微积分下2第十一章

第四节

泰勒级数与幂级数(2)一、将函数展开成泰勒级数二、小结 思考题一、将函数展开成泰勒级数的方法步骤:n!f

(

n)

(

x

)n(1)

求a

0

，写出泰勒级数(2)

讨论lim

Rn

0n则级数在收敛区间内收敛于f

(x).(一)直接法f

(

x0

)

f

(

x0

)(

x

x0

)

n

n

0n(

x

x0

)

(n)

f

(

x0

)n!n!f

(n)(

x0

)(

x

x0

)例1

将f

(

x)

e

x

展开成x的幂级数.（麦克劳林级数）解f

(

n)

(

x)

e

x

,f

(

n)

(0)

1.

(n

0,1,2,)(n

1)!(n

1)!x

n1xn1

e

x

en其中R

(

x)

f

(

n1)

(

)

en12x

......

1

2!nx

1n!

(n

1)!f

n1(

)x

e

1

x

x（在0到x之间）x

(,)e

x

1

x

1

x

2

1

xn

2!

n!

0

(n

);(n

1)!x

n1

e

x

于是e

x

有界的一般项，是收敛级数n1(n

1)!x

n1(n

1)!x

n1nlim

Rn

0例2

将f

(

x)

sin

x展开成x的幂级数.解f

(

n)

(

x)

sin(

x

n),

f

(

n)

(0)

sin

n

,2

2

f

(

2n)

(0)

0,f

(

2n1)

(0)

(1)n

,

(n

0,1,2,)sin

x的麦克劳林级数为

.....3!

5!

7!

(2n

1)!x

......

x3

x5

x7

(1)n

x(

2n1)(

x

)x

(,)

0

(n

)(n

1)!x

n1

......

n0

(2n

1)x

2n1x77!15!13!1sin

x

x

x

3

x5

n1

2

(n

1)!sin[

(n

1)

]nR

(

x)

x（在0到x之间）例3将f

(x)

(1

x)

(

R)展开成x的幂级数.解

f

(n)(x)

(

1)(

n

1)(1

x)n

,f

(

n)

(0)

(

1)(

n

1),(n

0,1,2,)

(

1)(

n

1)

xnn!2!1

x

(

1)

x

2ann

lim

an1n

1

n

1,

R

1,在(1,1)内,若

s(

x)

1

x

(

1)(

n

1)

xnn!s(

x)

(

1)

x

(

1)(

n

1)

xn1

(n

1)!两边乘以(1+x)，合并xn

的系数，利用(m

1)(m

n

1)

(m

1)(m

n)

m(m

1)(m

n

1)

(n

1)!

n!

n!有(1

x)s(x)2

(

1)(

n

1)(

1)

2

x

n1x

2x

n!2!

s(

x),s(

x)

s(

x)

1

x且s(0)

1.两边积分0xxdx,dx

s

(

x)s(

x)

0

1

xx

(1,1)得ln

s(

x)

ln

s(0)

ln(1

x),即ln

s(

x)

ln(1

x)

,

s(

x)

(1

x)

,x

(1,1)

2!

(1

x)

1

x

(

1)

x

2

(

1)(

n

1)

xnn!——牛顿二项展开式x

(1,1)注意:在x

1处收敛性与的取值有关.

1

1

1

1收敛区间为(1,1);收敛区间为(1,1];收敛区间为[1,1].当

1,

1时,有2

1

x

x2

x3

(1)n

xn

(1,1)11

x1

x

1

1

x

1

x2

1

3

x3

(1)n

(2n

3)!!

xn

2

2

4

2

4

6

(2n)!![1,1]1

1

1

x

1

3

x2

1

3

5

x3

(1)n

(2n

1)!!

xn

1

x

2

2

4

2

4

6

(2n)!![1,1]双阶乘（二）间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例如cos

x

(sin

x)cos

x

1

4!12!1x2n

(1)n

(2n)!x

(,)x4x21

1

sin

x

x

3!

x

5!

x

(1)

(2n

1)!

x

2

n13

5

n20dx1

xarctan

x

x1153

x

3

x

5

x

(1)

2n

1

x

2n1nx

[1,1]0

1

xln(1

x)

dx x

x

(1,1]nn1

xn32

x

2

x

3

x

(1)1

1例44

x将f

(

x)

x

1

在x

1处展开成泰勒级数(展开成x

1的幂级数),并求f

(n

)(1).解31

1

14

x

3

(

x

1)

,3(1

x

1)3

(

x

1)n

]

1[1

x

1

(

x

1)23

3

3x

1

314

x4

x

x

1

(

x

1)

(

x

1)

3

13n(

x

1)n33(

x

1)332(

x

1)2x

1

3n!于是3n故f

(n)(1)

n!.3n

,f

(

n)

(1)

1例5解展开成（x

1)的幂级数.1

4

x

31将f

(x)1x

2(

x

1)(

x

3)x

2

4

x

31

1

)

1

(2

x

1

x

3]4

(

x

1)11

1

[2 2

(

x

1)41

1

8

1

x

121

1

4

1

x

12n01

x

1其中

1

(1)n

(

x

1)n2(1

x

3)n04

1

(1)n

(

x

1)n1

x

14(3

x

5)

1

n1(1)n

(

1

1

)(

x

1)n2n

2

2n

3

4

x

3x

2(1

x

3)例6

将点展开成泰勒级数.40cos

x在x

解cos

x

cos(

x

)

cos

cos(

x

)

sin

sin(

x

)4

4

4

4

4

4

2

[cos(

x

)

sin(

x

)]2

4

4cos(

x

π

)

1

1

(

x

π

)2

1

(

x

π

)4

......

x

4

2!

4

4!

4sin(

x

π

)

(

x

π

)

1

(

x

π

)3

1

(

x

π

)5

.....

x

4

4

3!

4

5!

43!

4

x

2

4

2!

4

cos

x

2

[1

(

x

π

)

1

(

x

π

)2

1

(

x

π

)3

例7

将下列级数展开成x

2的幂级数;5

x1(1)

f

(

x

)

(2)ln

x解令x

2

t

,即x

t

2,于是311

1

1

5

x

3

t

3 1

t(1)tt

1

1

t

(

)2

(

)n

3

3

3

332

333

1

1

(

x

2)

1

(

x

2)2

1

x

5(2) ln

x

ln(

2

t

)

ln

2(1

t

)

ln

2

ln(1

t

)2

2t

tn

22

2

2

ln

2

t

1

(

)2

(1)n

1

1

(

)n

0

x

4

n

2n

(1)n

1

(

x

2)n(

x

2)32

22

3

23x

2 (

x

2)2

ln

2

2注：常用函数的麦克劳林级数x

(

,

)n!x

nx(1)

e

n

0n

0x

(,

)nx

2n1(2) sinx

(1)

(2n

1)!n

0x

(,

)nx

2n(3) cos

x

(1)

(2n)!n

xn1n

1(4) ln(1

x)

(1)n

0x

(1, 1

]n0

n

1)(5)

(1

x)

n!(nx x

(1,

1)

1)(n

x

2n1(6) arctan

x

(1)n

0x

[1,

1]2n

1n

0x

(1,

1)11

x1特别:nxn

0x

(1,

1)1

xn

n(1)

x二、小结函数展开成泰勒级数的方法.将函数展开成x

的幂级数将函数展开成x

x0的幂级数3.常用函数的麦克劳林级数思考题什么叫幂级数的间接展开法？间接展开法从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数的展开式的方法.一、近似计算

二、计算定积分第五节函数的幂级数展开式的应用一、近似计算

A

a1

a2

an

,

A

a1

a2

an

,误差

rn

an1

an2

.两类问题:给定项数,求近似值并估计精度;给出精度,确定项数.关健:通过估计余项,确定精度或项数.常用方法:若余项是交错级数,则可用余项的首项来解决;若不是交错级数,则放大余项中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.例1

计算e的近似值,使其误差不超过105.解ex

1

x

1

x2

1

xn

,2!

n!令x

1,得

e

1

1

1

1

,2!

n!余项:

r

n111(n

2)!

)(1

1

1(n

1)!

n

2

)

(n

1)21(1

(n

1)!1

1(n

1)!

n

11n

n!n1欲使

r

10

5

,只要

10

5

,1n

n!即n

n!

10

5

,而

8

8!

322560

10

5

,

e

1

1

1

1

1

2.718282!

3!

8!例2并估计误差.0x

3利用sin

x

x

3!

计算sin

9

的近似值,解sin

90

sin

1

(

)3

,20

20

6

204r

1

(

π

)55!

20

120

3000001

1

(0.2)5

10

5

,sin

90

0.157079

0.000646

0.156433其误差不超过105

.二、计算定积分2

sin

x

1例如函数

e

x

,

, ,

原函数不能用初等x

ln

x函数表示,

难以计算其定积分.解法逐项积分展开成幂级数定积分的级数解被积函数第四项17

7!

30001

104

,取前三项作为积分的近似值,得10sin

xx

1

1

3

3!

5

5!dx

1

0.9461例3140sin

xxdx

的近似值,精确到10

.算

1

x4

1

x6

sin

x

1

1

x

23!

5!

7!

1

1

1

3

3! 5

5! 7

7!xdx

1

解x

(,)10sin

xx

收敛的交错级数一、将下列函数展开成x