（中考数学高频精炼）第一章-三角形的证明-章末检测卷（有解析）

（中考数学高频精炼）第一章-三角形的证明-章末检测卷（有解析）（中考数学高频精炼）第一章-三角形的证明-章末检测卷（有解析）PAGEPAGE1（中考数学高频精炼）第一章-三角形的证明-章末检测卷（有解析）第一章三角形的证明章末检测卷(北师大版)姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分120分,考试时间120分钟,试题共26题．答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．(2022春·河北邢台·八年级校考阶段练习)小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线,另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点,小明说："射线就是的角平分线．”他这样做的依据是(

)A．在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形的三条高交于一点D．三角形三边的垂直平分线交于一点【答案】A【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F,由题意得PE⊥AO,因为是两把完全相同的长方形直尺,可得PE=PF,再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F,由题意得PE⊥AO,∵两把完全相同的长方形直尺,∴PE=PF,∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上),故选A．【点睛】本题主要考查了基本作图,关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．2．(2020·广西玉林·统考中考真题)如图是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东35度方向,B岛在A岛的北偏东80度方向,C岛在B岛的北偏西55度方向,则A,B,C三岛组成一个()A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形【答案】A【分析】先根据方位角的定义分别可求出,再根据角的和差、平行线的性质可得,,从而可得,然后根据三角形的内角和定理可得,最后根据等腰直角三角形的定义即可得．【详解】由方位角的定义得：由题意得：由三角形的内角和定理得：是等腰直角三角形即A,B,C三岛组成一个等腰直角三角形故选：A．【点睛】本题考查了方位角的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义等知识点,掌握理解方位角的概念是解题关键．3．(2022春·广东东莞·八年级东莞市东莞中学松山湖学校校考期中)如图,在等边△ABC中,AB＝4cm,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上,且,则CE的长是(

)A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】根据等边三角形的性质得AC=AB=4,由等边三角形三线合一得到CD,由∠ACB=60°,∠E=30°,求出∠CDE,得出CD=CE,即可求解．【详解】∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB=BC=4cm,∠ACB=60°,∵BD平分∠ABC,∴AD=CD(三线合一)∴DC=cm,∵∠E=30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故选：B．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定,直角三角形的性质,直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．4.(2022春·山东日照·八年级校联考期中)如图,在已知的中,按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;②作直线交于点D,连接．若,,则的周长为(

)A．8 B．9 C．10 D．14【答案】D【分析】根据作图可得MN是BC的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质可得CD=DB,然后可得AD+CD=10,进而可得△ACD的周长．【详解】解：根据作图可得MN是BC的垂直平分线,∵MN是BC的垂直平分线,∴CD=DB,∵AB=10,∴CD+AD=10,∴△ACD的周长=CD+AD+AC=4+10=14,故选：D．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法,关键是掌握线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等．5．(2022春·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中)如图,在中,点D为边上一点,给出如下关系：①平分;②于D;③D为中点．甲说：如果①②同时成立,可证明;乙说：如果②③同时成立,可证明;丙说：如果①③同时成立,可证明．则正确的说法是(

)A．甲、乙正确,丙错误 B．甲正确,乙、丙错误C．乙正确,甲、丙错误 D．甲、乙、丙都正确【答案】D【分析】通过①②可证出,根据全等三角形的性质可得,由此即可得判断甲的说法;通过②③可得垂直平分,根据线段垂直平分线的性质可得,由此即可得判断乙的说法;延长至点,使,连接,先证出,再根据全等三角形的性质可得,从而可得,然后根据等腰三角形的判定可得,由此即可判断丙的说法．【详解】解：当①②同时成立时,平分,,,,在和中,,,,即甲的说法正确;当②③同时成立时,则垂直平分,,即乙的说法正确;当①③同时成立时,如图,延长至点,使,连接,为中点,,在和中,,,,平分,,,,,即丙的说法正确;综上,甲、乙、丙都正确,故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点,较难的是证明丙的说法,通过作辅助线,构造全等三角形是解题关键．6．(2022秋·湖北荆州·九年级专题练习)如图,在中,,F为中点,D为上一点,连于点E,若,则的长是(

)A． B． C．2 D．【答案】C【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,解得,由,可证明,结合题意证明,从而得到,再利用勾股定理解答即可．【详解】解：在中,,F为中点,,DE=1故选：C．【点睛】本题考查直角三角形斜边上中线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理平行线的判定与性质等知识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键．7．(2022春·福建厦门·八年级厦门双十中学思明分校校考期中)已知,在△ABC中,,如图,(1)分别以B,C为圆心,BC长为半径作弧,两弧交于点D;(2)作射线AD,连接BD,CD．根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是(

)A．B．△BCD是等边三角形C．AD垂直平分BCD．【答案】D【分析】根据作图过程及所作图形可知,得出△BCD是等边三角形;又因为,,推出,继而得出;根据,,可知AD为的角平分线,根据三线合一得出AD垂直平分BC;四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和,为．【详解】解：∵∴△BCD是等边三角形故选项B正确;∵,∴∴故选项A正确;∵,∴据三线合一得出AD垂直平分BC故选项C正确;∵四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和∴故选项D错误．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的判定、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的判定以及四边形的面积,考查的范围较广,但难度不大．8．(2022春·八年级课时练习)如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有(

)①△ACE≌△BCD;②∠DAB＝∠ACE;③AE+AC＝AD;④AE+AD＝2ACA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB,∠CAB＝∠CBA＝45°,CD＝CE,∠E＝∠CDE＝45°,则可根据"SAS”证明△ACE≌△BCD,于是可对①进行判断;利用三角形外角性质得到∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE,加上∠CAB＝∠E＝45°,则可得对②进行判断;由全等三角形得性质和等边三角形得性质得出③不正确;证出△ADB是直角三角形,由勾股定理得出④正确．【详解】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∴CA＝CB,∠CAB＝∠CBA＝45°,CD＝CE,∠E＝∠CDE＝45°,∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD,∴∠ACE＝∠BCD,在△ACE和△BCD中,,∴△ACE≌△BCD(SAS),所以①正确;∵∠DAC＝∠E+∠ACE,即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE,而∠CAB＝∠E＝45°,∴∠DAB＝∠ACE,所以②正确;在AD上截取DF=AE,连接CF,如图所示,在△ACE和△FCD中,∴△ACE△FCD(SAS),∴AC=FC,当,△ACF是等边三角形,则AC=AF,此时AE+AC=DF+AF=AD,但无法求证,故③不正确;由①得,△ACE≌△BCD,∴AE=BD,CEA=CDB=45°,∴ADB=CDB+EDC=90°,∴△ADB是直角三角形,∴,∴,∵△ABC是等腰直角三角形,∴,∴,故④正确;故选C．【点睛】本题考查了全等三角形得判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理和直角三角形的判定和性质,解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．9．(2022春·广东广州·八年级执信中学校考期末)如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD⊥BC于D,下列三个结论：①;②当时,AF+BE＝AB;③若OD＝a,AB＋BC＋CA＝2b,则．其中正确的是()A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【答案】C【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和定理可求解∠AOB与∠C的关系,进而判定①;在AB上取一点H,使BH＝BE,证得△HBO≌△EBO,得到,再证得,得到AF＝AH,进而判定②正确;作OH⊥AC于H,OM⊥AB于M,根据角平分线的性质定理和三角形的面积可证得③正确．【详解】∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,∴∠OBA＝∠CBA,∠OAB＝∠CAB,∴∠AOB＝−∠OBA−∠OAB＝−∠CBA−∠CAB＝−(−∠C)＝＋∠C,故①正确;∵∠C＝,由①知：∠AOB＝＋∠C,∴∠AOB＝,∴∠AOF＝,∴∠BOE＝,如图,在AB上取一点H,使BH＝BE,∵BF是∠ABC的角平分线,∴∠HBO＝∠EBO,在△HBO和△EBO中,∴△HBO≌△EBO(SAS),∴∠BOH＝∠BOE＝60°,∴∠AOH＝−−＝,∴∠AOH＝∠AOF,∵AE是∠BAC的角平分线,∴∠HAO＝∠FAO,在△HAO和△FAO中,∴△HAO≌△FAO(ASA),∴AF＝AH,∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF,故②正确;作OH⊥AC于H,OM⊥AB于M,∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,∴OH＝OM＝OD＝a,∵AB＋AC＋BC＝2b,∴＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝(AB+AC+BC)•a＝ab,故③正确;综上可知,①②③正确,故选：C.【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理,三角形全等的性质和判定、角平分线的性质,正确作出辅助线证得,得到是解决问题的关键．10．(2022春·福建南平·八年级统考阶段练习)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是(

)①;②PQ∥AE;③;④;⑤A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形,可知AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,从而证出△ACD≌△BCE,可推知AD=BE;②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC,加之∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,得到△CQB≌△CPA(ASA),再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形,又由∠PQC=∠DCE,根据内错角相等,两直线平行,可知②正确;③根据②△CQB≌△CPA(ASA),可知③正确;④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°,可知∠DQE≠∠CDE,可知④错误;⑤利用等边三角形的性质,BC∥DE,再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO,于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,可知⑤正确．【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE,∴,∴,即,∴,∴AD=BE,∴①正确,∵,∴,又∵,∴,即,又∵,∴,∴,又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形,∴,∴PQ∥AE②正确,∵△CQB≌△CPA,∴AP=BQ,③正确,∵AD=BE,AP=BQ,∴,即DP=QE,∵,∴∠DQE≠∠CDE,∴DE≠DP,故④错误;∵∠ACB=∠DCE=60°,∴∠BCD=60°,∵等边△DCE,∠EDC=60°=∠BCD,∴BC∥DE,∴∠CBE=∠DEO,∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,∴⑤正确．故选：C．【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力,此题的难度较大．二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分．不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)11．(2022·江苏苏州·统考中考真题)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做"倍长三角形”．若等腰△ABC是"倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为______．【答案】6【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC,然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形,底边BC=3∴AB=AC当AB=AC=2BC时,△ABC是"倍长三角形”;当BC=2AB=2AC时,AB+AC=BC,根据三角形三边关系,此时A、B、C不构成三角形,不符合题意;所以当等腰△ABC是"倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为6．故答案为6．【点睛】本题考查等腰三角形,三角形的三边关系,涉及分类讨论思想,结合三角形三边关系,灵活运用分类讨论思想是解题的关键．12．(2022春·八年级课时练习)如图所示,在△ABC中,∠BAC=106°,EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线,点E、N在BC上,则∠EAN=_____．【答案】32°【分析】先由∠BAC＝106°及三角形内角和定理求出∠B＋∠C的度数,再根据线段垂直平分线的性质求出∠B＝∠BAE,∠C＝∠CAN,即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN,由∠EAN＝∠BAC−(∠BAE＋∠CAN)解答即可．【详解】解：在△ABC中,∠BAC＝106°,∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−106°＝74°,∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线,∴∠B＝∠BAE,∠C＝∠CAN,即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°,∴∠EAN＝∠BAC−(∠BAE＋∠CAN)＝106°−74°＝32°．故答案为32°．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理,能根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°是解答此题的关键．13．(2022春·河南信阳·八年级校考阶段练习)如图,在中,,,,,则为____________cm．【答案】9【分析】先根据等腰三角形的性质可得,再根据角的和差可得,然后根据等腰三角形的判定可得,根据含角的直角三角形的性质可得,最后根据线段和差即可得．【详解】解：,,,,,在中,,,故答案为：9．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点,熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．14．(2022春·八年级单元测试)如图,和都是等腰直角三角形,若,,,则______．【答案】26【分析】利用手拉手模型证明,根据八字形证明角相等,进而可证明,再利用勾股定理解答即可．【详解】解：和为等腰直角三角形在和中在中,,在中,,在中,,在中,,,,在中,,在中,,,,故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理,证,得到直角三角形,再结合勾股定理的运用是解题关键．15．(2020·山东潍坊·中考真题)如图,在中,,,垂直平分,垂足为Q,交于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交边于点D,E;②分别以点D,E为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于点F;⑤作射线．若与的夹角为,则________°．【答案】55°．【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70°,由角平分线的定义得∠2=35°,由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形,故可得∠1+∠2=90°,从而可得∠1=55°,最后根据对顶角相等求出．【详解】如图,∵△ABC是直角三角形,∠C=90°,,,,∵是的平分线,,是的垂直平分线,是直角三角形,,,∵∠α与∠1是对顶角,．故答案为：55°．【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余,角平分线的定义,线段垂直平分线的性质,对顶角相等等知识,熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．16．(2022春·江苏·八年级专题练习)在△ABC中,AB＝AC,点D是△ABC内一点,点E是CD的中点,连接AE,作EF⊥AE,若点F在BD的垂直平分线上,∠BAC＝α,则∠BFD＝_________．(用α含的式子表示)【答案】180°﹣α．【分析】根据全等三角形的性质得到∠EAC＝∠EMD,AC＝DM,根据线段垂直平分线的性质得到AF＝FM,FB＝FD,推出△MDF≌△ABF(SSS),得到∠AFB＝∠MFD,∠DMF＝∠BAF,根据角的和差即可得到结论．【详解】解：延长AE至M,使EM＝AE,连接AF,FM,DM,∵点E是CD的中点,∴DE＝CE,在△AEC与△MED中,,∴△AEC≌△MED(SAS),∴∠EAC＝∠EMD,AC＝DM,∵EF⊥AE,∴AF＝FM,∵点F在BD的垂直平分线上,∴FB＝FD,在△MDF与△ABF中,,∴△MDF≌△ABF(SSS),∴∠AFB＝∠MFD,∠DMF＝∠BAF,∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM,∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2(∠DMF+∠EMD)＝180°﹣(∠FAM+∠BAF+∠EAC)＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α,故答案为：180°﹣α．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,线段垂直平分线的性质,正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．17．(2022春·江苏·八年级专题练习)如图,在△ABC中,∠B、∠C的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,下列结论：①△BDF,△ADE都是等腰三角形;②DE＝BD＋CE;③△ADE的周长等于AB＋AC;④BF＝CF;⑤若∠A＝80°,则∠BFC＝130°,其中正确的有_________【答案】②③⑤【分析】由平行线得到角相等,由角平分线得角相等,根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【详解】解：∵∠B、∠C的角平分线交于点F,∴∠DBF＝∠CBF,∠ECF＝∠BCF,设∠DBF＝∠CBF＝α,∠ECF＝∠BCF＝β,∵,∴∠DFB＝∠CBF＝α,∠EFC＝∠BCF＝β,∴∠DBF＝∠DFB,∠EFC＝∠ECF,∴DB＝DF,EF＝EC,∴△BDF与△CEF为等腰三角形,∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE,故②正确;∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC,故③正确;只有当△ABC是等腰三角形时,即∠ABC=∠ACB,则∠FBC=∠FCB,∠ADE=∠AED,则BF＝CF,AD=AE,根据现有条件无法证明BF=CF,并且无法证明∠ADE=∠A或∠AED=∠A,即无法证明△ADE为等腰三角形,故①、④错误;∵∠A＝80°,∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°,∴∠BFC＝180°－50°＝130°,故⑤正确．故答案为②③⑤．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定及角平分线的定义及平行线的性质,三角形内角和定理;题目利用两直线平行,内错角相等,及等角对等边来判定等腰三角形的;等量代换的利用是解答本题的关键．18．(2022春·成都市八年级课时练习)如图,等边中,,M是高所在直线上的一个动点,连接,将线段点B逆时针旋转60°得到,连接．在点M运动过程中,线段长度的最小值是___________．【答案】3【分析】取BC的中点G,连接MG,从而得出BG=CG=6,根据旋转的性质可得BN=BM,∠MBN=60°,然后根据等边三角形的性质可得AB=BC,BH=,∠ABC=60°,∠BCH=30°,然后利用SAS证出△NBH≌△MBG,从而得出HN=GM,故HN的最小值即为GM的最小值,根据垂线段最短,即可当GM⊥CH时,GM最小,求出此时的GM即可．【详解】解：如图,取BC的中点G,连接MG∴BG=CG==6由旋转的性质可得BN=BM,∠MBN=60°∵等边中,CH为AB边上的高∴AB=BC=12,BH=,∠ABC=60°,∠BCH=∴BH=BG,∠MBN=∠ABC∴∠MBN－∠MBA=∠ABC－∠MBA∴∠NBH=∠MBG在△NBH和△MBG中∴△NBH≌△MBG(SAS)∴HN=GM∴长度的最小值即为GM长度的最小值根据垂线段最短,当GM⊥CH时,GM最小此时在Rt△CGM中,∠GCM=30°∴GM=即长度的最小值为3．故答案为：3．【点睛】此题考查的是旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、求线段的最小值和直角三角形的性质,掌握旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、垂线段最短和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．三、解答题(本大题共8小题,共66分．请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(2022春·江苏·八年级专题练习)小宇遇到了这样一个问题：已知：如图,,点A,B分别在射线OM,ON上,且满足．求作：线段OB上的一点C,使的周长等于线段的长．以下是小宇分析和求解的过程,请补充完整：首先画草图进行分析,如图1所示,若符合题意得点C已经找到,即得周长等于OB的长,那么由,可以得到．对于这个式子,可以考虑用截长得办法,在BC上取一点D,使得,那么就可以得到．若连接AD,由．(填推理依据)．可知点C在线段AD得垂直平分线上,于是问题得解法就找到了．请根据小宇得分析,在图2中完成作图(尺规作图,不写做法,保留作图痕迹)．【答案】图见解析,BC,DC,线段的垂直平分线的判定【分析】在线段BO上截取BD=OA,连接AD,作线段AD的垂直平分线交OD于点C,连接AC,△AOC即为所求．【详解】解：如图,△AOC即为所求．如图1所示,若符合题意得点C已经找到,即得周长等于OB的长,那么由,可以得到BC．对于这个式子,可以考虑用截长得办法,在BC上取一点D,使得,那么就可以得到DC．若连接AD,由线段的垂直平分线的判定．(填推理依据)．可知点C在线段AD得垂直平分线上,于是问题得解法就找到了．故答案为：BC,DC,线段的垂直平分线的判定．【点睛】本题考查作图-复杂作图,线段的垂直平分线的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型．20．(2022春·江苏·八年级专题练习)如图,在中,边的垂直平分线相交于点P．(1)求证;(2)点P是否也在边的垂直平分线上?由此你还能得出什么结论?【答案】(1)见解析;(2)在,见解析．【分析】(1)根据线段的垂直平分线的性质可求得,PA=PB,PB=PC,∴PA=PB=PC;(2)根据线段的垂直平分线的性质的逆定理,可得点P在边AC的垂直平分线上．【详解】解：(1)∵点P是的垂直平分线上的点,∴．同理．∴．(2)∵PA=PC,∴点P在边AC的垂直平分线上(和一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上)还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等．点P也在边的垂直平分线上,由此可以得出,三角形三条边的垂直平分线相交于一点．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理及逆定理：(1)线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等;(2)和一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．21．(2022·浙江温州·统考中考真题)如图,是的角平分线,,交于点E．(1)求证：．(2)当时,请判断与的大小关系,并说明理由．【答案】(1)见解析(2)相等,见解析【分析】(1)利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论;

(2)利用平行线的性质可得,

则AD=

AE,从而有CD

=

BE,由(1)

得,,可知BE

=

DE,等量代换即可．【详解】(1)证明：∵是的角平分线,∴．∵,∴,∴．(2)．理由如下：∵,∴．∵,∴,∴,∴,∴,即．由(1)得,∴,∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质,等腰三角形的判定与性质,角平分线的定义等知识,熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．22．(2022春·广东阳江·八年级统考期中)如图,为外一点,为的垂直平分线,分别过点作,,垂足分别为点,,且．(1)求证：为的角平分线;(2)探究,,之间的数量关系并给出证明【答案】(1)证明见解析;(2),理由见解析【分析】(1)连接,根据线段垂直平分线的性质可得,再证明≌,可得,再证明≌,即可得证;(2)根据全等三角形的性质可得,进一步可得,从而可得．【详解】(1)证明：连接CD,BD,如图所示：为的垂直平分线,,,,在和中,,≌,,在和中,,≌,,为的角平分线;(2)解：,理由如下：≌,,又,,即,．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,线段垂直平分线的性质,熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．23．(2022春·广东江门·八年级校考阶段练习)(1)模型：如图1,在中,平分,,,求证：．(2)模型应用：如图2,平分交的延长线于点,求证：．(3)类比应用：如图3,平分,,,求证：．【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析;【分析】(1)由题意得DE=DF,,,即可得出：=AB：AC;(2)在AB上取点E,使得AE=AC,根据题意可证△ACD≌△AED,从而可求出,,即可求解;(3)延长BE至M,使EM=DC,连接AM,根据题意可证△ADC≌△AEM,故而得出AE为∠BAM的角平分线,即,即可得出答案;【详解】解：(1)∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DE⊥AC,∴DE=DF,∵,,∴：=AB：AC;(2)如图,在AB上取点E,使得AE=AC,连接DE又∵AD平分∠CAE,∴∠CAD=∠DAE,在△ACD和△AED中,,∴△ACD≌△AED(SAS),∴CD=DE且∠ADC=∠ADE,∴,∴,∴AB：AC=BD：CD;(3)如图延长BE至M,使EM=DC,连接AM,∵∠D+∠AEB=180°,又∵∠AEB+∠AEM=180°,∴∠D=∠AEM,在△ADC与△AEM中,,∴△ADC≌△AEM(SAS),∴∠DAC=∠EAM=∠BAE,AC=AM,∴AE为∠BAM的角平分线,故,∴BE：CD=AB：AC;【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用,正确掌握知识点是解题的关键;24．(2022春·山东威海·七年级统考期中)已知,如图,△ABC为等边三角形,AE＝CD,AD、BE相交于点P．(1)求证：△ABE≌△CAD;(2)求∠BPQ的度数;(3)若BQ⊥AD于Q,PQ＝6,PE＝2,求AD的长．【答案】(1)证明见详解;(2)60°;(3)14．【分析】(1)根据等边三角形的性质,通过全等三角形的判定定理SAS证得结论;(2)利用(1)中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质,即可求得∠BPQ=60°;(3)利用(2)的结果求得∠PBQ=30°,所以由"30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ=BP=12,则易求BE=BP+PE=14,进而得出AD的长．【详解】(1)证明：∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA,在△ABE和△CAD中,∴△ABE≌△CAD(SAS);(2)∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD,∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP,即∠BPQ=∠BAC=60°;(3)∵BQ⊥AD,∴∠BQP=90°,∴∠PBQ=30°,∴BP=2PQ=12,∴BE=BP+PE=12+2=14,∵△ABE≌△CAD,∴BE=AD=14．【点睛】本题考查了全等三角形的判定,全等三角形对应边、对应角相等的性质,等边三角形各内角为60°的性质,本题中求证△ABE≌△CAD是解题的关键．25．(2022春·广东惠州·八年级校考阶段练习)在△ABC中,AB=AC,过点C作射线CB′,使∠ACB′=∠ACB(点B′与点B在直线AC的异侧)点D是射线CB′上一动点(不与点C重合),点E在线段BC上,且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1,当点E与点C重合时,AD与的位置关系是______,若,则CD的长为______;(用含a的式子表示)(2)如图2,当点E与点C不重合时,连接DE．①用等式表示与之间的数量关系,并证明;②用等式表示线段BE,CD,DE之间的数量关系,并证明．【答案】(1)AD⊥CB′;;(2)①∠BAC=2∠DAE,理由见解析;②BE=CD+DE,理由见解析【分析】(1)先证明∠ADC=90°,再过点A作AF⊥BC于点F,根据角平分线的性质,证明△ADC≌△AFC(HL),即可求解;(2)①∠ACB′=∠ACB=α=∠B,利用三角形内角和定理得到α=90°-∠BAC,再由∠DAE+∠ACD=90°,推出∠ACD=90°-∠DAE=α,进一步计算即可求解;②在BC上截取BG=CD,先后证明△ABG≌△ACD(SAS),△GAE≌△DAE(SAS),即可求解．【详解】(1)解：∵点E与点C重合,且∠DAE+∠ACD=90°,∴∠ADC=90°,∴AD⊥CB′;过点A作AF⊥BC于点F,∵AB=AC,∴CF=BF=BC=,∵∠ACB′=∠ACB,AF⊥BC,AD⊥CB