柯西施瓦茨不等式的四种不同形式的内在联系

内容摘要：本文介绍了柯西施瓦茨不等式在实数域、维欧式空间、数学分析、概率空间四个不同分支的表现形式，并简单说明了其在各个领域内的应用，主要包括证明不等式、求最值，解三角形的相关问题，解方程组，研究概率论中的相关系数、判断极值的存在性。此外，本文还给出了柯西施瓦茨不等式的四种不同形式的内在联系。关键词：柯西施瓦茨不等式应用内在联系Abstract:Inthispaper,thefourdifferentformsofCauchy-Schwarz-inequalityarefirstlyintroduced.Thefourdifferentformsincluderealnumberfield,dimensionalEuclideanspace,mathematicalanalysis,probabilityspace.Thenitsapplicationsareshowed,whichincludeprovingtheinequality,findingasolutiontothemaximumvalueandminimumvalueofafunctionorequations,solvingtriangle,studyingthecorrelationcoefficientontheprobabilitytheory,determiningtheexistenceofextremevalue.Inaddition,thispaperalsogivestheinternalrelationsofthefourdifferentformsofCauchy-Schwarz-inequality.Keywords:Cauchy-Schwarz-inequalityapplicationinternal-relations1.Cauchy-Schwarz不等式的简介柯西施瓦茨不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。数学上，柯西—施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西施瓦茨不等式是一条很多场合都用得上的不等式，例如证明不等式、求函数最值、线性代数的矢量，研究三角形的相关问题，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差，求方程系数，判断极值的存在性。2.Cauchy-Schwarz不等式的四种形式2.1实数域中的Cauchy-Schwarz不等式2.1.1定理设则当且仅当时，不等式等号成立.证明：通过构造关于的二次函数来证明设若即时，显然不等式成立.若时，则有且由于成立，所以且当且仅当时，不等式等号成立.故2.1.2应用在中学数学和竞赛数学中常常巧妙地应用柯西—施瓦茨不等式（即Cauchy-Schwarz不等式）将许多繁琐复杂的问题简单化，比如常常用于求证不等式、最值、解方程组和解三角形的相关问题，而运用柯西施瓦茨不等式的关键在于根据问题的要求并按照其形式，巧妙地构造两组数。2.1.2.1用于证明不等式例1．已知都是正数，求证：证明：根据柯西—施瓦茨不等式的形式构造两个数组：利用柯西施瓦茨不等式有即所以2.1.2.2用于求最值例2.已知求的最小值.解：根据柯西—施瓦茨不等式的形式构造两个数组：和则有即所以的最小值.2.1.2.3用于解方程组例3.在实数范围内解方程组解：由柯西施瓦茨不等式知所以当且仅当时等号成立，并将其与联立解方程组可得：2.1.2.4用于解三角形相关问题例4.设分别为三角形三边，其对应的高分别为为三角形外切圆半径，且满足，试确定三角形的形状.解：设三角形的面积为，则故等号当且仅当时成立，因此，此三角形为等边三角形。2.2.n维欧氏空间中的Cauchy-Schwarz不等式2.2.1定理[1]在维欧氏空间中，对任意向量有其中等号当且仅当线性相关时成立。证明：证法1通过构造关于的二次函数来证明设由实向量的内积的双线性，对称性和正定性可知当时，，不等式成立。当时，由于成立，则等号当且仅当时成立，即不等式得证。证法2通过利用实向量空间的内积的基本性质来证明如果故结论成立。若由内积的正定性知令仍由内积的正定性知，且等号只在时成立。把的表达式代入，利用内积的双线性计算得由于且由内积的对称性知故，其等号只在时成立，即时成立，不等式获证。注：如果把此不等式中的内积用坐标表达出来，就是下述不等式：它也被称为柯西—布尼亚可夫斯基不等式。2.2.2应用2.2.2.1用于证明不等式例5.证明：证明：取由柯西施瓦茨不等式得整理得：2.2.2.2用于求最值例6.已知的最小值。解：构造向量可得：由柯西施瓦茨不等式得：则即的最小值为.2.2.2.3用于证明三维空间中点到面的距离公式例7.已知为三维空间中的一点，平面求点解：设为平面上的任意一点，则又因为由柯西施瓦茨不等式有所以等号当且仅当即时成立。又由距离的定义可知点为。2.3数学分析中的Cauchy-Schwarz不等式2.3.1定理2.3.1.1定理[2]（积分学中的柯西—施瓦茨不等式）设在上可积，则.证法1通过建立辅助函数来证明作函数，由定积分的性质得==故在上单调递减，即而故，即不等式成立。注：此证法的关键在于将变成而构建辅助函数，进而将问题转化成利用函数单调性来证明不等式。此外也可以类似定理1.1和定理2.1构建一元二次函数来求证。证法2通过构造积分不等式来证明因为在上可积，所以都可积，且对任何实数也可积，又故，即由此推得关于的二次三项式的判别式非正，即故.注：此法的关键在于构造积分不等式，展开求关于的判别式，这就将问题转化成了关于的二次三项式有无根的问题。证法3通过利用定积分的定义来证明因为在上可积，所以都可积，对区间进行等分，分为由定积分的定义得因为，故即.注：此证法的关键在于应用“分割，近似求和，取极限”的思想方法.证法4通过利用二重积分的知识来证明[3]令===当且仅当时，故当时，故综上则有.注：本证法将问题转化成二重积分问题，并利用了轮换对称性，重积分对称性在积分中的应用时高等数学学习中的一个重点、难点，值得注意。2.3.1.2定理（数项级数的柯西—施瓦茨不等式）若级数收敛，则级数收敛，且.证明：由于收敛，则有收敛，而，故绝对收敛.由定理1.1中的可知当令取极限时，即为所要证明的不等式.2.3.2应用2.3.2.1用于证明不等式例8.若都在在上可积，则有闵可夫斯基（Minkowski）不等式：证明：由柯西施瓦茨不等式得故2.4概率空间中的Cauchy-Schwarz不等式2.4.1定理[4]设为任意随机变量，若存在，则也存在，且，等号成立当且仅当存在常数，使得证明：构造二次函数定义任意实数的二次函数为因为对一切，必然有，从而有于是方程要么无实根，要么有一个实根，即重根，则判别式非正，从而，即.当等号成立，方程有一个重根，使，从而即且，于是反之，若存在常数，使得成立，即从而于是即故即在式中等号成立。2.4.2应用2.4.2.1用于研究两个随机变量的相关系数例9.对于相关系数成立，并且当且仅当；而当且仅当证明：对随机变量应用柯西施瓦茨不等式有即，故等号成立当且仅当存在使得（其中是方程时的解）显然，时，即时，即注：以上表明，当时，存在完全线性关系，这时如果给定一个随机变量的值，另一个随机变量的值便完全决定.2.4.2.2用于求方程的系数例10.当函数是由实验或观察得到的，建立直线趋势方程的模型时，要求实际观察值与趋势值离差的平方和必须为最小。解：设这里令整理得消去由柯西施瓦茨不等式得，故等号成立当且仅当.又由于为时间变量，故，所以故2.4.2.3用于判断极值是否存在例11.证明存在极小值。证明：因为求二阶偏导得因为由柯西施瓦茨不等式得所以又故存在极小值。从以上两个例子可以看出柯西施瓦茨不等式在求方程系数和判断极值中起了补充说明的作用，增强了预测模型的准确性、科学性、严密性[5]。3．Cauchy-Schwarz不等式四种形式的内在联系3.1证明方法的相似性以上我们介绍了柯西施瓦茨不等式在实数域、维欧式空间、数学分析、概率空间四个不同分支的表现形式，并简单说明了其在各个领域内的应用，尽管这四种表现形式涉及到不同的数学对象，证明方法各自也呈现出多样化，但是我们发现，这四种种形式在证明方法上都可以通过构造二次函数或者二次不等式（本质都是通过判别式对根的情况进行判断）来进行统一的证明。如：在实数域中令在维欧式空间中令在微积分中令在概率空间中令从以上各式可看出都是通过构造二次函数或二次不等式，利用判别式进行求证。3.2内在之间的互推性[6]从“分析”的角度：定理2.1.1定理2.3.1.1从“代数”的角度：本质上是一致的，如：1）若在向量空间中取，定义内积，则定理2.2.1定理2.1.12）若在空间取，定义内积，则定理2.2.1定理2.3.1.1从“测度论”的角度：若选取离散型随机变量则，故定理2.4.1定理2.1.1若选取连续性随机变量则故定理2.4.1定理2.3.1.13.3四种形式的本质是内积在不同的（赋范）空间的表现形式即为柯西施瓦茨不等式在实数域和维欧式空间的表现形式。即为柯西施瓦茨不等式在数学分析数项级数上的表现形式。当定义内积其中是关于在上的连续函数，则取即为柯西施瓦茨不等式在数学分析积分学中的表现形式。当定义内积，若为随机变量，取，则由得，即为柯西施瓦茨不等式在概率空间的表现形式。因此，柯西施瓦茨不等式的四种形式是内积在不同的（赋范）空间的表现形式。参考文献：[1]樊恽，刘宏伟,线性代数与解析几何教程（下册）[M].北京：科学出版社，2009.[2]华东师范大学数学系编，数学分析（上册，第三版）[M]，北京：高等出版社，2001（2009重印）[3]付英贵，关于柯西施瓦茨不等式证明[J].西南科技大学《高教研究》，2009,93（4）：8-9[4]李贤平，概率论基础（第三版）[M].北京：高等出版社，2010.[5]常广平，李林衫，刘大莲.利用Cauchy-Schwarz不等式估计回归系数[J]北京联合大学学报，22:4(2008),77-78.[6]张千祥.柯西不等式的教学价值[J].大学数学，2004(2):116-118.目录TOC\o"1-2"\h\z\u第一章总论 11.1项目名称及承办单位 11.2编制依据及原则 11.3主要建设内容 21.4研究重点 31.5研究结论 31.6建议 5第二章项目背景与发展概况 62.1企业简介 62.2项目背景 82.3项目的提出 122.4项目建设的必要性 132.5项目的发展概况 15第三章建设条件与厂址 163.1厂址选择 163.2自然条件 173.3工程水文地质 173.4社会经济 18第四章技术路线及方法 194.1工程技术方案 194.2污水处理工艺 354.3污水处理效果 38第五章环境保护、安全卫生及消防 405.1执行排放标准 405.2主要污染物和主要污染源 405.3治理措施 415.4环境监测 415.5环保投资 425.6职业安全卫生 425.7消防 43第六章节约能源 456.1节能要求 456.2设计原则 456.3能耗状况和能耗指标分析 456.4节能措施 466.5节能管理 47第七章项目管理与劳动定员 487.1企业组织 487.2技术管理 487.3运行管理 497.4劳动定员 497.5人员培训 49第八章项目实施进度建议 508.1项目实施进度安排 508.2项目实施进度计划 51第九章工程招标方案 529.1总则 529.2招标内容 53第十章投资估算与资金筹措