高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.3.1圆幂定理课件新人教B版选修4-

1.3

圆幂定理与圆内接四边形1.3.1圆幂定理1.掌握相交弦定理及其应用.2.掌握切割线定理及其应用.3.掌握圆幂定理及其应用.1.相交弦定理

归纳总结

垂直于弦的直径平分这条弦,且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项.【做一做1】

如图,☉O的两条弦AB与CD相交于点E,EC=1,DE=4,AE=2,则BE等于(

)解析:∵AE·EB=DE·EC,∴2EB=4×1.∴EB=2.答案:B2.切割线定理

【做一做2】

如图,P是☉O外一点,PA与☉O相切于点A,过点P的直线l交☉O于点B,C,且PB=4,PC=9,则PA等于(

)解析:∵PA2=PB·PC=4×9=36,∴PA=6.答案:B3.圆幂定理已知☉(O,r),通过一定点P,作☉O的任一条割线交圆于A,B两点,设PA·PB=k,则当点P在圆外时,k=PO2-r2;当点P在圆内时,k=r2-OP2;当点P在☉O上时,k=0.1.与圆有关的比例线段问题剖析与圆有关的比例线段问题,主要是圆与相似形的综合,其解法大致可分为以下几种:(1)直接由相似形得到,即先由已知条件证得两个三角形相似,从而直接得到有关对应线段成比例.这是简单型的比例线段问题.(2)利用“等线段”代换得到,在证明“等积式”形如a2=bc时,如果其中有三条线段共线,那么一般往往把平方项线段用“等线段”进行代换.(3)利用“中间积”代换得到,在证明“等积式”形如a2=bc时,如果其中有三条线段共线,不妨把平方项线段利用中间积进行代换试试.(4)利用“中间比”代换得到,在证明比例线段(不论共线与否),如果不能直接运用有关定理,不妨就寻找“中间比”进行代换试试.与圆有关的比例线段证明要诀:圆幂定理是法宝,相似三角形中找诀窍,联想射影定理分角线,辅助线来搭桥,第三比作介绍,代数方法不可少,分析综合要记牢,十有八九能见效.2.垂径定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间的关系剖析如图,PA,PB为☉O的两条切线,A,B为切点,PCD为过圆心O的割线,连接AB,交PD于点E,则有下列结论:(1)PA2=PB2=PC·PD=PE·PO;(2)AE2=BE2=DE·CE=OE·PE;(3)若AC平分∠BAP,则C为△PAB的内心;(4)OA2=OC2=OE·OP=OD2;(6)∠AOP=∠BOP,∠APD=∠BPD.题型一题型二【例1】

如图,过☉O内一点A作直线,交☉O于B,C两点,且AB·AC=64,OA=10,则☉O的半径r=

.

解析:如图,作直线OA交☉O于E,F两点,则AE=r-10,AF=r+10.由相交弦定理,得(r-10)(r+10)=64,反思相交弦定理的结论是等式,也可以看成线段成比例,因此利用相交弦定理既可以得到成比例线段,又可以建立方程来解决问题.题型一题型二【例2】

如图,AB切☉O于B,ACD为割线,E为

的中点,BE交DC于F.求证:AF2=AC·AD.分析由切割线定理可知AC·AD=AB2,故只需证明AF=AB即可.题型一题型二证明如图,连接BC,BD,∵E为

的中点,∴∠DBE=∠CBE.又AB是☉O的切线,∴∠ABC=∠CDB.∴∠ABC+∠CBE=∠CDB+∠DBE.∴∠ABF=∠AFB.∴AB=AF.又AB是☉O的切线,ACD为割线,由切割线定理,可知AC·AD=AB2,∴AF2=AC·AD.反思如果已知条件中同时出现过圆外同一点的切线和割线,那么常用到切割线定理.12341.圆内两弦相交,其中一条弦长为8cm,且被交点平分,另一条被交点分为1∶4的两部分,则这条弦长为(

)A.2cm B.8cm C.10cm D.16cm解析:设所求弦长为5k

cm,则由相交弦定理得42=k×4k,则k=2(-2舍去),故所求弦长为5k=5×2=10(cm).答案:C12342.如图,A,B,C是☉O上的三点,BE切☉O于点B,D是CE与☉O的交点.若∠BAC=70°,则∠CBE=

;若BE=2,CE=4,则CD=

.

解析:由于BE是☉O的切线,则∠CBE=∠BAC=70°.由切割线定理,知EB2=ED·EC.又BE=2,CE=4,答案:70°

31234123412344.如图,已知P为☉O外一点,OP与☉O交于点A,割线PBC与☉O交于点B,C,且PB=BC.若OA=7,PA=2,求PC的长.解:如图,延长PO交☉