2024届新高考模拟数学试题（四）（含答案）

2024年高考模拟数学试题（四）试卷+答案

本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式，适合黑龙江、吉林、安徽、江西、甘肃、河南、

新疆、广西、贵州等省份考生模拟练习，广东、湖南、湖北、浙江、重庆、海南等也宣布使用8+3+3+5模式.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.若集合A,B,U满足：ABU,则。=

A.AU^jBB.C.A一D.Be务A

2.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：

.t118—%

=%i%221al2，已知S,是等差数列｛%｝的前〃项和，若1=0,贝=

105

A.44B.48C.88D.96

3.从直角三角形顶点中任取两个顶点构成向量，在这些向量中任取两个不同的向量进行数量积运算，则数量

积为0的概率为

A.—B.—C.-D.1

151552

4.是“方程抗二7=》+方有唯一实根”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

22

5.过双曲线C：——2=1（。>0,6>0）的左焦点尸作C的其中一条渐近线的垂线/,垂足为/与C的另一

ab

条渐近线交于点N,且MN+MF=0,则C的渐近线方程为

A.2x±y=0B.y/3x±y=0

C.垃x土y=0D.x±y=O

6.三棱锥P—ABC中，平面ABC,ABC为等边三角形，且AB=3,PA=2,则该三棱锥外接球的表面

积为

「32TI

A.8兀B.16KC.-----D.12K

3

7.若cosOcos28cos46=-L。/工殳］,

则2cos240-cos6=

8<74；

113

A.-B.-C.1D.一

244

变化时，f-maxj

8.记max｛a,6｝为a,6两数的最大值，当正数无，y（x>2y）2的最小值为

y(x-2y

1

A.4B.5C.6D.7

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知空间中的两条直线机,〃和两个平面夕，则CP”的充分条件是

A.m±a,m0B.mua,nu0,mIn

C.mua,mn,n上。D.mS-n,mVa,nVp

10.甲、乙、丙三人做足球传球训练，规定：每次传球时，传球人将球传给另两人中的任何一人是等可能的.假

设第1次由甲将球传出，第％次传球后，球回到甲处的概率为0（左eN*）,则

A.B.P3>P&c.pk+2pk+i=1D.pl5>|

22

11.若直线小>=丘+2,仆，=履-2与椭圆工+匕=1共有四个交点，它们逆时针方向依次为A,B,C,£）,

62

则

A.网>¥

B.当％=1时，四边形ABCD为正方形

C.四边形ABCD面积的最大值为4班

D.若四边形ABCD为菱形，贝Uk=±巫

3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数z满足|z-2|=|z|=2,则z3=.

13.已知空间直角坐标系。-孙z中，正四面体尸—ABC的棱长为2,点A（〃z,0,0）,B（0,n,0）,刖力0,则10H

的取值范围为.

14.如图所示，在ABC中，点D为3C边上一点，MBZ）=2DC，过点。的直线

与直线A8相交于E点，与直线AC相交于下点（E,下交两点不重合）.若

AO=〃7A8+〃AC，则心〃=，若AE=/IAB，AF=juAC,则几+M的最小

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）记:ABC的内角AB,C的对边分别为a,"c,已知A=23,2c=3b.

⑴求cosB的值；

2

（2）边AC的垂直平分线交边BC于点若AZ）=4«,求.ABC的面积.

16.（15分）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中4e{0,l}（lWzY3,，eN）.而在

〃维空间中（〃22,“eN）,以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为“维坐标（44，/，，为），其

中6e{O,l}（lqW〃,ieN）.现有如下定义：在〃维空间中两点间的曼哈顿距离为两点（阳%,生,也）与

（4也,或，或）坐标差的绝对值之和，即为|弓-可+何-伪|+|%-为++\an-bn\'回答下列问题：

⑴求出"维“立方体”的顶点数；

（2）在〃维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离.

求X的分布列与期望E（x）.

17.（15分）如图，在三棱台ABC-A瓦G中，AB=BC=CA=2,A4=AG=C[C=1,点。在棱4。上,

且

（1）求证：。为AG的中点；

Jr27r

（2）记二面角G-AC-8的大小为a,直线AA与平面84GC所成的角为夕，若ae-,y,求sin£的取值

范围.

18.（17分）已知抛物线：/=2x,直线/：y=x-4,且点氏。在抛物线上.

⑴若点AC在直线/上，且4氏。,£）四点构成菱形ABCD,求直线8£）的方程；

⑵若点A为抛物线和直线/的交点（位于x轴下方），点C在直线/上，且四点构成矩形ABCD,求直

线30的斜率.

3

19.（17分）已知函数/（x）=gx?+（a-2）lnx-（a-l）x.

（1）讨论"X）的单调性

（2）若函数〃（尤）=/（©-xe*+21nr-；x2+（2。_1）》有两个不相等的零点占,马，求证：（x；+x；）e'f>e2.

2024年高考模拟数学试题（四）带答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.1.若集合A,B,U满足：ABU,则。=

A.AUQ]B.C.AD.Bn^A

答案B

解析由题意得Venn图如图所示，显然BUeA=U,故选B.

2.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具,其中最简单的二阶行列式的运算

12

定义如下：④°=aua22-a2ial2,已知S”是等差数列｛4｝的前〃项和，若:8一％=0,贝=

a2ia221a5

A.44B.48C.88D.96

答案A

18—%,、

解析由题意得，1=1X6Z5-Ix（8-6Z7）=O,即%+%=8,二。6=4,

1。5

』=口"％）=11^=11%=44.故选A.

3.从直角三角形顶点中任取两个顶点构成向量，在这些向量中任取两个不同的向量进行数量积运算，则数量

积为0的概率为

4

答案B

解析设A,5,C是直角三角形的三个顶点，其中AB/AC,

从从直角三角形顶点中任取两个顶点构成向量有：AB,AC,BC,BA,CA,CB一共有6个,

因为两个向量数量积为零，所以它们互相垂直，即有43_£47,48，。4,氏4_£47,84，。4符合题意，所以数

44

量积为。的概率为至=不，故选B

4.是“方程用？=尤+万有唯一实根”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

答案A

解析方程忘7=丈+。有唯一解，即直线y=x+6与上半圆

y=庐，'有且仅有一个交点，

解得6的取值范围为［-1,1）。{0},；.-1“<1是方程症7=工+万有唯一

解的充分不必要条件；故选A.

22

5.过双曲线C：3-2=1（。>0,6>0）的左焦点/作C的其中一条渐近线的垂线/,垂足为/与C的另一

ah

条渐近线交于点N,且MN+MF=O,则C的渐近线方程为

A.2x±y=0B.=0C.VIx土y=0D.x±y=0

答案B

解析如图所示，设OM、ON为双曲线的渐近线，由题意可知：FM1.

MN+MF=0,所以M为EV中点，故△O/W为等腰三角形，即

ZFOM=AMON=ZF'ON,故ZFOM=60,

所以IMO：y=6XJNO：y=-卡1x,故选B

6.三棱锥尸-ABC中，PAL平面ABC,ABC为等边三角形，且AB=3,PA=2,则该三棱锥外接球的表面

积为

,32兀

A.8兀B.16兀C.D.1271

3

答案B

解析如图，点H为ABC外接圆的圆心，过点H作平面A3C的垂线,点。为

R1的中点，过点。作线段丛的垂线，所作两条垂线交于点0,

5

则点。为三棱锥外接球的球心，

因为以，平面A3C,且ABC为等边三角形，PA=2.,AB=3,

所以四边形47/8为矩形，AH=^AB=j3,OH=^PA=\,

所以OA=J(@2+12=2,即三棱锥外接球的半径R=2,

则该三棱锥外接球的表面积为4成2=16兀.故选B

7.已知cos6cos2ecos4e=——,0E则2cos240-cos0=

113

A.一B.一C.1D.

244

答案C

解析因为

八cc.Xi2sin0cos6cos20cos402sin20cos20cos402sin49cos48sin891

cos6/cos2"cos4"=------------------------=---------------------=--------------=------=一一

2sin94sin98sin98sin98

sin6+sin88=0,86,+(-0)=2kn+Ti(keZ),或86-(-e)=2E(AwZ),

「八/兀兀、.C2兀_2/ccc28兀2兀16兀12兀2兀12兀1,,

乂“£(一,一),,•6=——,2cos46,-cose/=2coscos——=cos+l-cos——=cos——+l-cos——=1.故

749999999

选C.

8.记max{a,6}为“，6两数的最大值，当正数x,y(x>2y)变化时，Umax*，用二可］的最小值为

A.4B.5C.6D.7

答案A

可得”,

解析由t=max<

2'y(x-2y)

x4

2t>—+——―,当正数％,V(%>2y)时，

2y^-2y)

48832

2

y(x-2y)2y(x-2y)2y+(x-2y)2x,

(2

当且仅当2y=尤-2y,即尤=4y时等号成立，

4

^t>y+>^+^>21——=8,则。24,

2y[x-2y)2x2Y2Y

当且仅当£=鸟，即尤=2段,丫=亚时等号成立，

2%22

所以f的最小值为4.故选A

6

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知空间中的两条直线私〃和两个平面名尸，则。，尸”的充分条件是

A.mA.a,m0B.mua,nuLn

C.muajnn,nV/3D.m±n,m±a,n-L

答案ACD

解析对于选项A,m(3,则有〃z。内的一条直线/,

因为机_La,所以/_La,又/u/?,所以c_L/?,

即条件“ml.a,mp”能够得到，所以选项A是。的充分条件；

对于选项B,muc,"uQ,机_1_〃不一定能够得出结论＜z_L分，(3,a也可能相交或平行，因此该选项错误；

对于选项C,mn,所以〃zJL/7,又因为根u(z,所以，因此该选项正确；

对于选项D,因为机_L”,〃z_La,所以〃/或“utz,又因为，所以aJL#.故选ACD.

10.甲、乙、丙三人做足球传球训练，规定：每次传球时，传球人将球传给另两人中的任何一人是等可能的.假

设第1次由甲将球传出，第％次传球后，球回到甲处的概率为P*(ZeN*),则

A.p2=1B.p3＞p4C.Pk+2PlM=1D.

答案AC

解析因为％=5,A正确；

乙乙乙乙乙

\113

因为。3=(1-。2)*彳=7，。4=(l-P3)X；；=g，所以。3＜。4，B错误;

242o

因为0+1=。一。Jxg,即0+2加|=1,C正确；

EdI1I1111(1A

因为Pm:一弓。#］，所以一引，

所以数列是首项为-g,公比为-;的等比数列，

m、i11(济a11(1)1

所以P15D错误.故选AC.

22

11直线/"="2,4—与椭圆共有四个交点，它们逆时针方向依次为ABC，则

(

7

B.当％=1时，四边形ABC。为正方形

C.四边形A3CD面积的最大值为4君

D.若四边形ABCD为菱形，则左=±姮

3

答案ACD

解析A选项，可以看出4〃4，由椭圆的对称性知四边形A5CD是平行四边形,

22

设A（XQJ,8仇,为），联立4：＞=区+2与:+'=1得，（1+3左2b2+12履+6=0,其中

>2,A正确.

A=144^2-24(l+3k2)>0,解得可

3

B选项，由韦达定理得上W,占%=1:2,

1+JK1+JK

______________I---2----

22

IAB\=Jl+\2,y/(xI+x2)-4xlx2=2A/6-'女［-y/l+k,

1+3k

_74

平行四边形的高即为两平行线之间的距离d=-r=,

yjl+k

当左=1时，=&,"=7^1=2®，故B错误.

C选项，S=\AB\-d=2y/6-^3k-yjl+k2­,4=8A/6-yj3k2-l

一111+3HV17Fl+3k2

8-\/6<8A/6

设：析T，f＞。，s=g"）==4上

2""

t+-2Jr2

2

当且仅当，=：,即r=血时，等号成立，c正确.

D选项，若四边形ABCQ是菱形，则。4。3=0，即（%,乂）・（%2，%）=%%2+乂％=玉%+（封+2）（生2+2）=。

故2Mxi+%2）+（1+左2）%%2+4=。，解得3左2=5,k—±,D正确.故选ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

15.若复数z满足|z-2|=忖=2,贝lJz3=.

答案-8

解析设z=a+hi,贝！Jz—2=々一2+历,

a2+b2=4

所以《/、22，解得。=1/=±括,

(a-2)+b2=4

8

当a=l,6=退时，Z=1+A/3Z,故z?=（1+后『=1+2后+3i?=—2+2/，

z3=卜2+2后）（1+后）=_2+6i?=-8；

当°=1力=一6时，z=l-@,故z?=（1—后『=1一2百i+3i?=-2—2百，

=（―2-gi）=-2+6i~=-8,故答案为—8

12.已知空间直角坐标系。-碑中，正四面体P-ABC的棱长为2,点公（私0,0）,8（0,〃,0）,加力0,则|。“

的取值范围为.

答案[石-1,石+1]

P

解析如图，取A8边的中点。，连接PO,故PD=[PA-AD1=6,

/n\

又4（根,0,0）,3（0,72,0）,则点A,B分别在轴上运动，'1•”

AB=2,OA±OB,故点。在以。为球心，为直径的球上运动,

PD=+，故百-产区白+1,故答案为[6-1,6+”.

14.如图所示，在ASC中，点、D为BC边上一点,且BD=2DC，过点。的直线所与直线AB相交于E点,

与直线AC相交于尸点（E,尸交两点不重合）.若=+则〃"?=,若AE=XAB，

AF=〃AC,则2+〃的最小值为.

答案|1+述

93

2

解析在△河£)中，AD=AB+BD^BD=2DC，则=

^AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB]

33、)

2212

=AB——AB+-AC=-AB+-AC,

3333

12212

故根=§'〃=§'加〃=,；又AO=]A3+§AC,ffffAE=AAB，4尸二〃AC,

11.12

所以A3=—AE,AC二一A产，贝|AQ=——AE+——AF,

九N343〃

12

又D,邑F三点共线,所以7T+丁=1,结合已知可知％〃>0,

1212幺+”21+2、国巨=1+述

故X+//=(%+//)一十一=-+—+

323〃33323jUy323//3

9

,1+V2

X=--------

治嗡，结合(+\=1(4〃＞以即'^厂时，取等号;

当且仅当

2+V2

〃=-----

3

即4+〃的最小值为1+也，故答案为:；1+逑

393

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)记的内角的对边分别为〃也c,已知A=2瓦2c=33.

⑴求COS5的值;

(2)边AC的垂直平分线交边5C于点O,若AO=4",求，ABC的面积.

解析(1)因为A=2B,所以sinA=sin2B,即sinA=2sinBcosB.2分

在.ABC中，由正弦定理得a=2bcosB.3分

^22_h2

在，ABC中，由余弦定理得cosB=

2ac

所以a=2b,/+/一"②.

5分

lac

3

因为2c=3b,所以。=5。①.

将①代入②得”手屈1L

*所以cosB=&1_回.6分

2b2b4

a2+b2-c2V10

(2)结合(1)问：在ABC中，由余弦定理得cosC=7分

2ab8

11

cosZBDA=cos2C=2cos29c-1=-----8分

16

因为/3D4e(O,7i),所以sin/BZM=4-cos?NBDA=9分

因为3w(0,兀)，所以sinB=Jl—cos,B=乎

10分

AD

在中，由正弦定理得，解得：c=3\/15，11分

sinBsinZBDA

所以"叵6=a'巳

=5^/6,12分

223

ABC的面积S=工xacsinB=史"^

13分

24

立方体的坐标可用三维坐标(4，%%)表示，其中qT(M}(lWiW3,i£N).而在

10

W维空间中（，让2,“eN）,以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为〃维坐标，4）,其

中6e｛O,l｝（lqW〃,ieN）.现有如下定义：在〃维空间中两点间的曼哈顿距离为两点（%,%,%,，耳）与

伍也也,・，或）坐标差的绝对值之和，即为何-可+包-可+|%-为++\an-bn\.回答下列问题：

（1）求出"维“立方体”的顶点数；

（2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离.

求X的分布列与期望E（X）.

解析（1）对于"维坐标（4%，%，一,4）有｛0」｝两种选择）.

故共有2'种选择，即2"个顶点.............3分

（2）X=l,2,,n,........................5分

X=k（k=l,2,■,〃）时，在坐标（％,%,生，.,a“）与伍也也，-一,〃）中有左个坐标值不同，即。尸伪，剩

下〃一人个坐标值满足弓=白，此时所对应情况数为C>2"T种............8分

即尸（X=左）=呈1=£,k=l,2,.......................10分

JZ—1

故分布列为:

X12n

c1C；

pnc

2〃-12n-l2n-1

12分

1019C2,«-c：_o-c°2g,

数学期望石（x）=^+二+n--------------十-----------------1r

2"-12"-12"-12"-12,!-1

\Y],2〃

倒序相加得E（X）=可干（^+a+c+L+c；）=m刁.15分

17.（15分）如图，在三棱台ABC-A4G中，AB=BC=CA=2,惧=AG=C0=1,点。在棱AG上,

且AC_L5。.

ii

（1）求证：。为AG的中点；

IT2冗

（2）记二面角G-AC-8的大小为a,直线AA与平面B4GC所成的角为夕，若ae-,y,求sin£的取值

范围.

解析（1）如图，取AC的中点。，连接O。，OB,。司，0G.

因为45=BC,所以AC_LQB.

又ACLBZ）,BO8。=580,8。u平面03。,

所以AC_L平面QBD,又ODu平面。8。，

所以ACLOD.......................2分

因为AC〃AG,所以AG，。。.

因为M=GC,所以四边形ACGA为等腰梯形.

所以幺AO=NGCO,又他=（70,AO=CO,

所以△AA。四△GCO,所以％=OG.

又AG，。。，所以。为AC的中点.............5分

（2）作Oz_L平面A8C,建立如图所示的空间直角坐标系，

由（1）知ODLAC,OBLAC,

所以-30。为二面角G-AC-3的平面角，即4OD=a.......................7分

由题意知A。,0,0）,B（0,73,0）,C（-1,O,O）,Z）jo,告cos/^sin/,

12

、

1V3指

Ci--,-cosa,—sina,AMcoser,——sina,

"222

\一7\7

fly/36.

则CB=(l,g,O),CC1=一,—cosa,—sincc10分

222

7

设平面BBiGC的一个法向量为〃=（x,y,z）,

x+y/3y=0

CBn=。,

则即《1百.

CC-n=0,—x+——ycoscr+——zsina=0

X〔222

—.I—ftF1—COSCCLLt、1一品，匕*

取x=一6,贝Iy=1,z=；，所以〃=12分

sincrsincr

1V3V3.

又A4,=—,—cos6Z,—sin

1222ocJ,

_1吠川—百

cos,n

所以|M|H‘3+2

1+cosa

「712TI…11

因为aGy,—,所以cosae

V213A/13

所以sin/e,即sin，的取值范围是7,15分

13

18.（17分）已知抛物线：/=2x,直线/：y=尤-4,且点反。在抛物线上.

⑴若点AC在直线/上，且四点构成菱形ABC。，求直线3D的方程；

⑵若点A为抛物线和直线/的交点（位于了轴下方），点C在直线/上，且ABC。四点构成矩形438,求直

线3。的斜率.

解析(1)由题意知AC，5。，设直线BD：x=-y+〃z.

,、｛x=—y+m,0

联c得y2+2y-2〃z=0,

lr9=2x

贝*1]%+丫。=-2,%>°=一2加，

xB+xD--(yB+yD)+2m=2m+2,

则困)的中点(m+1,-1)在直线>=x-4上，

代入可解得机=2,/+2y-4=0,A=20>0,满足直线与抛物线有两个交点,

13

所以直线班）的方程为x=-y+2,即x+y-2=0........................6分

（2）当直线AB,4。的斜率为0或不存在时，均不满足题意.

fy=x-4[x=2fx=8/、

由，”得。或“（舍去），故42,-2.........................8分

=2x[y=_2[y=4\7

方法一：当直线AB,的斜率存在且不为。时，设直线至:x-2=[y+2）.

联立+得产一29一今-4=0,

[y=2无

所以为+为=2乙

所以8（2»+4f+2,2f+2）........................10分

（242、

同理得£＞信一7+2，_：+2.........................11分

由8。的中点在直线、=x-4上，

得;（2/+期+2+|-；+2）-4=；（2/+2-^+2],

即入：+1+4=0.

令t=P,则p2+p—2=0,解得,=-2或〃=1.

2/+2-|--+2|

当P=1时，直线BO的斜率％>=----------1；/、=—7—15分

2»+4f+2-]：一：+2）Z--+2

当p=-2时，直线8D的斜率不存在............16分

所以直线8。的斜率为3........................17分

方法二：设3（%,另）,。（％，%），线段8D的中点

则%+马=2a,yl+y2=2（a-4）............8分

ccX+2必+2

y+2y+2、----------

由AB_LAD,得2--97=T，即犬c4。

x,-2-2--2--2

22

所以乂%-2（乂+%）+8=。.

14

故X%-2(乂+%)+8=0可转化为2。~-18。+32-4(。-4)+8=0,

BPo2-llfl+28=0.解得a=7或。=4........................13分

k,_2_1

所以直线8。的斜率加一马一玉一式_片一％+%一。一4.

万一万

当。=4时，斜率不存在；当。=7时，斜率kBD=g.........................16分

所以直线8。的斜率为............17分

19.(17分)已知函数/(x)=+(a-2)lnx-(a-l)x.

⑴讨论/(x)的单调性

⑵若函数〃(x)=/(x)-xe*+21nx+