有限幅度的控制信号时，受控对象不能瞬时响应，如果GH（z）的展开式是从z

-1开始的，响应必须至少延迟一个采样周期。5.3.1.2.1物理可实现性第59页，课件共114页，创作于2023年2月在数字控制器的设计中，还必须考虑系统稳定性方面的问题，必须避免用控制器的零点对消受控对象的不稳定的极点。同样，也不能用控制器的不稳定的极点去对消受控对象中单位圆上或单位圆外的零点。为保证稳定性，设计中应该：（1）不能用D（z）来对消GH（z）的不稳定的和临界稳定的极点，则GH（z）的全部不稳定极点和临界稳定极点，必须作为[1-Gc（z）]的零点；（2）GH（z）的单位圆内的零点，用D（z）的极点对消，而GH（z）的位于单位圆外和单位圆上的零点，不能用D（z）的极点对消，而必须作为Gc（z）的零点。5.3.1.2.2稳定性第60页，课件共114页，创作于2023年2月根据上述条件选择闭环传递函数Gc（z），误差传递函数[1-Gc（z）]，D（z）等等，使得所设计的离散时间系统在有限个采样周期内，对特定类型的输入信号的作用，输出的稳态误差为零，这种设计称最少拍设计，这样设计的离散时间系统称为最少拍控制系统。但是，仅根据上述条件设计的最少拍控制系统只保证了在有限个采样周期后，系统的响应在采样点上是稳态误差为零，而不能保证任意两个采样点之间的时间范围内稳态误差为零。这种离散时间系统输出信号y（t）有振荡，称为最少拍振荡系统，或称最少拍纹波系统。离散时间系统在典型的输入信号作用下，经过有限个数目的采样周期，系统输出信号的稳态误差为零，采样点间无纹波；这样的离散时间系统称最少拍无纹波（或称无振荡）系统。第61页，课件共114页，创作于2023年2月根据物理可实现的条件和稳定的条件设计的最少拍离散时间系统是纹波系统。纹波的出现，即y（t）有振荡，这一振荡是由于受控对象的输入控制u（t）在波动引起的，要消除系统的振荡，必须对受控制对象的输入控制u（t）进行限制。无振荡系统要求在系统输出信号采样值之间不出现纹波，为此必须满足：

（5.47）这样，对受控对象的输入控制u（t）有要求：对阶跃输入信号，控制信号u（t）为常数，包括零；对速度和加速度输入信号，u（t）为单调上升或单调下降的信号，若受控对象有足够的积分环节，u（t）也可以为常数。第62页，课件共114页，创作于2023年2月解析法设计过程中，根据GH（z）和R（z），选取闭环脉冲传递函数Gc（z）和误差传递函数1-Gc（z）。由式（5.40）：1-Gc（z）=(1–z-1)NF(z)输入信号的z变换式为：

（5.48）受控对象的脉冲传递函数：

（5.49）G´H（z）为GH（z）的不含（1–z

–1）的因子部分。5.3.1.3受控对象不包含单位圆外的极、零点时的设计过程第63页，课件共114页，创作于2023年2月（1）Gc（z）的分子多项式与分母多项式的阶次差，与GH（z）分子多项式和分母多项式的阶次差相同。以保证D（z）是物理可实现的。（2）如果GH（z）按z

–1展开成级数形式，Gc（z）按z

–1展开式中，最低的指数项的次数，至少应该等于GH（z）中最低指数的次数。（3）选择[1-Gc（z）]表达式中的N，取为R（z）和GH（z）中L与N´中较大者。（4）选择F（z），通常，闭环控制系统到达稳态需之采样周期的数目为N+M，其中N，即为[1-Gc（z）]中的N；M+1为受控对象GH（z）的脉冲传递函数中极点数多于零点数的数目。例如：GH（z）中，极点数比零点数多2，M=2-1=1。根据这一点，常常能确定Gc（z）的阶数。又由于1-Gc（z）=(1-z-1)NF(z)则F（z）中包含有z0项的系数必然为1。第64页，课件共114页，创作于2023年2月例5.4

如图所表示的采样数据控制系统，受控对象的脉冲传递函数为：T

=1s，输入信号分别为：①单位阶跃②单位速度③单位加速度分别设计出相应于这三种不同输入信号的最少拍离散时间系统。解：首先，求取前面加有零阶保持器的受控对象的脉冲传递函数：第65页，课件共114页，创作于2023年2月1.对单位阶跃输入信号第一步，选择系统的闭环脉冲传递函数Gc（z）和误差的脉冲传递函数[1-Gc（z）]。（1）根据前面的分析，GH（z）中有一个z

–1，则Gc（z）中必包含一个z

–1因子。（2）GH（z）的分母中有（1-z–1），输入信号为单位阶跃信号：分母中也是（1-z–1），则N=1。（3）GH（z）中极点数比零点数多1，即M+1=1，M=0。因而Gc（z）的阶数大于或等于M+1=1。选择：

Gc（z）=z

–1 1-Gc（z）=1-z–1这样选，Gc（z）的传递函数的分子比分母低一阶，GH（z）的分子比分母多项式也低一阶。且选择：F（z）=1第66页，课件共114页，创作于2023年2月第二步，求D（z）：第三步，检验误差序列：由误差的变换函数得知，所设计的系统，当k≥1后，e（k）=0。就是说，一拍以后，系统输出等于输入信号，见图（5.25a）。设计计算正确。第67页，课件共114页，创作于2023年2月2.对速度输入信号，与对阶跃输入信号设计步骤一样：选择：F（z）=1则：解之，得：

K=2，b=-0.5第68页，课件共114页，创作于2023年2月所以：求解D（z）：检验误差误差：误差的z变换函数E（z）说明，按单位速度输入设计的系统，当k≥2之后，即二拍之后，误差e（k）=0，如图5.25（b）所示。满足题目要求。第69页，课件共114页，创作于2023年2月3.对单位加速度输入：选择：由

得出：

解之，得：

K=3b

1=-1b

2=1/3则：第70页，课件共114页，创作于2023年2月求D（z）：检验E（z）：由误差的z变换函数可知，按加速度输入信号设计的系统，当k≥3以后，即三拍之后，误差e（k）＝0，见图5.25（c）所示。第71页，课件共114页，创作于2023年2月（a）针对单位阶跃输入信号设计的系统（b）针对单位速度输入信号设计的系统（c）针对单位加速度输入信号设计的系统图5.25例5.4最少拍离散时间系统的输入、输出和误差第72页，课件共114页，创作于2023年2月系统响应：从本例的设计计算中可以看到：对同一个受控对象，当输入信号不同时，所设计得出的控制器D（z）是不同的。不同的控制器使闭环系统在不同的信号作用下，实现了最少拍控制。本例中，受控对象GH（z）的特点是：（1）分子多项式比分母多项式低一阶；（2）不包含单位圆外极、零点。在这种情况下，针对单位阶跃、单位速度和单位加速度输入作用下，得到的闭环系统和控制器列入下表5.4中。第73页，课件共114页，创作于2023年2月表5.4最少拍系统设计第74页，课件共114页，创作于2023年2月从上例的设计中，可以看到，最少拍系统的设计，是用控制器D（z）的零点去对消受控对象脉冲传递函数中的极点。对于稳定的受控对象，这种对消是允许的。然而，当受控对象的脉冲传递函数中包含有z平面上单位圆外或单位圆上的极、零点时，这种对消将导出一个不稳定的数字控制器。这是绝对不允许的。此时：（1）必须在闭环脉冲传递函数Gc（z）中加入单位圆外的零点，以消掉受控对象中的单位圆外的零点；（2）还必须在误差的脉冲传递函数[1-Gc（z）]中加入不稳定的零点，以消掉受控对象中的单位圆外或圆上的极点。这样做，保证了闭环脉冲传递函数Gc（z）是稳定的，也保证了D（z）是稳定的。5.3.1.4受控对象包含单位圆外或圆上的极、零点时的设计过程第75页，课件共114页，创作于2023年2月例5.5上例中，若受控对象传递函数为：T

=0.2s，输入为单位阶跃信号，试设计一个最少拍离散时间系统。解：与例5.4中的步骤一样。第一步，求GH（z）：第76页，课件共114页，创作于2023年2月第二步，选择闭环脉冲传递函数Gc（z）和误差的脉冲传递函数[1-Gc（z）]。选择时除物理可实现的条件外，尚需满足稳定性的条件。由于GH（z）包含有单位圆外的零点，则Gc（z）中必须包含这一零点。对单位阶跃输入：选择：则：解之，得： K=0.467，a=0.533故：第77页，课件共114页，创作于2023年2月第三步，求D（z）：第四步，检验误差：求系统响应：第78页，课件共114页，创作于2023年2月由于GH（z）中包含有单位圆外零点。该零点不能用D（z）的极点对消，而必须作为闭环脉冲传递函数Gc（z）的零点，而且GH（z）的分子中z

-1的最低阶指数为1，则Gc（z）=Kz

-1（1+1.14z

-1），为二阶方程。所以[1-Gc（z）]必然为二阶方程。针对单位阶跃输入，L=1，则F（z）不再为1，而是一阶的有限项多项式，F（z）=（1+az

-1）=（1+0.533z

-1）。这样，误差脉冲传递函数中出现了z

-1项，在k≥2以后，误差为零。右图绘出了系统的r（k）、y（k）和e（k）。第79页，课件共114页，创作于2023年2月根据物理可实现性和稳定性的条件设计的最少拍离散时间系统，在有限个采样周期后，系统的稳态误差为零。但只是在采样点上系统的输出误差为零，在采样点之间有脉动。例5.6

对例5.4中，输入是阶跃信号下设计的系统，求输出响应y（t），并求保持器的输出。解：（1）求系统的输出——采样点之间的输出，可以用修正的z变换求得，这时系统的各部分表示于上图中。采样点之间的响应的z变换为：

（5.50） （5.51）5.3.1.5最少拍无振荡系统设计第80页，课件共114页，创作于2023年2月

（5.52）当T

=1s时：求采样点间一半时间处的输出，即y（kT+ΔT）中的ΔT=0.5。有：第81页，课件共114页，创作于2023年2月由例5.4已经求得：E（z）=1第82页，课件共114页，创作于2023年2月将ΔT=0.5代入，得：计算得出的y（t）的变换函数各值对应于T=0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，7.5，8.5s时的系统输出y（t）的值。系统的输出y（t）曲线绘于图5.28（a）。第83页，课件共114页，创作于2023年2月（2）求受控对象的输入控制U：式中各系数对应了u（k）的值。保持器的输出信号u（t）对时间t

的变化曲线，绘于图5.28（b）。第84页，课件共114页，创作于2023年2月图5.28例5.6系统的响应和控制第85页，课件共114页，创作于2023年2月从图5.28（a）看到，虽然例5.4中设计的闭环系统，在一个采样周期后，系统进入稳态，采样点时刻系统输出信号的误差为零。但y（t）在采样点之间的误差不是零，而是有差的，既y（t）是脉动的。这种输出信号的脉动，称为纹波，这样设计的闭环离散时间系统称为最少拍纹波离散时间系统。从图5.28（b）看到，输出信号的脉动，是由于受控对象的输入控制u（t）的变化引起的，就是说，最少拍纹波离散时间系统进入稳态以后，输入控制u（t）在波动。为了消除纹波，系统设计中除必须满足物理可实现性和稳定性的条件外，还必须满足对控制的要求，满足式（5.47）表示的条件。第86页，课件共114页，创作于2023年2月考查U（z）：

（5.53）为使u（t）在最少拍后不再波动，Gc（z）中除必须包含有GH（z）中单位圆外和单位圆上的零点作为自己的零点外，还必须将GH（z）中全部单位圆内的零点作为自己的零点。第87页，课件共114页，创作于2023年2月例5.7

例5.4所示的采样数据控制系统，T=1s（1）针对单位阶跃输入信号，试设计最少拍无纹波离散时间系统。（2）求该系统对单位速度输入信号的响应。解：（1）针对单位阶跃输入信号第一步，由例5.4得：第二步，根据物理可实现的条件，稳定性的条件，还根据无纹波的条件，取：又根据F（z）的首项必须是1，且1-Gc（z）的阶数与Gc（z）的阶数相同，有：第88页，课件共114页，创作于2023年2月第三步，求解：则：

a–1=-b a=0.718b解之，得：

b=0.582，a=0.418故：第四步，求D（z）：第89页，课件共114页，创作于2023年2月第五步，校验误差序列：则：

e（0）=1，e（1）=0.418，e（2）=e（3）=…=0所设计的系统在k≥2时进入稳态，此后误差为零。下面，求系统的阶跃响应：则：

y（0）=0，y（1）=0.582，y（2）=y（3）=…=1第90页，课件共114页，创作于2023年2月考察受控对象的输入控制：则：

u（0）=0.1582，u（1）=-0.0582u（2）=u（3）=u（4）=…=0在k≥2之后，系统的控制u（k）=0，即为常数，则系统是无纹波的。上述设计满足要求。在单位阶跃信号作用下，所设计的最少拍无纹波系统的输出响应、误差信号和控制信号的时间特性，绘于图5.29（a）中。第91页，课件共114页，创作于2023年2月（2）对所设计的系统加入单位速度信号：则：y（0）=0，y（1）=0，y（2）=0.582，

y（3）=1.582，y（4）=2.582，y（5）=3.582，……误差信号：则：e（0）=0

，e（1）=1，

e（2）=e（3）=e（4）=…=1.418第92页，课件共114页，创作于2023年2月控制信号：所设计的最少拍无纹波采样数据控制系统，在单位速度信号作用下的响应y（k）、误差e（k）和控制u（t）对时间的变化曲线绘于图5.29（b）。第93页，课件共114页，创作于2023年2月（a）系统对单位阶跃信号的响应和控制（b）系统对单位速度信号的响应和控制图5.29例5.7系统的响应和控制第94页，课件共114页，创作于2023年2月从图5.29（a）可以看出，对相同的受控对象，且都是在阶跃信号作用下，无纹波最少拍控制系统较之有纹波控制系统，要推迟一拍方能消除稳态误差。从图5.29（b）可以看到，对单位阶跃输入信号设计的最少拍无纹波系统，当输入是单位速度信号时，其输出信号跟不上输入信号的变化，输出是有误差的，而且误差很大。这说明最少拍系统的设计，与输入信号的类型有很大的关系，针对一种输入类型设计的最少拍系统，只对该种类型的输入的响应在有限个采样周期后系统的误差为零，若根据无纹波条件设计，系统还是无纹波的。但是，当系统输入其他类型信号时，系统的输出响应，要么在有限个采样周期后是有较大的稳态误差的，要么是系统有不可以接受的超调。值得注意：按无纹波条件设计的系统，即使是输入信号的类型改变了，仍然是无纹波的。相反，按纹波系统设计的系统，输入信号的类型变化了，系统仍是有纹波的输出。第95页，课件共114页，创作于2023年2月下面，对最少拍采样数据控制系统的设计给出通式。由于纹波系统对系统机械部分的损害很大，实际上纹波系统是不可用的。因此，只给出无纹波最少拍系统的设计通式。设系统受控对象的脉冲传递函数已知，为：

（5.54）其中，zi=（i=1，2，…，h）表示受控对象脉冲传递函数GH（z）中，单位圆上或单位圆外，乃至单位圆内的全部零点；pj（j=1，2，3…，l）表示GH（z）中位于单位圆上或圆外的极点；Ag（z）表示GH（z）中只包含有单位圆内的极点的有理分式，是z–1的函数。5.3.1.6最少拍系统设计通式第96页，课件共114页，创作于2023年2月将式（5.54）代入式（5.35），得到

（5.55）根据稳定的条件，D（z）中不能包含不稳定的极、零点；又根据无纹波的条件Gc（z）应该包含GH（z）中的全部零点，包括单位圆外和圆上的零点，也包括单位圆内的零点，则Gc（z）中包含有因子：而在1-Gc（z）中包含有因子：第97页，课件共114页，创作于2023年2月这样，D（z）中才不会出现不稳定的极、零点。因此，这时有：即：

（5.56）

（5.57）式中，v为GH（z）按z–1

的展开式中，指数最低次项的指数值，v为正整数；N取GH（z）中z=1的极点的数目N´和输入信号z变换式中分母的因子（1-z–1）的指数L=q＋1二者中较大者，即N´和L的较大者。第98页，课件共114页，创作于2023年2月式（5.55）指出，必须将受控对象GH（z）中的单位圆外的零点作为闭环脉冲传递函数Gc（z）的因式，以满足稳定的条件，还必须将GH（z）中单位圆内的零点也作为闭环脉冲传递函数Gc（z）的因子，以满足无纹波的条件。式（5.56）则指出，必须在误差的脉冲传递函数[1-Gc（z）]中加入GH（z）的单位圆上或圆外的极点，以保证稳定性的条件。Gc（z）和[1-Gc（z）]均为有限项。离散时间系统的解析设计，完全根据系统的脉冲传递函数和各信号的z变换函数之间的关系的推导，完全是准确的，没有任何假设和近似。第99页，课件共114页，创作于2023年2月按最少拍设计的离散时间系统的弊病之一，是系统只适应设计时所针对的典型输入信号。欲使系统对不同类型的输入信号均有较满意的响应，必须对最少拍系统的设计进行修改。采取的办法是改变系统的脉冲传递函数，引入加权因子（Weightingfactor）。修改[1-Gc（z）]，用（1-cz–1）去除它，并令结果为修改后的误差脉冲传递函数：

（5.58）式中Gcw（z）是修改后的系统的闭环脉冲传递函数，则： （5.59）5.3.1.7最少拍离散时间系统的讨论5.3.1.7.1加权因子的引入第100页，课件共114页，创作于2023年2月因为c是作为修改后系统闭环脉冲传递函数的极点，所以：-1＜c＜1这时的闭环脉冲传递函数Gcw（z）的特征方程不再是zN

=0的形式，而是具有了非零极点，系统不再是最少拍离散时间系统，在有限个采样周期内系统的误差不再是零。但是，适当地选择加权因子后，系统会对不同的典型输入信号的响应都能满足某种性能指标（例如均方误差最小等），而且使系统对参数变化的灵敏度降低。第101页，课件共114页，创作于2023年2月例5.8

例5.4中对单位速度输入信号设计的最少拍响应系统，结果是：现在，引入加权因子。当加权因子取不同值时考察系统对单位阶跃输入信号和对单位速度输入信号