浙江省金华市义乌树人中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

浙江省金华市义乌树人中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（

）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】：必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】：判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．【点评】：本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．2.已知m，n都是非零实数，则“m=n”是“m2=n2”的(

) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：由m2=n2?m=±n，即可判断出．解答： 解：∵m2=n2?m=±n，∴“m=n”是“m2=n2”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充要条件的判定方法、根式的运算性质，属于基础题．3.在复平面中，满足等式|z+i|=|4﹣3i|的复数z所对应点的轨迹是（）A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆参考答案：C【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；集合思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】设z=x+yi（x，y∈R），代入|z+i|=|4﹣3i|，利用复数模相等可得复数z所对应点的轨迹．【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R），代入|z+i|=|4﹣3i|，得|x+（y+1）i|=|4﹣3i|，即，∴x2+（y﹣1）2=25．∴复数z所对应点的轨迹是圆．故选：C．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件①M、N都在函数y=f（x）的图象上；②M、N关于原点对称．则称点对[M，N]为函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”）．已知函数f（x）=，此函数的“友好点对”有(

)A．0对 B．1对 C．2对 D．3对参考答案：C【考点】进行简单的合情推理．【专题】新定义．【分析】根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log3x（x＞0）交点个数即可．【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x（x≥0）由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x≥0）的图象及函数f（x）=log3x（x＞0）的图象如下图所示由图可得两个函数图象共有两个交点即f（x）的“友好点对”有：2个．故选：C．【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．5.数列{an}满足，则数列{log2an}的前10项和S10=（）A．55 B．50 C．45 D．40参考答案：A【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知得{an}是首项为2，公比为2的等比数列，从而，进而log2an=n，由此能求出数列{log2an}的前10项和S10．【解答】解：∵数列{an}满足，∴{an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴log2an=n，∴数列{log2an}的前10项和S10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．故选：A．【点评】本题考查数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和对数性质的合理运用．6.已知复数z满足（i是虚数单位），则=（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由，得，．故选：A．7.设两个正数满足，则的最小值为A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.若，则下列不等式：①a＋b<ab②|a|>|b|

③a<b④中，正确的不等式有A．①②

B．②③

C．①④

D．③④参考答案：C9.设，则a，b，c大小关系正确的是

（

）

A．

B．C．

D．参考答案：B略10.执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的i值．【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下；S=1，i=1，S＜30；S=2，i=2，S＜30；S=4，i=3，S＜30；S=8，i=4，S＜30；S=16，i=5，S＜30；S=32，i=6，S≥30；终止循环，输出i=6．故选：B【点评】本题主要考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设则_______

_.参考答案：

12.=__________。参考答案：-13.已知函数，的四个根为，，，，且，则

．参考答案：214.函数f（x）=的定义域是．参考答案：（0，]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】关键二次根式的性质以及对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：﹣lgx≥0，解得：0＜x≤，故答案为：（0，]．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，是一道基础题．15.秋末冬初，流感盛行，信阳市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋（－1）n（n∈N*），则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．参考答案：25516.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为

▲

。参考答案：217.在，已知，则的大小为

．参考答案：120°三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数求函数的单调区间，注意对参数a的分类讨论；（2）背景为指数函数y=ex与对数函数y=lnx关于直线y=x对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y=x对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；（3）考查利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题ex≥x+1这个结论，考查学生对课本知识的掌握程度．【解答】（1）解：依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导，得．①若a≤0，对一切x＞0有f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．②若a＞0，当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0．所以函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是．

（2）解：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，，所以x2=1，y2=e，则．由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则，所以，．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得．

令，则，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．若x1∈（0，1），因为，，所以，而在上单调递减，所以．若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以（舍去）．综上可知，．

（3）证明：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）﹣ax+ex，．①当a≤2时，因为ex≥x+1，所以，h（x）在[0，+∞）上递增，h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意．②当a＞2时，因为，所以h′（x）在[0，+∞）上递增，且h′（0）=2﹣a＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得h′（0）=0．所以h（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，又h（x0）＜h（0）=1，所以h（x）≥1不恒成立，不合题意．

综合①②可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，2]．

19.已知直线，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（Ⅰ）将直线写成参数方程（为参数，）的形式，并求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）过曲线上任意一点作倾斜角为30°的直线，交于点，求|AP|的最值．参考答案：（Ⅰ）的倾斜角为，∴l的参数方程为，…2分由，得曲线的直角坐标方程为.……………5分（Ⅱ）C:设,P到的距离为又.

……………10分20.某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．（1）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（2）假定选择的“非低碳小区”为小区，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区是否达到“低碳小区”的标准？

参考答案：略21.(本小题满分12分)已知函数为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若时，的最小值为，求a的值．参考答案：22.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝(a，b)，向量n＝(sinB，sinA)，向量p＝(b－2，a－2)(1)若m∥n，求证△ABC