广西壮族自治区南宁市江南区高级中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析

广西壮族自治区南宁市江南区高级中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点与点在直线的两侧，且，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.已知，若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：B

由柯西不等式得,,即,即的最大值为3，当且仅当时等号成立；所以对任意实数恒成立等价于对任意实数恒成立，又因为对任意恒成立，因此有即，解得，故选B.3.已知集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则实数a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：A【考点】集合的表示法．【分析】集合{x|x2+ax=0}={0，1}，则x2+ax=0的解为0，1，利用韦达定理，求出a的值．【解答】解：由题意，0+1=﹣a，∴a=﹣1，故选A．4.已知f（x）为R上的可导函数，且对?x∈R，f（x）＞f′（x），则有（）A．e2015f（﹣2015）＜f（0），f（2015）＞e2015f（0）B．e2015f（﹣2015）＜f（0），f（2015）＜e2015f（0）C．e2015f（﹣2015）＞f（0），f（2015）＞e2015f（0）D．e2015f（﹣2015）＞f（0），f（2015）＜e2015f（0）参考答案：D考点： 利用导数研究函数的单调性．

专题： 导数的概念及应用．分析： 根据条件，构造函数构造函数g（x）=e﹣xf（x），判断函数的单调性即可得到结论．解答： 解：构造函数g（x）=e﹣xf（x），则g′（x）=[e﹣xf（x）]′=﹣e﹣xf（x）+e﹣xf′（x）=e﹣x[﹣f（x）+f′（x）]＜0则g（x）单调递减，则g（﹣2015）＞g（0），即e2015f（﹣2015）＞f（0），g（2015）＜g（0），即e﹣2015f（2015）＜f（0），即f（2015）＜e2015f（0）故选：D．点评： 本题主要考查函数值的大小比较，根据条件构造函数g（x）=e﹣xf（x），利用导数判断函数的单调性是解决本题的关键．5.（9）已知点A．

B．

C．

D．参考答案：C6.已知双曲线的焦距为，抛物线与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.设实数满足

，则的最小值是

参考答案：A8.设集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=(

)A．（﹣1，1] B．（﹣1，1） C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算进行求解．【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜2}，又B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B={x|﹣1＜x＜2}∩{x|﹣1≤x≤1}=（﹣1，1]．故选A．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的运算题．9.已知，若，使得，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.设是定义在实数集上的函数,满足条件是偶函数,且当时,,则,,的大小关系是（）A．

B．C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数为个．参考答案：10【考点】函数零点的判定定理．【分析】运用函数的对称性和奇偶性，确定函数y=f（x）的周期，构造函数y=f（x），h（x）=|lgx|，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点问题转化为图象的交点问题，结合图象，即可得到结论．【解答】解：∵偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），即函数f（x）关于x=1对称，即有f（x+2）=f（﹣x）=f（x），则函数y=f（x）的周期为2，构造函数y=f（x），h（x）=|lgx|，画出它们的图象，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点问题转化为图象的交点问题，由于f（x）的最大值为1，所以x＞10时，图象没有交点，在（0，1）上有一个交点，（1，3），（3，5），（5，7），（7，9）上各有两个交点，在（9，10）上有一个交点，故共有10个交点，即函数零点的个数为10．故答案为：10．12.正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的最大值是

．参考答案：2因为是它的内切球的一条弦，所以当弦经过球心时，弦的长度最大，此时.以为原点建立空间直角坐标系如图.根据直径的任意性，不妨设分别是上下底面的中心，则两点的空间坐标为，设坐标为，则,,所以，即.因为点为正方体表面上的动点，，所以根据的对称性可知，的取值范围与点在哪个面上无关，不妨设，点在底面内，此时有，所以此时，,所以当时，，此时最小，当但位于正方形的四个顶点时，最大，此时有，所以的最大值为2.13.

的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为

参考答案：答案：-16014.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则△ABC的面积为__________.参考答案：6,

15.平面向量与的夹角为60°，=(2,0)，||=1，则|+2|＝

参考答案：2【知识点】平面向量的数量积及应用F3由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12∴|a+2b|=2.【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．16.坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知圆（为参数）和直线（为参数），则直线被圆C所截得弦长为

.参考答案：17.曲线在点（1，2）处的切线方程是

．参考答案：y-x-1=0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

参考答案：19.（14分）已知的顶点A在射线上，A,B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足.当点A在l1上移动时，记点M的轨迹为W.

(Ⅰ)求轨迹W的方程；

(Ⅱ)设N(2,0)，过N的直线l与W相交于P、Q两点.求证：不存在直线l，使得.参考答案：解析：（Ⅰ）解：因为A,B两点关于x轴对称，

所以AB边所在直线与y轴平行.

设M(x,y)，由题意，得，

---------------------2分

所以，

因为，所以，即，

---------------------5分所以点M的轨迹W的方程为.

------------------6分

（Ⅱ）证明：设或，，

当直线时：

由题意，知点P，Q的坐标是方程组的解，

消去y得，

所以，且，

，

------------8分

因为直线l与双曲线的右支（即W)相交两点P、Q，

所以，即.

1----9分因为，所以，

，

，

--------------------11分

要使，则必须有，解得，代入1不符合.--12分

所以不存在l，使得.

当直线时，P(2,3)，，，不符合题意.

综上：不存在直线l使得.

------------------14分20.已知数列中,,.

⑴求及通项；

⑵设数列满足，求证：.参考答案：解析：⑴,

①；

②

①②得,即,,

∴.∴.

⑵由⑴得,,∴是单调递增数列.

故要证,只需证.若,则显然成立.

若,则.∴.

因此,,∴,故.21.（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．参考答案：考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．分析： （Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得kAD?kBD=﹣1，即可得出m与k的关系，从而得出答案．解答： 解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，∴，解得c=1．又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．∴，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），kAD?kBD=﹣1，∴，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴．化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，．，且满足3+4k2﹣m2＞0．当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=﹣时，l：y=k，直线过定点．综上可知，直线l过定点，定点坐标为．点评： 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22.为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计.按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．

（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；（2）在选取