二次函数与相似三角形综合题

1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.【关键字】精品二次函数与相似三角形(1)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边(2)连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。∴B(4,0),OB＝4.∴D(6,－3);根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边D－3),⑵如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.由,得∴PB＝≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,∴△PBO与△BAO不相似,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.(1)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动，分别交x轴于点E，交(2)在(1)的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得合题．(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，434∴M点的坐标为(m，﹣m+4)，33文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.点P的坐标为(m，﹣m2+m+4)，47∴PM=PE﹣ME=(﹣m2+m+4)﹣(﹣m+4)=﹣m2+m，3373(3)在(2)的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、∴m=．△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，m4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．(1)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PCB点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．是否存在点Q，使得△OPC与(2)如果符合(2)中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形BBQEAxyCO(1)存在．设Q点的坐标为(m，n)，则n=-2m2+53m，CPOC333321OCCP333312文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.1 AO3 A在点B的左边)，与y轴交于点C．(1)若直线l:y=kx(k士0)与线段BC交于点D(不与点B，C重合)，则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数xl(2)若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角xlxl三PCO与三ACO的大小(不必证明)，并写出此时点P的横坐标xp的取值范围．lCC5CD6或=92BC=BA44或=92BC=BA44(1)假设存在直线l:y=kx(k0)与线段BC交于点D(不与点B，C重合)，使得以12 ①②7 (44)若是②，则有BD=．BC32文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. (44)若是②，则有BD=．BC32(92)2：在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2+DE2=2BE2=BD2=|(4)||．9解得BE=DE=(负值舍去)．4E44[或求出直线AC的函数表达式为y=3x+3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为 (44) (44)∴满足条件的直线l的函数表达式为y=2x． (44) (44)8yAoCxyAoCx12xxpppCCAO3BdO229文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.AGMGPACA3222解得m=一1(舍去)m=(舍去)123AGMGCAPA2即=解得：m=2232AGMGPACA4m234m23∴=解得m=一1(舍去)322147∴M(,)39AGMGCAPAMGAyPAxoAxBCyPMGoBxC即=232124739文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.4.(2013•曲靖压轴题)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、(1)当DE=4时，求四边形CAEB的面积．(2)设点C坐标为(m，0)(m＜0)，根据已知条件求出点E坐标为(m，8+m)；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值．在计算四边形CAEB面积时，利用S四=S+S﹣S，可以简化计算；边形CAEB△ACE梯形OCEB△BCO(3)由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角知数．B∴∴，(2)设点C坐标为(m，0)(m＜0)，则OC=﹣m，AC=4+m．∴C(﹣2，0)，AC=OC=2，CE=6，文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.SS=S+S﹣S=×2×6+(6+4)×2﹣×2×4=12．四边形CAEB△ACE梯形OCEB△BCO(3)设点(3)设点C坐标为(m，0)(m＜0)，则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，则D(m，4+m)．i)若∠BED=90°，则BE=DE，∴E(m，4)．法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第(3)问需要分B文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.BD．(2)连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．则则==，得出Q的坐标(﹣9，0)，运用待定系数法求出直线CQ的解析式为y=似三角形对应边成比例得出MN=2CN．设CN=a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三MN文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.(2)①如右图．∴∴==，∴点∴点P的坐标为(，﹣)；②(Ⅰ)当点M在对称轴右侧时．==，∴CF=a，∴∴==，a∴∴MG=FG=a，∴M(a，﹣3+a)．∴∴M(，﹣∴∴MG=FG=a，∴∴CG=FG+FC=a，∴M(a，﹣3+a)．∴M(5，12)；(Ⅱ)当点M在对称轴左侧时．文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.综综上可知，点M坐标为(，﹣)或(5，12)．二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．(2)中第②问进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键．(2)在抛物线上是否存在点P，使S=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理BD (3)如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S=6△PBD件，列出一元二次方程求解．∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，﹣1)．∴M(2，1)．文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.(I)若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，∴N(0，0)；1∵OB=OD=ON=3，2∴N(﹣3，0)；2∵OB=OD=ON=3，3∴N(0，﹣3)．3(2)假设存在点P，使S=6，设点P坐标为(m，n)．PBDSSSSSnm(m﹣3)•n=6，△PBD梯形PEOB△BOD△PDE化简得：m+n=7①，∵P(m，n)在抛物线上，1212∴P(4，3)，P(﹣1，8)；12SS=S+S﹣S=(3+m)•(﹣n)+×3×3﹣(3﹣n)•m=6，△PBD梯