辽宁省鞍山市城郊中学高三数学理上学期期末试卷含解析

辽宁省鞍山市城郊中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知偶函数f(x)满足，且当时，，关于x的不等式在区间[－200,200]上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：D分析：由偶函数满足，可得函数周期为8，利用导数研究函数的单调性，画出函数图象，在[0,200]上有25个周期，且有150个整数解，每个周期内有6个解，由可得结果.详解：由，可知函数的对称轴为，由于函数是偶函数，,所以函数是周期为的周期函数，当时，，函数在上递增，在上递减，最大值，且，由选项可知，解得或，根据单调性和周期性画出图象如图所示，由图可知，没有整数解，根据函数为偶函数，在上有个周期，且有个整数解，也即每个周期内有个解，，故，解得，故选D.点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．2.在中，“”是“”的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C.充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B3.设tanα，tanβ是方程x2+3x﹣2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3参考答案：B【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由根与系数的关系求得tanα+tanβ=﹣3，tanα?tanβ=﹣2，代入两角和的正切得答案．【解答】解：由题意，tanα+tanβ=﹣3，tanα?tanβ=﹣2，∴tan（α+β）=．故选：B．4.若

的夹角为，则(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B略5.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的倒数第二个数是A、

B、

C、

D、

参考答案：答案：C6.苏果超市特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡购买商品达到88元者，可获得一次抽奖机会，已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分成6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，且其面积依次成公比为3的等比数列，指针箭头指在最小1区域内时，就中“一等奖”，则消费达到88元者没有抽中一等奖的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】设面积最小的区域的面积为x，结合已知中6个扇形块面积成公比为3的等比数列，求出6个扇形块的总面积，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设面积最小的区域的面积为x，则由6个扇形块面积成公比为3的等比数列，可得总面积S==364x，故消费88元以上者没有抽中一等奖的概率P=1﹣=，故选D．7.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为(

) A.（，1） B.（，+） C.（，） D.（，+）参考答案：B8.等于

(A)16

(B)

8

(C)

4

(D)

2参考答案：A9.已知函数满足，且的导函数，则的解集为（D）A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.

已知函数在上恒正，则实数a的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某校高三有1000个学生，高二有1200个学生，高一有1500个学生，现按年级分层抽样，调查学生的视力情况，若高一抽取了75人，则全校共抽取了

人。参考答案：

18512.将函数y=sin2x（x∈R）的图象分别向左平移m（m＞0）个单位，向右平移n（n＞0）个单位，所得到的两个图象都与函数y=sin（2x+）的图象重合，则m+n的最小值为．参考答案：π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求出函数y=sin2x（x∈R）的图象分别向左平移m（m＞0）个单位，向右平移n（n＞0）个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数y=sin（2x+）的图象重合，可分别得关于m，n的方程，解之即可．【解答】解：将函数y=sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位，得函数y=sin2（x+m）=sin（2x+2m），∵其图象与y=sin（2x+）的图象重合，∴sin（2x+2m）=sin（2x+），∴2m=+2kπ，k∈z，故m=+kπ，k∈z，（k∈Z），当k=0时，m取得最小值为．将函数y=sin2x（x∈R）的图象向右平移n（n＞0）个单位，得到函数y=sin2（x﹣n）=sin（2x﹣2n），∵其图象与y=sin（2x+）的图象重合，∴sin（2x﹣2n）=sin（2x+），∴﹣2n=+2kπ，k∈z，故n=﹣﹣kπ，k∈z，当k=﹣1时，n取得最小值为，∴m+n的最小值为π，故答案为：π．13.设双曲线4x2－y2=1的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包括边界）为E，P（x,y）为该区域内的一动点，则目标函数z=x－2y的最小值为________.参考答案：14.已知n∈{－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，则n＝__________.参考答案：－1或2略15.已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是

。

参考答案：16.已知三内角的对边分别为，且,若成等比数列，则=

参考答案：17.如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红累计得分的分布列，并指出他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X=0”，“X=2”，“X=3”三个两两互斥的事件，由此能求出这2人的累计得分X≤3的概率．（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，由已知得X1的所有可能取值为0，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出X1的分布列和E（X1）；小明、小红都选择方案乙所获得的累计得分为X2，由已知得X2的所有可能取值为0，3，6，分别求出相应的概率，由此能求出X2的分布列和E（X2），从而得到他们都选择方案甲进行投资时，累计得分的数学期望较大．【解答】（本题满分12分）解：（1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X=0”，“X=2”，“X=3”三个两两互斥的事件，…因为P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）=，P（X=2）=×（1﹣）=，P（X=3）=（1﹣）×=，所以P（A）=P（X=0）+P（X=2）+P（X=3）=，即这2人的累计得分X≤3的概率为．…（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，由已知得X1的所有可能取值为0，2，4，P（X1=0）==，P（X1=2）==，P（X1=4）==，∴X1的分布列如下：X1024PE（X1）=0×+2×+4×=，…小明、小红都选择方案乙所获得的累计得分为X2，由已知得X2的所有可能取值为0，3，6，P（X2=0）==，P（X2=3）==，P（X2=6）==，∴X2的分布列如下：X2036PE（X2）=0×+3×+6×=．…∵E（X1）＞E（X2），∴他们都选择方案甲进行投资时，累计得分的数学期望较大．…【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；构造法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：，解得a，b，c值，可得椭圆C的方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程y=kx+代入+x2=1，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的k值．【解答】解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：，解得所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，故所求椭圆C的方程为+x2=1．（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程y=kx+代入+x2=1，并整理，得（k2+4）x2+2kx﹣1=0．（*）则x1+x2=﹣，x1x2=﹣．因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以?=0，即x1x2+y1y2=0．又y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+3，于是﹣﹣+3=0，解得k=±，经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．所以当k=±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，向量垂直的充要条件，难度中档．20.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，D为棱CC1的中点，G为棱AA1上一点，．（1）确定G的位置，使得平面C1OG∥平面ABD，并说明理由；（2）设二面角D-AB-C的正切值为，，E为线段A1B上一点，且CE与平面ABD所成角的正弦值为，求线段BE的长．参考答案：解：（1）为棱的中点．证明如下：∵四边形为平行四边形，∴为的中点，∴．∵，∴四边形为平行四边形，则．又，∴平面平面．（2）过作于，连接，则即为二面角的平面角．∵，，∴．又，，∴．以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，则，，设平面的法向量，则，即，令，得，设，∵，∴，∴与平面所成角的正弦值为，∴，∴或，又，∴或．

21.已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）.（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）已知点，直线l与曲线C交于A、B两点，求.参考答案：(1).(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线方程，结