椭圆垂径定理公式

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椭圆垂径定理公式椭圆垂径定理是一条关于椭圆的基本定理，它给出了椭圆上每个点的特殊性质。该定理的公式表述如下：

对于任意点P(x,y)和椭圆E，过P作E的垂线，该垂线与椭圆相交于A和B两点，则PA和PB的乘积等于椭圆长轴的平方减去椭圆短轴的平方。

即PA*PB=a^2-b^2

其中，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。

这个定理的证明使用了椭圆的性质和几何学中的许多知识点，如勾股定理、圆锥曲线的定义等。因此，在理解该定理之前，需要先掌握这些知识点。

椭圆的定义：椭圆是离心率小于1的圆锥曲线。它可以看作一个平面内的点，到两个不同的焦点的距离之和等于常数的集合。

勾股定理：在直角三角形ABC中，a、b、c分别为三边的长度，c为斜边，则a^2+b^2=c^2。

圆锥曲线的定义：圆锥曲线是由一个交于两点的锥面截得的平面曲线，包括椭圆、抛物线和双曲线。

在了解以上相关概念之后，可以开始理解椭圆垂径定理的证明。

首先，设椭圆E的标准方程为(x/a)^2+(y/b)^2=1，垂线与椭圆的交点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)，P点的坐标为(x,y)。由定义可知，PA和PB的长度分别为：

PA=sqrt[(x1-x)^2+(y1-y)^2]

PB=sqrt[(x2-x)^2+(y2-y)^2]

接下来，推导椭圆垂径定理中的式子PA*PB=a^2-b^2。

将椭圆标准方程代入PA和PB的式子中，得到：

PA=sqrt[(a^2-b^2)(1-(y-y1)^2/b^2)/(x-x1)^2]

PB=sqrt[(a^2-b^2)(1-(y-y2)^2/b^2)/(x-x2)^2]

将PA和PB代入PA*PB中，得到：

PA*PB=sqrt[(a^2-b^2)(1-(y-y1)^2/b^2)/(x-x1)^2]*sqrt[(a^2-b^2)(1-(y-y2)^2/b^2)/(x-x2)^2]

=(a^2-b^2)*[sqrt(1-(y-y1)^2/b^2)*sqrt(1-(y-y2)^2/b^2)]/[(x-x1)*(x-x2)]

由椭圆的定义可知，两个焦点分别为(-c,0)和(c,0)，其中c=sqrt(a^2-b^2)。因此，A和B分别在x轴上，即y1=y2=0。将这两个条件带入到PA*PB的式子中，可得：

PA*PB=(a^2-b^2)*[sqrt(1-y^2/b^2)*sqrt(1-y^2/b^2)]/[(x-x1)*(x-x2)]

=(a^2-b^2)*sqrt(1-y^2/b^2)^2/[(x-x1)*(x-x2)]

=a^2-(a^2-b^2)*y^2/b^2

将椭圆的标准方程代入以上式子，得到：

PA*PB=a^2-b^2

因此，原命题得证。

综上所述，椭圆垂径定理表述了椭圆上每个点的特殊性质，即PA和PB的乘积

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