自动控制原理第4章-根轨迹

第四章

根轨迹法

控制系统的稳定性是由其闭环传递函数的极点（特征根Pi）所决定的。要使系统稳定，则系统的特征根（闭环极点）必须在s复平面的左半平面内。第四章

根轨迹法第四章

根轨迹法

根轨迹法——不直接求解特征方程，而是用复平面上的系统的开环零、极点来确定系统的闭环零、极点的图解方法。

特点：

（1）图解方法，直观、形象。（2）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化趋势。（3）近似方法，不十分精确。第四章

根轨迹法

如图所示单位负反馈控制系统，其开环传递函数为§4.1根轨迹的基本概念4.1.1

根轨迹该系统的开环极点为P1=0，P2=-1。系统的闭环传递函数：系统的特征方程：第四章

根轨迹法第四章

根轨迹法

根轨迹是指系统中某个参数的数值从零变到无穷大时，系统闭环特征方程的根在复平面上的变化轨迹。(1)当0≤K<0.25时，闭环系统的两个特征根为相异负实根，此时系统为过阻尼状态(2)当K=0.25时，特征根为两个相等的负实根，此时系统为临界状态(3)当0.25<K<∞时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，此时系统为欠阻尼状态第四章

根轨迹法4.2.2根轨迹的幅值条件和相角条件闭环特征方程为：第四章

根轨迹法

既满足幅值条件又满足相角条件的S值就是特征方程的一组根，也就是一组闭环极点。

根轨迹上的所有点满足同一个相角条件，K变动，相角条件是不变的。所以，绘制根轨迹可以这样进行

首先在S平面上找出所有符合相角条件的点，这些点连成的曲线就是根轨迹，然后反过来按幅值条件求出根轨迹上任一点的K值。第四章

根轨迹法

式中p1,p2,…pn，为开环极点，z1,z2,…zm

为开环零点。这样，系统的闭环特征方程可以表示为：上式变形：4.2.1开环零极点与相角条件§4.2绘制典型根轨迹

系统的开环传递函数为：——典型根轨迹方程第四章

根轨迹法所以，幅值条件为：

相角条件为：上式也可写成：第四章

根轨迹法（2）在复平面上任取一试验点S，画出由开环零点和开环极点至S的矢量。

按相角条件绘制根轨迹的具体方法:（1）在复平面上标出开环极点和开环零点第四章

根轨迹法（4）计算各矢量的模和幅角，如果S是根轨迹上的一点，则必然满足相角条件：（4）当S为根轨迹上的一点时，可以求得开环增益：（3）标出各开环零、极点至实验点的幅角第四章

根轨迹法1、起点和终点

——根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。

当n=m时：开始于n个开环极点的n条根轨迹，正好终止于m

个开环零点。

终点K→∞：特征方程的根就是它的m个开环零点。4.2.2基本规则

起点K=0：特征方程的根就是它的n个开环极点，变形：第四章

根轨迹法

当n<m：终止于m个开环零点m条根轨迹，有n条来自n个开环极点，有m-n条来自无穷远处（无穷远极点）

当n>m：开始于n个开环极点的n条根轨迹，有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处（无穷远零）第四章

根轨迹法2、分支数和对称性

根轨迹的分支数与开环零点数m和开环极点数n中的大者相等，它们是连续的并且一定对称于实轴。

根据根轨迹的定义，当K连续变化时,特征方程的根也必然是连续变化的，故根轨迹具有连续性。

因为根轨迹是闭环特征方程的根，所以根轨迹的分支数必定等于闭环特征方程的根的数目。无论K如何变化特征方程始终有max(n,m)个根，所以根轨迹一定有max(n,m)支。

特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是共轭复根（对称于实轴），所以根轨迹一定对称于实轴。第四章

根轨迹法3、渐近线

当n>m时，根轨迹一定有n-m条趋向无穷远；当n<m时，根轨迹一定有m-n条来自无穷远。可以证明：当n≠m时，根轨迹存在|n－m|条渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：

所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：第四章

根轨迹法4、实轴上的根轨迹

实轴上的开环零、极点将实轴分段，其中任一段，如果其右边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。

依据本法则，图中z1和p1之间、z2和p4之间以及z3和-∞之间的实轴部分，都是根轨迹的一部分。第四章

根轨迹法

对s0右边实轴上所有开环零、极点来说：满足相角条件。

考虑实轴上的s0，任一对共轭开环零点或共轭极点（如p2,p3）对应的相角（θ2,θ3）之和均为3600；对s0，其左边实轴上任一开环零、极点对应的相角均为00，其右边实轴上任一开环零、极点对应的相角均为1800。第四章

根轨迹法例题1，某控制系统的开环传递函数为试画出实轴上的根轨迹和s→∞时的渐进线。解：（1）在图上标出开环函数极点p1=0，p2=-1，p3=-4(2)在实轴上(-1,0)和(-∞,-4)区间之右的实数零、极点数之和为奇数，故这两个区间的实轴是根轨迹。

（3）本例n=3，m=0，故有三条根轨迹在K→∞时伸向无穷远，渐进线与实轴的交点为第四章

根轨迹法6、根轨迹的分离点①实轴上的根轨迹相向运动，在A点相遇后进入复平面②复平面内的一对共轭复数根轨迹在实轴相遇B，然后趋向实轴上的零点5、根轨迹与虚轴的交点

将s=jω代入闭环特征方程，令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出ω0和K0

。

用劳斯（Roth）判据也可以求得K0第四章

根轨迹法

位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。

分离点的座标λ，是下列代数方程的解：

说明：上式只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。第四章

根轨迹法

定理：若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。第四章

根轨迹法7、根轨迹的出射角和入射角

根轨迹从某个开环极点出发时的切线与正实轴的夹角称为出射角，根轨迹从开环极点pi出发的出射角为：

根轨迹进入某个开环零点的切线与正实轴的夹角称为入射角，根轨迹进入开环零点Zl的入射角为：第四章

根轨迹法按7个基本规则绘制根轨迹图：

首先，系统有三个无穷远零点，有三个开环极点：p1=0，p2=-1，p3=-2，将它们标在复平面上。4.2.3绘图示例

根据规则1)和2)，根轨迹将有3支，分别开始于这三个开环极点，趋向无穷远。第四章

根轨迹法根据规则3)，根轨迹有3根渐近线，它们与实轴的夹角是：

所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：

根据规则4)，实轴上的[-1,0]，(-∞,-2]段是根轨迹的一部分。第四章

根轨迹法

根据规则5)，确定根轨迹与虚轴交点

令上式中的实部和虚部分别等于零，可以得到：ω=0,K=0或因此，根轨迹在处与虚轴相交，并且交点处K=6

。实轴上的根轨迹在ω=0处也与虚轴相交。令特征方程中的s=jω得：K=6K=6第四章

根轨迹法

根轨迹在实轴上的[-1，0]段一定有一个分离点，根据规则（6），解整理得

解得λ=-0.423,λ=-1.577

，显然只有-0.423在根轨迹上，所以分离点为-0.423。·第四章

根轨迹法

根轨迹从p1,p2,p3出发的出射角已经很明确，为了验证规则（7），我们还是计算一下：

以上根据基本规则画出的根轨迹仍然是概略图，它在实轴上的根轨迹、渐近线、与虚轴的交点是准确的，其它部分就不准确了。第四章

根轨迹法图4-5（手工）图4-5（matlab）第四章

根轨迹法294.3.1不以增益K为参量的根轨迹图§4.4特殊根轨迹图

常规（典型）根轨迹方程为第四章

根轨迹法301、开环零点为参量的根轨迹上式两边同除s(1+5s)+5得：所以，等价为典型根轨迹方程后，相当于：

n=2,m=1,z1=0,p1,2=-0.1±j0.995上式等价为：

系统闭环特征方程为：图4-7(a)第四章

根轨迹法31按基本规则绘制即可：（1）起点:p1,2=-0.1±j0.995（2）终点：z1=0，z2为无穷远零点（3）渐近线：一条，与实轴的夹角为1800，交与实轴的-0.2处（4）实轴上的跟轨迹区间为（-∞，0）（5）分离点解得：第四章

根轨迹法32

注意：这里的z1,p1,p2

并不是图4-7a所示系统的开环零、极点，而是等价为典型根轨迹方程后，等价系统的开环零、极点，这是与典型根轨迹的主要区别。第四章

根轨迹法33例2系统开环传递函数解.(1)②渐近线：①实轴根轨迹：[-∞,0]，a=0→∞变化，绘制根轨迹③分离点：④与虚轴交点：构造“等效开环传递函数”

第四章

根轨迹法342、开环极点为参量的根轨迹两边同除以s(s+1)+K，得：

上式中K取固定常数，T作为参量，它就是典型根轨迹方程的形式，相当于n=2,m=3,n<m！。因为系统闭环特征方程为：第四章

根轨迹法35

如果取K=2.5，则等价系统的开环零、极点为

这样，用基本规则可绘出根轨迹如图。第四章

根轨迹法36例3单位反馈系统的开环传递函数为解.②渐近线：θ=1800①实轴上的根轨迹：[-∞,-587.7],[-27.7,0],T=0→∞,绘制根轨迹。④分离点：整理得：解根：③虚轴交点：第四章

根轨迹法37

如果开环传递函数G(s)H(s)的分子、分母的s最高次幂不同号，即（K>0）：这时特征方程变成：对应的相角条件变成：4.3.2正反馈系统的根轨迹第四章

根轨迹法38

由于相角条件的改变，导致基本规则的3、4和7必须修改为如下的3P、4P和7P：3P、渐近线与实轴的夹角为：4P、实轴上的某一段如果其右边实轴上的开环零、极点总数是偶数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。7P、根轨迹的出射角和入射角公式中的1800均改为3600。第四章

根轨迹法39[例4-3]考虑图示系统,设其中:试绘制系统的根轨迹图。解：(1)在复平面上画出开环零、极点p1=-1+j，p2=-1-j，p3=-3，z1=-2(2)实轴上根轨迹存在于(-2,+∞)及(-3,-∞)之间(3)根轨迹的渐进线，本例有n-m=2条根轨迹趋于无穷，其交角第四章

根轨迹法40与实轴的交点表明：两条渐进线从-1.5开始沿实轴趋于无穷。(4)确定分离点。由方程：得：第四章

根轨迹法41(5)确定出射角。对于p1点，对于p2点，由于对称第四章

根轨迹法424.3.1不以增益K为参量的根轨迹图§4.4特殊根轨迹图

常规（典型）根轨迹方程为第四章

根轨迹法431、开环零点为参量的根轨迹上式两边同除s(1+5s)+5得：所以，等价为典型根轨迹方程后，相当于：

n=2,m=1,z1=0,p1,2=-0.1±j0.995上式等价为：

系统闭环特征方程为：图4-7(a)第四章

根轨迹法44按基本规则绘制即可：（1）起点:p1,2=-0.1±j0.995（2）终点：z1=0，z2为无穷远零点（3）渐近线：一条，与实轴的夹角为1800，交与实轴的-0.2处（4）实轴上的跟轨迹区间为（-∞，0）（5）分离点解得：第四章

根轨迹法45

注意：这里的z1,p1,p2

并不是图4-7a所示系统的开环零、极点，而是等价为典型根轨迹方程后，等价系统的开环零、极点，这是与典型根轨迹的主要区别。第四章

根轨迹法46例2系统开环传递函数解.(1)②渐近线：①实轴根轨迹：[-∞,0]，a=0→∞变化，绘制根轨迹③分离点：④与虚轴交点：构造“等效开环传递函数”

第四章

根轨迹法472、开环极点为参量的根轨迹两边同除以s(s+1)+K，得：

上式中K取固定常数，T作为参量，它就是典型根轨迹方程的形式，相当于n=2,m=3,n<m！。因为系统闭环特征方程为：第四章

根轨迹法48

如果取K=2.5，则等价系统的开环零、极点为

这样，用基本规则可绘出根轨迹如图。第四章

根轨迹法49例3单位反馈系统的开环传递函数为解.②渐近线：θ=1800①实轴上的根轨迹：[-∞,-587.7],[-27.7,0],T=0→∞,绘制根轨迹。④分离点：整理得：解根：③虚轴交点：第四章

根轨迹法50

如果开环传递函数G(s)H(s)的分子、分母的s最高次幂不同号，即（K>0）：这时特征方程变成：对应的相角条件变成：4.3.2正反馈系统的根轨迹第四章

根轨迹法51

由于相角条件的改变，导致基本规则的3、4和7必须修改为如下的3P、4P和7P：3P、渐近线与实轴的夹角为：4P、实轴上的某一段如果其右边实轴上的开环零、极点总数是偶数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。7P、根轨迹的出射角和入射角公式中的1800均改为3600。第四章

根轨迹法52[例4-3]考虑图示系统,设其中:试绘制系统的根轨迹图。解：(1)在复平面上画出开环零、极点p1=-1+j，p2=-1-j，p3=-3，z1=-2(2)实轴上根轨迹存在于(-2,+∞)及(-3,-∞)之间(3)根轨迹的渐进线，本例有n-m=2条根轨迹趋于无穷，其交角第四章

根轨迹法53与实轴的交点表明：两条渐进线从-1.5开始沿实轴趋于无穷。(4)确定分离点。由方程：得：第四章

根轨迹法54(5)确定出射角。对于p1点，对于p2点，由于对称第四章

根轨迹法55

在这些情况下，将闭环特征方程进行变形，构造“等效开环传递函数”

一、不以增益K为参量的根轨迹图

然后就可以套用典型根轨迹的方法来绘制根轨迹图了。课程回顾（1）

第四章

根轨迹法561、开环零点为参量的根轨迹上式两边同除s(1+5s)+5得：所以，等价为典型根轨迹方程后，相当于：

n=2,m=1,z1=0,p1,2=-0.1±j0.995上式等价为：

系统闭环特征方程为：课程回顾（2）

第四章

根轨迹法572、开环极点为参量的根轨迹两边同除以s(s+1)+K，得：系统闭环特征方程为：课程回顾（3）

上式等价为：第四章

根轨迹法583P、渐近线与实轴的夹角为：4P、实轴上的某一段如果其右边实轴上的开环零、极点总数是偶数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。7P、根轨迹的出射角和入射角公式中的1800均改为3600。3、正反馈系统的根轨迹（修改部分基本规则）课程回顾（4）

第四章

根轨迹法59§4.5控制系统的根轨迹分析4.5.1根轨迹与稳定性1、当K在(0，∞)间取值时，如果n支根轨迹全部位于虚轴的左边，就意味着不管K取任何值闭环系统都是稳定的。

系统稳定与否，可以通过对其根轨迹的分析来确定第四章

根轨迹法602、根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边，就意味着不管K取何值，闭环系统都不稳定。第四章

根轨迹法613、根轨迹只要有一支穿越虚轴，就说明闭环系统的稳定是有条件的，知道了根轨迹与虚轴交点的K值，就可以确定稳定条件，进而确定合适的K值。

由图知：当0<K<6时，系统是稳定的，K>6时，系统不稳定。第四章

根轨迹法624.5.2开环零极点对系统的影响

在系统开环函数G

(s)H

(s)中，增加零点zl，相当于加入一阶微分环节s-zl；增加极点pi，相当于加入一个惯性环节1/(s-pi);1、增加开环极点的影响

例如，单位负反馈系统的开环传递函数为

其根轨迹图为：

无论K为何值，闭环系统都是稳定的！图(1)第四章

根轨迹法63给系统增加一个极点pi=-2，图(2)即为所对应的根轨迹图这时，闭环系统稳定的条件为：0<K<5.92图(2)第四章

根轨迹法64图(3)

给系统增加一个极点pi=-0.5，图(3)即为所对应的根轨迹图。

这时，闭环系统稳定的条件为：0<K<0.74

比较图(2)和图(3)可知，随着增加的开环极点向虚轴的靠近，闭环系统的稳定范围变小，稳定性能下降。第四章

根轨迹法65图(4)

给系统增加一个极点pi=0，图(4)即为所对应的根轨迹图。

无论K为何值，闭环系统都不能稳定！

结论：在开环传递函数上增加极点，使系统的稳定性变差。且系统的稳定性和增加的极点位置靠近虚轴的远近有关。第四章

根轨迹法662、增加开环零点的影响

在开环传递函数上增加零点zl，可以使根轨迹向左方弯曲，因而提高了系统的相对稳定性。而且这种向左弯曲的趋势，随着增加零点的右移而加剧。

例如，单位负反馈系统的开环传递函数为闭环系统稳定的条件0<K<4图(1)第四章

根轨迹法67图(2)

给系统增加一个零点zl=-2，图(2)即为所对应的根轨迹图。

无论K为何值，闭环系统都是稳定的！第四章

根轨迹法68

例如，三阶系统的开环传递函数为：4.5.3零、极点相消问题(a)

在设计控制系统时，常用控制器的零（极）点去抵消被控对象的极（零）点，从而提高系统的稳定性能系统的根轨迹为第四章

根轨迹法69

如果附加一个零点z1=-1，这时系统的传函变成：可见系统的稳定性大大提高了。(b)(a)其根轨迹图为第四章

根轨迹法70

根轨迹图清楚地表示：尽管存在建模误差，附加零点仍然提高了系统的稳定性。

考虑建模误差的影响：假设实际p1=-0.8，却按p1=-1建模，这样零极点不能正好抵消，这时：根轨迹变成图c；p1=-1.2根轨迹变成图d。(c)(d)第四章

根轨迹法71

如果用一个零点去低消系统的不稳定极点，可能使系统变的不稳定说明例如，三阶系统的开环传递函数为：如果用一个零点z1=1去低消系统的不稳定极点p1=1

零极点正好相消，稳定性提高了第四章

根轨迹法72考虑建模误差：假设实际p1=0.8，根轨迹为图f

——零极点不正好相消，系统不稳定。可见：不宜用零极点相消法去抵消系统的不稳定极点或零点第四章

根轨迹法73

系统的动态性能最终体现在时间响应上，影响时间响应的因素有两个：

1)闭环传递函数——主要影响时间响应的暂态分量

2)输入函数——主要影响时间响应的稳态分量

闭环极点si（以区别于开环极点pi）在S平面上不同位置所对应的暂态分量，其规律可以总结为：4.5.4闭环零极点与时间响应

（1）闭环极点与时间响应第四章

根轨迹法741)左右分布决定终值。σjsi位于虚轴左边：暂态分量最终衰减到零；

si

位于虚轴右边：暂态分量一定发散；

si位于虚轴：暂态分量为等幅振荡。2)虚实分布决定振型。si位于实轴上：暂态分量为非周期运动；

si位于虚轴上：暂态分量为周期运动。3)远近分布决定快慢。si位于虚轴左边时，离虚轴愈远过渡过程衰减得愈快。所以离虚轴最近的闭环极点‘主宰’系统响应的时间最长，被称为主导极点。第四章

根轨迹法75

主导极点一般安排为一对共轭复数极点，位于如图所示虚轴左边60o扇形区内，且离虚轴有一定的距离，其理由在于：1）闭环主导极点为共轭复数，使闭环系统的动态性能与一个二阶欠阻尼系统相似。欠阻尼系统具有较快的反应速度。第四章

根轨迹法763）离虚轴一定的距离保证了足够的稳定裕度。稳定裕度太小，在实际应用时可能系统不稳定。2）阻尼系数太大、太小都不合适，60o扇形区意味着阻尼系数不小于cos60°=0.5，一般认为最佳阻尼系数是0.707。第四章

根轨迹法

控制系统的稳定性是由其闭环传递函数的极点（特征根Pi）所决定的。要使系统稳定，则系统的特征根（闭环极点）必须在s复平面的左半平面内。第四章

根轨迹法第四章

根轨迹法

根轨迹法——不直接求解特征方程，而是用复平面上的系统的开环零、极点来确定系统的闭环零、极点的图解方法。

特点：

（1）图解方法，直观、形象。（2）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化趋势。（3）近似方法，不十分精确。第四章

根轨迹法

如图所示单位负反馈控制系统，其开环传递函数为§4.1根轨迹的基本概念4.1.1

根轨迹该系统的开环极点为P1=0，P2=-1。系统的闭环传递函数：系统的特征方程：第四章

根轨迹法第四章

根轨迹法

根轨迹是指系统中某个参数的数值从零变到无穷大时，系统闭环特征方程的根在复平面上的变化轨迹。(1)当0≤K<0.25时，闭环系统的两个特征根为相异负实根，此时系统为过阻尼状态(2)当K=0.25时，特征根为两个相等的负实根，此时系统为临界状态(3)当0.25<K<∞时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，此时系统为欠阻尼状态第四章

根轨迹法4.2.2根轨迹的幅值条件和相角条件闭环特征方程为：第四章

根轨迹法

既满足幅值条件又满足相角条件的S值就是特征方程的一组根，也就是一组闭环极点。

根轨迹上的所有点满足同一个相角条件，K变动，相角条件是不变的。所以，绘制根轨迹可以这样进行

首先在S平面上找出所有符合相角条件的点，这些点连成的曲线就是根轨迹，然后反过来按幅值条件求出根轨迹上任一点的K值。第四章

根轨迹法

式中p1,p2,…pn，为开环极点，z1,z2,…zm

为开环零点。这样，系统的闭环特征方程可以表示为：上式变形：4.2.1开环零极点与相角条件§4.2绘制典型根轨迹

系统的开环传递函数为：——典型根轨迹方程第四章

根轨迹法所以，幅值条件为：

相角条件为：上式也可写成：第四章

根轨迹法（2）在复平面上任取一试验点S，画出由开环零点和开环极点至S的矢量。

按相角条件绘制根轨迹的具体方法:（1）在复平面上标出开环极点和开环零点第四章

根轨迹法（4）计算各矢量的模和幅角，如果S是根轨迹上的一点，则必然满足相角条件：（4）当S为根轨迹上的一点时，可以求得开环增益：（3）标出各开环零、极点至实验点的幅角第四章

根轨迹法1、起点和终点

——根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。

当n=m时：开始于n个开环极点的n条根轨迹，正好终止于m

个开环零点。

终点K→∞：特征方程的根就是它的m个开环零点。4.2.2基本规则

起点K=0：特征方程的根就是它的n个开环极点，变形：第四章

根轨迹法

当n<m：终止于m个开环零点m条根轨迹，有n条来自n个开环极点，有m-n条来自无穷远处（无穷远极点）

当n>m：开始于n个开环极点的n条根轨迹，有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处（无穷远零）第四章

根轨迹法2、分支数和对称性

根轨迹的分支数与开环零点数m和开环极点数n中的大者相等，它们是连续的并且一定对称于实轴。

根据根轨迹的定义，当K连续变化时,特征方程的根也必然是连续变化的，故根轨迹具有连续性。

因为根轨迹是闭环特征方程的根，所以根轨迹的分支数必定等于闭环特征方程的根的数目。无论K如何变化特征方程始终有max(n,m)个根，所以根轨迹一定有max(n,m)支。

特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是共轭复根（对称于实轴），所以根轨迹一定对称于实轴。第四章

根轨迹法3、渐近线

当n>m时，根轨迹一定有n-m条趋向无穷远；当n<m时，根轨迹一定有m-n条来自无穷远。可以证明：当n≠m时，根轨迹存在|n－m|条渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：

所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：第四章

根轨迹法4、实轴上的根轨迹

实轴上的开环零、极点将实轴分段，其中任一段，如果其右边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。

依据本法则，图中z1和p1之间、z2和p4之间以及z3和-∞之间的实轴部分，都是根轨迹的一部分。第四章

根轨迹法

对s0右边实轴上所有开环零、极点来说：满足相角条件。

考虑实轴上的s0，任一对共轭开环零点或共轭极点（如p2,p3）对应的相角（θ2,θ3）之和均为3600；对s0，其左边实轴上任一开环零、极点对应的相角均为00，其右边实轴上任一开环零、极点对应的相角均为1800。第四章

根轨迹法例题1，某控制系统的开环传递函数为试画出实轴上的根轨迹和s→∞时的渐进线。解：（1）在图上标出开环函数极点p1=0，p2=-1，p3=-4(2)在实轴上(-1,0)和(-∞,-4)区间之右的实数零、极点数之和为奇数，故这两个区间的实轴是根轨迹。

（3）本例n=3，m=0，故有三条根轨迹在K→∞时伸向无穷远，渐进线与实轴的交点为第四章

根轨迹法6、根轨迹的分离点①实轴上的根轨迹相向运动，在A点相遇后进入复平面②复平面内的一对共轭复数根轨迹在实轴相遇B，然后趋向实轴上的零点5、根轨迹与虚轴的交点

将s=jω代入闭环特征方程，令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出ω0和K0

。

用劳斯（Roth）判据也可以求得K0第四章

根轨迹法

位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点。

分离点的座标λ，是下列代数方程的解：

说明：上式只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。第四章

根轨迹法

定理：若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。第四章

根轨迹法课程回顾（1）

根轨迹：系统某一参数由0→∞变化时，系统闭环极点在s平面相应变化所描绘出来的轨迹

闭环极点

与开环零点、开环极点及K*均有关相角条件：幅值条件：

根轨迹方程

根轨迹增益

闭环零点

=前向通道零点+反馈通道极点第四章

根轨迹法1、起点和终点

根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。课程回顾