湖南省株洲市醴陵黄沙乡联校2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析

湖南省株洲市醴陵黄沙乡联校2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数,则在处的切线斜率为（

）A.0

B.-1

C.3

D.-6参考答案：D2.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（

） A.③④

B.①②

C.②③

D.②④参考答案：A略3.设向量，，定义一运算：,已知，。点Q在的图像上运动，且满足（其中O为坐标原点），则的最大值及最小正周期分别是（

） A．

B．

C．

D．参考答案：B4.在中，，且，点满足：，则（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C5.不等式ax2+ax﹣4＜0的解集为R，则a的取值范围是(

)A．﹣16≤a＜0 B．a＞﹣16 C．﹣16＜a≤0 D．a＜0参考答案：C【考点】一元二次不等式的应用．【专题】计算题．【分析】由于不能确定原不等式的二次项系数的符号，故对a进行分类讨论：当a=0时，不等式恒成立；当a≠0时，由题意可得△＜0，且a＜0，将这两种情况下的a的取值范围取并集，即为所求．【解答】解：当a=0时，不等式即﹣4＜0，恒成立．当a≠0时，由题意可得△=a2+16a＜0，且a＜0，解得﹣16＜a＜0．综上，实数a的取值范围是﹣16＜a≤0，故选C．【点评】本题考查二次函数的性质、函数的恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、分类讨论思想，注意检验a=0时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．6.某几何体的三视图如图所示，当取最大值时，这个几何体的体积为()A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】椭圆、双曲线的几何性质.【答案解析】B解析：解：由已知椭圆、双曲线的几何性质得，，所以，，双曲线的渐近线方程为选B.【思路点拨】由已知椭圆、双曲线的几何性质可得双曲线的渐近线方程.8.将函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度，再把所得的各点的横

坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是

(

)

A．

B．

C．

D.参考答案：D略9.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知是偶函数，而是奇函数，对任意，且时,有,则的大小关系是（）A．B．

C．

D．

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆过点,且圆心在轴的正半轴上,直线被圆截得的弦长为,则圆的方程为

.参考答案：12.若函数上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为__________．参考答案：(-2,-1]13.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是

参考答案：[，2]14.在约束条件下，函数S=2x+y的最大值为．参考答案：2【分析】有约束条件画出可行域，对于目标函S=2x+y化成直线的一般式利用目标函数的几何含义即可求得．【解答】解：根据线性规划知识作出平面区域为：图形中的阴影区域直角三角形ABC，即为不等式组表示的可行域．由于目标函数为：S=2x+y化成直线的一般式可得：y=﹣2x+S，此直线系为斜率为定值﹣2，截距为S的平行直线系．在可行域内，当目标函数过点A（）时使得目标函数在可行域内取最大值：S==2故答案为：2【点评】此题考查了线性规划的知识，直线的方程及学生的数形结合的思想．15.若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则

．参考答案：16.设点(x,y)是不等式组表示的平面区域内的点，则过点(x,y)和点(－2,－4)的直线的斜率的取值范围是_____．参考答案：【分析】作出不等式组表示的平面区域，结合图象可得所求斜率的取值范围.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，.记，过点和点的直线的斜率为，由图象可得，而，所以，即过点和点的直线的斜率的取值范围为.【点睛】本题考查线性约束条件下可行域内的点与定点连线斜率的取值范围，解题关键是作出平面区域.17.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若且，则△ABC面积的最大值是

．参考答案：由b=acosC+csinA，正弦定理：sinB=sinAcosC+sinCsinA即sin（A+C）=sinAcosC+sinCsinA可得：sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA∴cosAsinC=sinCsinA，∵sinC≠0∴cosA=sinA，即tanA=1．0＜A＜180°，∴A=45°在三角形ADC中：由余弦定理可得：即2bc=4b2+c2﹣8．∵4b2+c2≥4bc，∴bc≤=那么S=bcsinA=．故答案为：．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知命题：不等式的解集为R，命题：是上的增函数，若或为真命题，且为假命题，求实数的取值范围．参考答案：略19.已知函数，，（）．（1）求函数的极值；（2）已知，函数，，判断并证明的单调性．参考答案：解：（1），令，得．当时，，是减函数；当时，，是增函数．∴当时，有极小值，无极大值．（2）==，由（1）知在上是增函数，当时，，即，∴，即在上是增函数．略20.在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2，BA=BS=4．（Ⅰ）证明：BD⊥平面SAD；（Ⅱ）求点C到平面SAB的距离．参考答案：【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明：AD⊥BD，SA⊥BD，即可证明BD⊥平面SAD；（Ⅱ）利用等体积方法，求点C到平面SAB的距离．【解答】（Ⅰ）证明：△ADB中，由余弦定理可得BD=2，∴BD2+AD2=AB2，∴AD⊥BD．取SD的中点E，连接DE，BE，则DE⊥SA，BE⊥SA，∵DE∩BE=E，∴SA⊥平面BDE，∴SA⊥BD，∵SA∩AD=A，∴BD⊥平面SAD；（Ⅱ）解：点C到平面SAB的距离=点D到平面SAB的距离h．△SAD中，SAD=30°，AD=SD=2，∴S△SAD==3，△SAB中，BA=BS=4，SA=6，∴S△SAB==3，由等体积可得，∴h=．【点评】本题考查线面垂直的殴打，考查点面距离，考查体积的计算，属于中档题．21.已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当时，，求导；从而求极值；（Ⅱ）原题意可化为当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），求导=；从而求a．解答：解：（Ⅰ）当时，，；由f′（x）＞0解得0＜x＜2，由f′（x）＜0解得x＞2；故当0＜x＜2时，f（x）单调递增；当x＞2时，f（x）单调递减；所以当x=2时，函数f（x）取得极大值；（Ⅱ）因f（x）图象上的点在所表示的平面区域内，即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可；由=；（ⅰ）当a=0时，，当x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立；（ⅱ）当a＞0时，由，令g′（x）=0，得x1=1或；①若，即时，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增函数，g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；②若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，同样g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；（ⅲ）当a＜0时，由，因为x∈（1，+∞），故g′（x）＜0；则函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立．综上，数a的取值范围是a≤0．点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．22.由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱。1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度（个浓度单位）与时间（个时间单位）的关系为。只有当河流中碱的浓度不低于1（个浓度单位）时，才能对污染产生有效的抑制作用。Ks5u

（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？

（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是两次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值.参考答案：解：（1）--------2分-------------4分综上，得-------------5分即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作