河北省邯郸市南里岳中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

河北省邯郸市南里岳中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设

若的最大值为__________A.2

B.

C.

1

D.参考答案：C2.设集合M=｛0,1,2｝，N=，则=(

)A.

｛1｝B.｛2｝C.｛0，1｝D.｛1，2｝参考答案：D把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式经检验x=1,2满足。所以选D.3.《九章算术?衰分》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：

今有禀栗，大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，一十五斗，今有大夫一人后来，亦当禀五斗，仓无栗，欲以衰出之，问各几何？

现解决如下问题：原有大夫、不更、簪裹、上造、公士5种爵位各1人，现增加一名大夫，共计6人，按照爵位共献出5斗栗，其中5种爵位的人所献“禀栗”成等差数列{an}，其公差d满足d=﹣a5，请问6人中爵位为“簪裹”的人需献出栗的数量是（）A．斗 B．斗 C．1斗 D．斗参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用率等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：由题意得：，解得，∴6人中爵位为“簪裹”的人需献出栗的数量是a3=a1+2d==（斗）．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D集合A为，集合B为所以并集所以选D

5.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（

）．A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：C【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为，求出平面的法向量，令，求出的值．【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设，则，0，，，2，，，0，，则，2，，，0，，，0，，设平面的法向量为，，，则，，令可得，1，，故，．直线与平面所成角的正弦值为，，解得：．故选：．【点睛】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．6.在如右图所示的程序框图中输入10，结果会输出(

)A．10

B．11

C．512

D．1024参考答案：D略7.已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x参考答案：A【分析】确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：椭圆+x2=1的焦点坐标为（0，±2）．双曲线my2﹣x2=1（m∈R）的焦点坐标为（0，±），∵双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，∴=2，∴m=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：A．8.已知中，，点为边所在直线上的一个动点，则满足（

）A．最大值为16

B．最小值为4

C．为定值8

D．与的位置有关参考答案：C略9.命题p：函数的图象必过定点（－1，1）；命题q：如果函数的图象关于（3，0）对称，那么函数的图象关于原点对称，则有

（

）

A．“p且q”为真

B．“p或q”为假

C．p真q假

D．p假q真参考答案：答案：C10.已知为两个非零向量，集合，集合，则是A=B的

（

）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，，则

.参考答案：12.某同学为了研究函数的性质,构造了如图所示的两个边长为的正方形和,点是边上的一个动点,设,则.那么,可推知方程解的个数是_________个参考答案：213.已知函数则=_______________．参考答案：14.某几何体的一条棱长为a，在该几何体的主视图、俯视图、左视图中，这条棱的投影长分别为、、5，那么a=____参考答案：【分析】根据已知的投影长度，设棱长a为长方体的体对角线，列方程组，即可解得a的值。【详解】由题，设a为长方体的体对角线，三视图中的三个投影是三个面上的对角线，长方体边长分别为x，y，z，如图：由已知可得，，，，解得.【点睛】本题的解题关键在于把三视图的投影和棱长a对应到一个长方体中，长方体的长宽高设而不求，即能解出棱长a。15.已知实数满足约束条件,那么的最小值为

．参考答案：试题分析：因,令,则该式表示定点与区域内动点的连线段的距离,故其最小值是点到直线的距离,所以的最小值是,应填.考点：线性规划的有关知识和运用．【易错点晴】本题考查的是线性规划的有关知识及综合运用.解答时先依据题设条件画出不等式组表示的平面区域如图,借助题设条件搞清楚的几何意义是动点与定点的距离的最小值问题.通过观察可以看出其最小值是点到直线的距离,所以的最小值是.16.（几何证明选讲选做题）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，

．

参考答案：17.已知复数，则复数z的虚部为______.参考答案：【分析】根据复数的除法运算，化简得，进而求得复数的虚部，得到答案.【详解】由题意，复数，所以复数的虚部为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的概念，熟练应用复数的除法运算法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设，．（1）求在上的值域；（2）若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．参考答案：19.已知函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为1.（1）求函数f(x)的增区间；（2）当时，求函数f(x)的最大值、最小值及相应的x的值.参考答案：（1）.（2）时，函数的最小值为-2；时，函数的最大值为.【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简，进而得及则解析式可求；（2）由得，利用正弦函数的图像及性质得值域即可【详解】（1）由.由函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为1，有，有，得，故.令，得.故函数的增区间为.（2）当时，.则当，即时，函数的最小值为2；当，即时，函数的最大值为.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．20.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，D为BB1的中点.（I）若E为AB1上的一点，且DE与直线CD垂直，求的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，设异面直线AB1与CD所成的角为45°，求直线DE与平面成角的正弦值.参考答案：（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）取中点,连接，证明，即可说明，由底面为正方形，可求得;（Ⅱ）以为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面的法向量为，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解。【详解】（Ⅰ）证明：取中点,连接,有,因为，所以,又因为三棱柱为直三棱柱，所以,又因为,所以，又因为所以又因为,平面,平面,所以，又因为平面,所以,因为，所以,连接,设，因为为正方形，所以,又因为所以,又因为为的中点，所以为的中点,所以.（Ⅱ）如图以为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设,由（Ⅰ）可知，所以，所以,所以,所以，设平面的法向量为，则即则的一组解为．所以所以直线与平面成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题。21.（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱长为4，AB⊥BC，且AB＝BC＝4，点D，E分别是棱AB，BC上的动点，且AD＝BE.（Ⅰ）求证：无论D在何处，总有B′C⊥C′D；（Ⅱ）当三棱锥B-DB′E的体积取最大值时，求二面角D-B′E-A′的余弦值．

参考答案：根据题意，以B为原点，以BC，BA，BB′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则B(0，0，0)，A(0，4，0)，A′(0，4，4)，C(4，0，0)，C′(4，0，4)，B′(0，0，4)．(1)证明：设D(0，a，0)，则E(4－a，0，0)，得＝(4，0，－4)，＝(－4，a，－4)，故·＝0，有⊥，即总有B′C⊥C′D.

………4分(2)当且仅当a＝2时，取等号，此时D(0，2，0)，E(2，0，0)