江苏省南京市第四十二中学2021-2022学年高二数学文期末试卷含解析

江苏省南京市第四十二中学2021-2022学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设F为抛物线y2=8x的焦点，A、B、C为该抛物线上不同的三点，且++=，O为坐标原点，若△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3，则S12+S22+S32=（）A．36 B．48 C．54 D．64参考答案：B【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线y2=8x的焦点F的坐标，求出S12+S22+S32的表达式，利用点F是△ABC的重心，求得数值．【解答】解：设A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），∵抛物线y2=8x的焦点F的坐标为（2，0），∴S1=×|y1|×2=|y1|，S2=×|y2|×2=|y2|，S3=×|y3|×2=|y3|，∴S12+S22+S32=y12+y22+y32=8（x1+x2+x3）；∵++=，∴点F是△ABC的重心，∴（x1+x2+x3）=p=2，∴（x1+x2+x3）=6；∴S12+S22+S32=6×8=48．故选：B．2.已知，，则的值为（）A.

B.

C.

D.参考答案：A3.若函数是偶函数,则（）A. B. C. D.参考答案：C因为函数=是偶函数，所以，所以，因为，所以，故选C.4.对于简单随机抽样，每个个体每次被抽到的机会（） A．相等 B．不相等 C．无法确定 D．与抽取的次数有关 参考答案：A【考点】简单随机抽样． 【专题】概率与统计． 【分析】根据简单随机抽样的定义、特征可得，每个个体被抽到的机会都是相等的，由此得到答案． 【解答】解：根据简单随机抽样的定义可得，每个个体被抽到的机会都是相等的， 故选：A． 【点评】本题主要考查简单随机抽样的定义和特点，属于对基本概念的考查，属于基础题． 5.在直角三角形中，斜边上的高为6cm，且把斜边分成3︰2两段，则斜边上的中线的长为（

）

A．cm

B．cm

C．cm

D．cm

参考答案：A略6.若A，B，C，则△ABC的形状是（

）A．不等边锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等边三角形参考答案：A

解析：，，得为锐角；，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形7.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A=60°，c=6，a=6，则此三角形有（）A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由三角形的知识可判三角形为正三角形，可得一解．【解答】解：由等边对等角可得C=A=60°，由三角形的内角和可得B=60°，∴此三角形为正三角形，唯一解．故选：B．【点评】本题考查三角形解的个数的判断，涉及等边对等角和三角形的内角和，属基础题．8.下列运算不属于我们所讨论算法范畴的是（）A．已知圆的半径求圆的面积B．随意抽４张扑克牌算到二十四点的可能性C．已知坐标平面内两点求直线方程D．加减乘除法运算法则参考答案：B9.命题“若p则q”的逆命题是（）A．若q则p B．若￢p则￢q C．若￢q则￢p D．若p则￢q参考答案：A【考点】四种命题．【专题】简易逻辑．【分析】将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，从而可得【解答】解：将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，则命题“若p则q”的逆命题是若q则p．故选A．【点评】本题考查了命题与逆命题的相互关系的应用，属于基础题．10.观察下列各式：已知，，，，，…，则归纳猜测＝（

）A、26

B、27

C、28

D、29命题意图：中等题。考核归纳的思想，数列原型学生都见过，为斐波拉契数列。参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出以下命题：⑴若，则f(x)>0；

⑵;⑶已知，且F(x)是以T为周期的函数，则；(4)

其中正确命题的个数为__

个参考答案：

3个略12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为__________．参考答案：217【分析】根据题意，类比36的所有正约数之和的方法，分析100的所有正约数之和为(1+2+22)(1+5+52)，计算可得答案．【详解】根据题意，由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52，所以100的所有正约数之和为(1+2+22)(1+5+52)=217．可求得100的所有正约数之和为217；故答案为：217.【点睛】本题考查简单的合情推理应用，关键是认真分析36的所有正约数之和的求法，并应用到100的正约数之和的计算．13.已知{an}是由正数组成的数列，前n项和为Sn，且满足：an+=（n≥1，n∈N+），则an=．参考答案：n【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】an+=（n≥1，n∈N+），n=1时，a1+=，解得a1．n≥2时，平方相减可得﹣=2an，化为：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，可得an﹣an﹣1=1，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵an+=（n≥1，n∈N+），∴n=1时，a1+=，解得a1=1，n≥2时，=2Sn+，=2，∴﹣=2an，化为：﹣=0，∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，∵an＞0，∴an﹣an﹣1=1，∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1．∴an=1+（n﹣1）=n．故答案为：n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为

▲

．参考答案：略15.某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积为__________.参考答案：16.下列六个命题：①是函数；②函数在区间上递减；③函数的图象是一条直线；④是的充分不必要条件；⑤若是虚数，则；⑥若函数的值域是，则它的定义域一定是。其中正确命题的序号是

参考答案：②④17.已知△ABC中，则的值为

；参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0，x∈R}，B＝{x|x2－(2m－3)x＋m2－3m≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[2,4]，求实数m的值；(2)设全集为R，若A?RB，求实数m的取值范围．参考答案：由已知得A＝[－2,4]，B＝[m－3，m]．(1)∵A∩B＝[2,4]，∴m－3＝2，且m≥4.∴m＝5.(2)∵B＝[m－3，m]，∴?RB＝(－∞，m－3)∪(m，＋∞)．∵A?RB，∴m－3>4或m<－2.∴m>7或m<－2.∴m∈(－∞，－2)∪(7，＋∞)．略19.（本题满分12分）如图，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处.然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛.（Ⅰ）求A、C两岛之间的直线距离；（Ⅱ）求∠BAC的正弦值.

参考答案：

解：（Ⅰ）在△ABC中，由已知，AB＝10×5＝50，BC＝10×3＝30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°

………2分据余弦定理，得，

所以AC＝70.

…………………5分故A、C两岛之间的直线距离是70海里.

…………6分（Ⅱ）在△ABC中，据正弦定理，得，

……8分所以.

……………11分故∠BAC的正弦值是.

……………12分20.已知下列三个方程：至少有一个方程有实数根.求实数的取值范围.

参考答案：由得,又,所以,

当时,1<,即为真时实数的取值范围是1<.

由,得,即为真时实数的取值范围是.

若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.

ks5u(Ⅱ)是的充分不必要条件,即,且,

设A=,B=,则,又A==,B==},则0<,且所以实数的取值范围是.略21.（本小题满分12分）已知直线与椭圆：交于,两点．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）求证：.参考答案：（Ⅰ）设椭圆方程可化为为：

…1分

…………………3分

………………4分

…………………5分分（Ⅱ）法二：证明：联立得：

……7分解得：

………9分，

……………10分

…………………11分所以，

……12分22.设．（1）求的单调区间；（2）求函数在[1,3]上的最值．参考答案：(1)函数的单调增区间是，单调递减区间是.(2)-6,.试题分析：(1)根据定积分的运算法则可得，求出，令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；(2)根据单调性求出极值，比较极值与区间端点函数值的大小即可得到函数在上的最值.试题解析：依题意得F(x)