第1课时弧长和扇形面积的计算

27．3圆中的计算问题第1课时弧长和扇形面积的计算【知识与技能】理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练地运用两个公式进行相关计算．【过程与方法】经历用类比、联想的方法探索公式推导过程，培养学生的数学应用意识，分析问题和解决问题的能力．【情感态度】通过联系和运动发展的观点，渗透辩证唯物主义思想方法．【教学重点】弧长及扇形面积计算公式．【教学难点】应用公式解决问题．一、情境导入，初步认识在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．【教学说明】教师确立延伸目标，让学生独立思考，为本课学习做好准备．二、思考探究，获取新知探究1：弧长的计算公式(1)已知⊙O半径为2，这个圆的周长是________，面积是________．当圆心角为180°时，弧长是________，弧为圆周的________分之________；当圆心角为360°时，弧长是________，弧为圆周的________分之________；当圆心角为90°时，弧长是________，弧为圆周的________分之________；当圆心角为60°时，弧长是________；弧为圆周的________分之________；当圆心角为30°时，弧长是________；弧为圆周的________分之________；……当圆心角为1°时，弧长是________；弧为圆周的________分之________；(2)你能推导出半径为R，圆心角为n°时，弧长是多少吗？【归纳结论】如果弧长为l，圆心角的度数为n，圆的半径为r，那么，弧长为l＝eq\f(n,360)·2πr＝eq\f(nπr,180)探究2：扇形面积公式如图所示的各扇形面积分别是圆面积的几分之几？(1)圆心角是180°，占整个周角的eq\f(180,360)，因此圆心角是180°的扇形面积是圆面积的________．(2)圆心角是90°，占整个周角的________，因此圆心角是90°的扇形面积是圆面积的________．(3)圆心角是45°，占整个周角的________，因此圆心角是45°扇形面积是圆面积的________．(4)圆心角是1°，占整个周角的________，因此圆心角是1°的扇形面积是圆面积的________．(5)圆心角是n°，占整个周角的________，因此圆心角是n°的扇形面积是圆面积的________．【归纳结论】扇形面积的计算公式为S＝eq\f(nπr2,360)或S＝eq\f(1,2)lr【教学说明】学生交流讨论；在老师的指引下，在热烈的讨论中互相启发、质疑、争辩、补充，自己得出几个公式．三、运用新知，深化理解1．见教材P61例12．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即eq\o(AB,\s\up8(︵))的长(结果精确到mm)分析：要求管道的展直长度，即求eq\o(AB,\s\up8(︵))的长，根根弧长公式l＝eq\f(nπR,180)可求得eq\o(AB,\s\up8(︵))的长，其中n为圆心角，R为半径．解：R＝40mm，n＝110.∴eq\o(AB,\s\up8(︵))的长＝eq\f(n,180)πR＝eq\f(110,180)×40π≈mm.因此，管道的展直长度约为mm.3．扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求eq\o(AB,\s\up8(︵))的长(结果精确到cm)和扇形AOB的面积(结果精确到cm2)分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．解：eq\o(AB,\s\up8(︵))的长＝eq\f(120,180)π×12≈cm.S扇形＝eq\f(120,360)π×122≈cm2.因此，eq\o(AB,\s\up8(︵))的长约为cm，扇形AOB的面积约为cm2.4．如图，两个同心圆被两条半径截得的eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为6πcm，eq\o(CD,\s\up8(︵))的长为10πcm，又AC＝12cm，求阴影部分ABDC的面积．分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形面积S＝eq\f(1,2)lR，l已知，则需要求两个半径OC与OA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．解：设OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根据已知条件有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6π＝\f(nπR,180)①,10π＝\f(n,180)π（R＋12）②))eq\f(①,②)得eq\f(3,5)＝eq\f(R,R＋12).∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18.∴OC＝18＋12＝30.∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝eq\f(1,2)×10π×30－eq\f(1,2)×6π×18＝96πcm2.所以阴影部分的面积为96πcm2.【教学说明】通过这几道例题教学，巩固两个公式，并学习规范的书写步骤．四、师生互动、课堂小结本节课你有哪些收获和体会？1．布置作