数理统计区间估计

第1页，课件共44页，创作于2023年2月参数估计问题假设检验问题点估计区间估计统计推断的基本问题数理统计第2页，课件共44页，创作于2023年2月什么是参数估计？参数是刻画总体某方面概率特性的数量.当此数量未知时,从总体抽出一个样本，用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计.例如，X~N(,2),

点估计区间估计若,2未知,通过构造样本的函数,给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容.数理统计第3页，课件共44页，创作于2023年2月参数估计的类型点估计——估计未知参数的值区间估计——估计未知参数的取值范围，并使此范围包含未知参数真值的概率为给定的值.数理统计第4页，课件共44页，创作于2023年2月点估计点估计的思想方法设总体X的分布函数的形式已知,但含有一个或多个未知参数：1,2,,k设

X1,X2,…,Xn为总体的一个样本构造k个统计量：随机变量§7.1数理统计第5页，课件共44页，创作于2023年2月当测得样本值(x1,x2,…,xn)时,代入上述方程组，即可得到k个数：数值称数为未知参数的估计值对应统计量为未知参数的估计量数理统计第6页，课件共44页，创作于2023年2月三种常用的点估计方法

频率替换法利用事件A

在n

次试验中发生的频率作为事件A

发生的概率p

的估计量法一数理统计第7页，课件共44页，创作于2023年2月例1

设总体X~N(,2

),在对其作28次独立观察中,事件“X<4”出现了21次,试用频率替换法求参数的估计值.解

由查表得于是的估计值为例1数理统计第8页，课件共44页，创作于2023年2月方法用样本

k

阶矩作为总体

k

阶矩的估计量,建立含有待估参数的方程,从而解出待估参数一般,不论总体服从什么分布,总体期望

与方差2存在,则它们的矩估计量分别为

矩估计法法二数理统计第9页，课件共44页，创作于2023年2月事实上，按矩法原理，令数理统计第10页，课件共44页，创作于2023年2月设待估计的参数为设总体的

r

阶矩存在，记为样本X1,X2,…,Xn的r阶矩为令——含未知参数1,2,,k的方程组数理统计第11页，课件共44页，创作于2023年2月解方程组,得k

个统计量：未知参数

1,,k

的矩估计量代入一组样本值得k个数:未知参数

1,,k

的矩估计值数理统计第12页，课件共44页，创作于2023年2月例2设总体X~N(,2),X1,X2,…,Xn为总体的样本,求,2的矩法估计量.解例3设总体X~E(),X1,X2,…,Xn为总体的样本,求的矩法估计量.解令故例2~3数理统计第13页，课件共44页，创作于2023年2月例4设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时)1050,1100,1080,1120,12001250,1040,1130,1300,1200试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.解例4数理统计第14页，课件共44页，创作于2023年2月例5设总体X~U(a,b),a,b未知,求参数

a,b

的矩法估计量.解由于令例5数理统计第15页，课件共44页，创作于2023年2月解得数理统计第16页，课件共44页，创作于2023年2月

矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布.

缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不具有唯一性.

其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性.第17页，课件共44页，创作于2023年2月

极大似然估计法思想方法：一次试验就出现的事件有较大的概率例如:有两外形相同的箱子,各装100个球一箱99个白球1个红球一箱1个白球99个红球现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.答:第一箱.问:所取的球来自哪一箱？法三数理统计第18页，课件共44页，创作于2023年2月

它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.

它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的.GaussFisher

然而,这个方法常归功于英国统计学家费歇.

费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.数理统计第19页，课件共44页，创作于2023年2月

再看一个简单例子：一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢？

某位同学与一位猎人一起外出打猎.如果要你推测，你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下.数理统计第20页，课件共44页，创作于2023年2月

你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的.

这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想.数理统计第21页，课件共44页，创作于2023年2月例6设总体X服从0-1分布,且P(X=1)=p,

用极大似然法求

p

的估计值.解总体X的概率分布为设x1,x2,…,xn为总体样本X1,X2,…,Xn的样本值,则例6数理统计第22页，课件共44页，创作于2023年2月对于不同的p,L(p)不同,见右下图现经过一次试验，发生了，事件则

p

的取值应使这个事件发生的概率最大.数理统计第23页，课件共44页，创作于2023年2月在容许范围内选择

p，使L(p)最大注意到，lnL(p)是L的单调增函数,故若某个p

使lnL(p)最大,则这个p必使L(p)最大。所以为所求p的估计值.数理统计第24页，课件共44页，创作于2023年2月一般,设X为离散型随机变量,其分布律为则样本X1,X2,…,Xn的概率分布为或称L()为样本的似然函数数理统计第25页，课件共44页，创作于2023年2月称这样得到的为参数的极大似然估计值称统计量为参数的极大似然估计量MLE简记mle简记选择适当的=,使取最大值,即L()极大似然法的思想数理统计第26页，课件共44页，创作于2023年2月若X

连续,取f(xi,)为Xi

的密度函数似然函数为注1注2未知参数可以不止一个,如1,…,k

设X

的密度(或分布)为则定义似然函数为数理统计第27页，课件共44页，创作于2023年2月若关于1,…,k可微,则称为似然方程组若对于某组给定的样本值x1,x2,…,xn，参数使似然函数取得最大值,即则称为1,…,k

的极大似然估计值数理统计第28页，课件共44页，创作于2023年2月显然，称统计量为1,2,…,k

的极大似然估计量数理统计第29页，课件共44页，创作于2023年2月

(4)在最大值点的表达式中,用样本值代入就得参数的最大似然估计值.求最大似然估计(MLE)的一般步骤

(1)由总体分布导出样本的联合分布律(或联合密度);

(2)把样本联合分布律(或联合密度)中自变量看成已知常数,而把参数看作自变量,得到似然函数L();

(3)求似然函数L()的最大值点(常常转化为求lnL()的最大值点)，即

的MLE;第30页，课件共44页，创作于2023年2月例7

设总体X~N(,2),x1,x2,…,xn是

X

的样本值,求,2的极大似然估计.解例7数理统计第31页，课件共44页，创作于2023年2月

,2的极大似然估计量分别为似然方程组为数理统计第32页，课件共44页，创作于2023年2月极大似然估计方法1）写出似然函数L2）求出,使得数理统计第33页，课件共44页，创作于2023年2月可得未知参数的极大似然估计值然后,再求得极大似然估计量.L是的可微函数,解似然方程组若

L不是的可微函数,需用其它方法(最大似然原则)求极大似然估计值.请看下例：若数理统计第34页，课件共44页，创作于2023年2月例8

设X~U(a,b),x1,x2,…,xn是

X

的一个样本值,求

a,b的极大似然估计值与极大似然估计量.解X的密度函数为似然函数为例8数理统计第35页，课件共44页，创作于2023年2月似然函数只有当a<xi<b,i=1,2,…,n时才能获得最大值,且a越大,b越小,L越大.令xmin=min{x1,x2,…,xn}xmax=max{x1,x2,…,xn}取则对满足的一切a<b,都有数理统计第36页，课件共44页，创作于2023年2月故是a,b的极大似然估计值.分别是a,b的极大似然估计量.问题1)待估参数的极大似然估计是否一定存在?2)若存在,是否惟一?数理统计第37页，课件共44页，创作于2023年2月设X~U(a–½,a+½),x1,x2,…,xn是

X的一个样本,求

a的极大似然估计值.解由上例可知,当时,L

取最大值1,即显然,a

的极大似然估计值可能不存在,也可能不唯一.例9例9数理统计第38页，课件共44页，创作于2023年2月不仅如此,任何一个统计量若满足都可以作为

a

的估计量.数理统计第39页，课件共44页，创作于2023年2月极大似然估计的不变性设是的极大似然估计值,u()()是的函数,且有单值反函数=(u),u