导数及其应用

导数及其应用一、导数的定义如果当Dx0时，的极限存在，这个极限就叫做函数f(x)在x=x0处的导数（或变化率）记作即二、多项式函数的导数定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义，当自变量x在点x0处有增量Dx时，函数有相应的增量

Dy=f(x0+Dx)-f(x0)二．曲线的切线斜率导数的几何意义：过曲线ｙ＝ｆ（ｘ）上（ｘo，ｙo）的切线的斜率等于函数ｙ＝f（ｘ）在x=ｘ0处的导数．三、导数的应用说明：从函数图象和导数的几何意义，通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与其导数的关系，熟练掌握用导数的符号判别函数增减性的方法．２.函数的极值与其导数的关系:yx0x01.函数的导数与单调性的关系:

若>0，则f(x)为增函数;若<0，则f(x)为减函数．若ｘ＜ｘ０时，＜０且,ｘ＞ｘ０时，＞０则ｆ（ｘ）在ｘ０处有极小值．若ｘ＜ｘ０时，＞０且,ｘ＞ｘ０时，＜０则ｆ（ｘ）在ｘ０处有极大值．显然在极值处函数的导数为０．极小值极小值极大值极大值【知识在线】:３.函数y=x2(x-3),则f(x)的单调递减区间是_____,单调递增区间为______________。２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件５.设函数f(x)=ax3+bx2+cx,在x=1与x=-1处有极值，且f(1)=-1,求a,b,c的值。１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________.４.函数y=在区间[-1，1]上的最小值是_______。B(0,2)(-∞,0),(2,+∞)-136【讲练平台】1.若函数f(x)=ax3+x,(1)求实数a的取值范围，使f(x)在R上是增函数；(2)求实数a的取值范围，使f(x)恰好有三个单调区间。解：（２）由题意f(x)恰好有三个单调区间，则函数ｆ（ｘ）有一个极大一个极小值，所以方程（１）由ｆ（ｘ）在Ｒ上是增函数可知导函数对ｘ∈Ｒ恒成立,即解:所以直线L的方程是y=2a(x-a)+a2令x=1有y=2a(1-a)+a2=2a-a2,即C(1,2a-a2)0xyABCD３.如图，抛物线y=x2上有一点A（a，a2），a∈（0，1），过点A引抛物线的切线L分别交x轴及直线x=1于B、C两点，直线x=1交x轴于点D。（I）求直线L的方程；（II）求图中△ACD的面积S（a），并求出a为何值时，S（a）有最大值？时,S’(a)>0,时,S’(a)<0,时S(a)有最大值４.试讨论方程x3-3ax+2=0（ａ＞０）解的个数。分析：令f(x)＝x3-3ax+2，讨论方程的解的个数，也就是看函数f(x)的图象与x轴的交点的个数，由此可得，函数在ｘ＝－，处取得极大值２＋２在ｘ＝，处取得极小值２-２．草图如图－０xy解：设f(x)＝x3-3ax+2，f(x)

x∵ａ＞０，显然极大值必为正，极小值极大值故只要看极小值的正负即可。通过讨论函数f(x)的单调性及极大值与极小值，结合图形可得方程解的个数.－０xy－０xy－０xy方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根（其中有一个为二重根）；方程x3-3ax+2=0有三个不同的实根。５.已知a>0,n为正整数。(2)设fn(x)=xn-(x-a)n,对任意n≥a,证明：(1)设y=(x-a)n,证明y’=n(x-a)n-1;解：(1)小结求函数单调区间的步骤：求函数极值的步骤：(1)求导函数f’(x);(2)求方程f’(x)=0的根；(3)检查