2019-2020学年安徽省铜陵市高二上学期期末数学试题及答案解析版

试卷第=page22页，总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat21页共NUMPAGES\*MergeFormat22页2019-2020学年安徽省铜陵市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．下列直线中，与直线平行的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】直线的斜率为2，找出斜率为2的直线方程即可.【详解】因为直线的斜率为2，又直线的斜率也为2，所以两直线平行.故选：D【点睛】本题考查两直线平行斜率相等，考查对概念的理解，属于基础题.2．某支田径队有男运动员56人，女运动员42人.现要抽取28名运动员了解情况，考虑到男女比例，在男运动员中随机抽取16人，女运动员中抽取12人.这种抽取样本的方法叫做（）A．随机数表抽样 B．分层抽样 C．系统抽样 D．简单随机抽样【答案】B【解析】利用分层抽样的概念，即可得到答案.【详解】总体是由不同性别的男、女组成，根据抽样比抽得样本，属于分层抽样.故选：B【点睛】本题考查统中分层抽样的概念，考查对概念的理解，属于基础题.3．下边框图中，若输入，的值分别为225和175，则输出的结果是（）A．25 B．50 C．225 D．275【答案】A【解析】输入，的值分别为225和175，一步一步执行程序框图，当时，输出.【详解】，，，，此时，输出.故选：A【点睛】本题考查程序框图中的直到型循环，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意是先执行出值，再得到值.4．直线在轴上的截距是（）A． B．C．4 D．5【答案】B【解析】求出直线与轴交点的横坐标即可.【详解】当时，代入可得：.故选：B【点睛】本题考查直线在坐标轴上截距的概念，考查基本运算求解能力.5．空间直角坐标系中，已知点，点与点关于平面对称，则点的坐标是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】利用空间中点关于平面对称点为，即可得到答案.【详解】空间中点关于平面对称点为，∵，∴.故选：C【点睛】本题考查空间中点关于面对称点的求解，考查对概念的理解，属于基础题.6．已知，是某次试验中的两个随机事件，则，互为对立事件是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】两个事件为对立事件可以推出互斥，但互斥不一定对立.【详解】若，对立，则两个事件必有一个发生，且另一个不发生，所以；但推不出两个事件，对立；如掷一颗骰子，事件为出1点，2点，3点；事件为出现3点，4点，5点，此时，但两个事件不对立.故选：A【点睛】本题考查对立事件与概率的关系，考查对概念的理解与应用，属于基础题.7．若，，为空间中的三个平面，则下列命题中是真命题的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【解析】对A，可能平行；对B，可能相交；对C，可能相交；利用排除法可得答案.【详解】如图所示的长方体中：对A，取为平面，为平面，为平面，显然，故A错误；对B，取为平面，为平面，为平面，显然相交，故B错误；对C，取为平面，为平面，为平面，显然相交，故C错误；利用排除法，可得D正确；故选：D【点睛】本题考查空间中面面位置关系，考查空间想象能力，求解时注意借助正方体解决问题.8．袋中共有5个小球，其中3个红球、2个白球.现从中不放回地摸出3个小球，则下列各对事件为互斥事件的是（）A．“恰有1个红球”和“恰有2个白球”B．“至少有1个红球”和“至少有1个白球”C．“至多有1个红球”和“至多有1个白球”D．“至少有1个红球”和“至多有1个白球”【答案】C【解析】利用互斥事件的定义，即两个事件不同时发生，即可得到答案.【详解】对A，“恰有1个红球”和“恰有2个白球”可能有1红2白同时发生，故A错误；对B，可能有1红2白同时发生，故B错误；对C，“至多有1个红球”可以是0个红球3个白球，或1个红球2个白球；“至多有1个白球”可以是3个红球0个白球，或2个红球1个白球：显然两个事件不会同时发生，所以两个事件为互斥事件，故C正确；对D，可能有2红1白发生，故D错误；故选：C【点睛】本题考查互斥事件的定义，考查逻辑推理能力，求解时注意对至多、至少的理解.9．若是空间中的一条直线，则在平面内一定存在直线与直线（）A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面【答案】C【解析】对直线与平面分三种情况讨论：一是在面内，二是与面平行，三是与面相交，均可得到存在直线与垂直.【详解】如图所示的正方体中：取平面为平面，（1）取直线为，显然存在直线；（2）取直线为，显然存在直线；（3）取直线为，显然存在直线；故选：C【点睛】本题考查空间中线面、线线位置关系，考查空间想象能力，求解时注意借助正方体模型.10．平面直角坐标系中，设，，点在单位圆上，则使得为直角三角形的点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】先判断以为直径的圆与单位圆相交，再讨论的直角顶点位置，从而可得到答案.【详解】以为直径的圆的方程为，因为，所以两圆相交，设交点为，所以当点运动到时，显然能使为直角三角形，此时为直角顶点；又过点与直线垂直的直线显然与单位圆相离，而过点与直线垂直的直线：，圆心到直线的距离，直线与单位圆相交，设交点为；故满足题意的点有四个.故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对直角顶点的讨论.11．正四面体中，，分别为，中点，则异面直线与成的角等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出正四面体，取的中点，连结，可得为异面直线所成的角，在中求得的度数，即可得到答案.【详解】如图所示，在正四面体中，取的中点，连结，则，∴为异面直线所成的角，设，则在中，，，∵，∴为等腰直角三角形，∴.故选：B【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意“一作、二证、三求”三个步骤的应用.12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，动点满足，则斜率的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【详解】设点，∵，∴，整理得：，则点是以为圆心，为半径的圆，则，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以，解得：，所以.故选：A【点睛】本题考查圆的轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点到直线距离公式的应用.二、填空题13．八进制数化为十进制数，其结果是______.【答案】83【解析】直接利用八进制与十进制的转换求解.【详解】根据八进制与十进制的转换有：，所以对应的十进制为.故答案为：.【点睛】本题考查八进制与十进制的转换，考查运算求解能力，属于基础题.14．已知命题：，都有，则命题的否定是______.【答案】，使得【解析】直接利用全称命题的否定的定义求解.【详解】∵命题：，都有，∴：，使得.故答案为：，使得.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，考查对概念的理解与应用，属于基础题.15．已知为一个正四棱锥，且它的底面边长与高的长度都等于4，则这个四棱锥外接球的表面积是______.【答案】【解析】设为正方形的中心，为外接球的球心，连结，设球的半径为，利用勾股定理得到关于的方程，求得再利用球的面积公式，即可得到答案.【详解】如图所示，设为正方形的中心，为外接球的球心，连结，设球的半径为，则，∵，∴，∴.故答案为：.【点睛】本题考查正四棱锥与球的切接问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心的确定.16．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8个小时，假定它们在一昼夜的时间段内随机地到达，则两船中有一艘在停靠泊位时、另一艘船必须等待的概率为______.【答案】【解析】利用几何概型的面积型概率计算，作出边长为24的正方形面积，求出部分的面积，即可求得答案.【详解】设甲乙两艘轮船到达的时间分为，则，记事件为两船中有一艘在停靠泊位时、另一艘船必须等待，则，即∴.故答案为：.【点睛】本题考查几何概型，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对概率模型的抽象成面积型.三、解答题17．直角梯形如图放置，已知，，，.现将梯形绕直线旋转一周形成几何体.（1）画出这个几何体的正视图（不写作法）；（2）求这个几何体的体积.【答案】（1）作图见解析（2）【解析】（1）利用图形旋转而成的几何体为圆锥和圆柱的组合体，进而作出正视图；（2）利用圆锥和圆柱的体积公式，将数据直接代入即可得到答案.【详解】（1）（2）该几何体由一个圆锥和圆柱组合而成，则.【点睛】本题考查几何体正视图的作法、圆锥、圆柱的体积求解，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意正视图中的数据求解.18．已知三个顶点的坐标分别为，，，线段的垂直平分线为.（1）求直线的方程；（2）点在直线上运动，当最小时，求此时点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】（1）求出直线的斜率，再求直线的中点，从而利用点斜式方程求得答案；（2）由（1）得点关于直线的对称点为点，所以直线与直线的交点即为最小的点.【详解】（1）直线的斜率为，所以直线的斜率为，直线的中点为，所以直线的方程为，即.（2）由（1）得点关于直线的对称点为点，所以直线与直线的交点即为最小的点.由，得直线的方程为，即，联立方程，解得，所以点的坐标为.【点睛】本题考查直线方程的求解、直线的交点，考查运算求解能力，属于基础题.19．某学校为了解高二学生学习效果，从高二第一学期期中考试成绩中随机抽取了25名学生的数学成绩（单位：分），发现这25名学生成绩均在90～150分之间，于是按，，…，分成6组，制成频率分布直方图，如图所示：（1）求的值；（2）估计这25名学生数学成绩的平均数；（3）为进一步了解数学优等生的情况，该学校准备从分数在内的同学中随机选出2名同学作为代表进行座谈，求这两名同学分数在不同组的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）利用小矩形的面积和为1，求得值；（2）每个小矩形的中点与面积相乘，再相加，求得平均数；（3）利用古典概型，求出试验的所有等可能结果，再计算事件所含的基本事件，最后代入公式计算概率值.【详解】（1），∴.（2）.（3）由直方图得，有3人，有2人，的学生为，，，的学生为，，所有情况：，，，，，，，，，共10种情况；符合题意的：，，，，，共6种情况.所以概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图估计平均数、及古典概型的概率求解，考查概率与统计思想，考查数据处理能力.20．如图，边长为4的正方形中，点，分别为，的中点.将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）利用折叠前后角的不变性可得，，进而证明线面垂直；（2）取线段的中点，连接、，由，，得到，，从而得到为二面角的平面角，再求角的余弦值.【详解】（1）因为正方形，所以，，折叠后即有，，又，平面，所以平面得证.（2）取线段的中点，连接、.因为，，所以有，，所以即为二面角的平面角，又由（1）得，，，所以.所以二面角的余弦值.【点睛】本题考查空间中的折叠问题、线面垂直的证明、二面角的求解，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力.21．是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与浓度的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量（万辆）5051545758的浓度（微克/立方米）3940424445（1）根据上表数据，求出这五组数据组成的散点图的样本中心坐标；（2）用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是100万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时的浓度是多少？（参考公式：，）【答案】（1）（2）（3）75.12微克/立方米【解析】（1）求出从而得到样本点的中心；（2）利用参考公式求出，，从而得到，再将样本中心坐标代入求得，从而得到回归方程；（3）将代入回方程，求出的值，即可得到答案.【详解】（1），所以样本中心坐标为.（2）因为，，所以，，线性回归方程为.（3）（微克/立方米）此时的浓度是75.12微克/立方米.【点睛】本题考查回归直线方程的最小二乘法求解及回归方程的应用，考查数据处理能力，求解时注意运算的准确性.22．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点.（1）求圆的标准方程；（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）（2）或（3）证明见解析，定点【解析】（1）圆以为圆心，为半径，直接写出圆的标准方程；（2）对直线的斜率进行讨论，再利用