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文档简介
任意角的三角函数及三角恒等变换第1页,课件共76页,创作于2023年2月【主干知识】1.必记公式(1)同角三角函数之间的关系:①平方关系:_______________;②商数关系:__________.(2)诱导公式:①公式:Sα+2kπ;Sπ±α;S-α;②巧记口诀:奇变偶不变,符号看象限,α当锐角看.sin2α+cos2α=1第2页,课件共76页,创作于2023年2月(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:①sin(α±β)=_______________________;②cos(α±β)=______________________;③tan(α±β)=____________.④辅助角公式:asinα+bcosα=_______________=cos(α+θ).sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ∓sinαsinβ第3页,课件共76页,创作于2023年2月(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式:①sin2α=____________;②cos2α=_____________=2cos2α-1=1-2sin2α;③tan2α=_________.2sinαcosαcos2α-sin2α第4页,课件共76页,创作于2023年2月(5)降幂公式:①sin2α=___________;②cos2α=___________.第5页,课件共76页,创作于2023年2月2.易错提醒(1)同角关系应用错误:利用同角三角函数的平方关系开方时,忽略判断角所在的象限或判断出错,导致三角函数符号错误.(2)诱导公式的应用错误:利用诱导公式时,三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错.(3)忽视角的范围:给值求角或给角求值时,忽视角的范围.第6页,课件共76页,创作于2023年2月【考题回顾】1.(2014·梅州模拟)已知α为锐角,且tan(π-α)+3=0,则sinα的值为()【解析】选B.由正切的诱导公式得tan(π-α)=-tanα,故tan(π-α)+3=0⇒tanα=3,由公式tan2α+1=得,cos2α=⇒sinα=±因为α为锐角,所以sinα>0⇒sinα=,故选B.第7页,课件共76页,创作于2023年2月2.(2014·宜春模拟)已知α,β为锐角,cosα=,tan(α-β)=-,则tanβ的值为()【解析】选B.因为α,β为锐角,cosα=,所以tanα=,tanβ=tan[α-(α-β)]=第8页,课件共76页,创作于2023年2月3.(2013·浙江高考)已知α∈R,sinα+2cosα=则tan2α=()第9页,课件共76页,创作于2023年2月【解析】选C.由所以tanα=-或tanα=3.当tanα=-时,tan2α=当tanα=3时,tan2α=第10页,课件共76页,创作于2023年2月4.(2014·惠州模拟)已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx,x∈R.(1)求f()的值.(2)若第11页,课件共76页,创作于2023年2月【解析】(1)(2)f(x)=cos2x+sinxcosx=第12页,课件共76页,创作于2023年2月热点考向一三角函数的定义【考情快报】难度:基础题命题指数:★☆☆题型:以选择题、填空题为主考查方式:主要考查三角函数的定义的应用,一般和求三角函数值或角的大小有关,常与解析几何、平面向量交汇第13页,课件共76页,创作于2023年2月【典题1】(1)(2014·杭州模拟)已知角α的终边上一点的坐标为则角α的最小正值为()(2)(2014·南昌模拟)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=()第14页,课件共76页,创作于2023年2月【信息联想】(1)看到终边α上一点的坐标想到_______________.(2)①看到终边在直线y=2x上,想到_______________;②看到cos2θ,想到___________.三角函数的定义三角函数的定义二倍角公式第15页,课件共76页,创作于2023年2月【规范解答】(1)选C.由三角函数的定义知:所以α是第四象限角,因此α的最小正值为第16页,课件共76页,创作于2023年2月(2)选B.方法一:在角θ的终边上任取一点P(a,2a)(a≠0).则r2=|OP|2=a2+(2a)2=5a2.所以cos2θ=cos2θ=2cos2θ-1=方法二:由方法一知tanθ==2,cos2θ=cos2θ-sin2θ=第17页,课件共76页,创作于2023年2月【互动探究】若将本例(1)中点的坐标变为则结果如何?【解析】选D.由三角函数定义知:所以α是第四象限角,α的最小正值为第18页,课件共76页,创作于2023年2月【规律方法】运用定义可求解的两类问题1.求三角函数值(或角)当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时,一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值,再求其他.但当角经过的点不固定时,需要进行分类讨论.2.建模由于三角函数的定义与单位圆、弧长公式等存在一定的联系,因此在命题思路上可以把圆的有关知识同三角函数间建立联系.第19页,课件共76页,创作于2023年2月【变式训练】1.(2014·广州模拟)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为,则cosα=______.【解析】易知A点的横坐标为-,所以cosα=-.答案:-第20页,课件共76页,创作于2023年2月2.角速度为的质点P,从点(-1,0)出发,逆时针沿单位圆x2+y2=1运动,经过17个时间单位后,点P的坐标是_____.第21页,课件共76页,创作于2023年2月【解析】经过17个单位时间,质点运动的弧度是此时质点P在角π+的终边上,即在的终边上,根据三角函数的定义,此时该点的坐标是即答案:
第22页,课件共76页,创作于2023年2月【加固训练】1.(2014·绍兴模拟)已知角的终边上有一点P(1,a),则a的值是()【解析】选D.由三角函数的定义可知第23页,课件共76页,创作于2023年2月2.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为________.第24页,课件共76页,创作于2023年2月【解析】设A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧长为2,∠ABP=设P(x,y),则x=2-1×cos(2-)=2-sin2,y=1+1×sin(2-)=1-cos2,所以的坐标为(2-sin2,1-cos2).答案:(2-sin2,1-cos2)第25页,课件共76页,创作于2023年2月热点考向二同角三角函数间的基本关系及诱导关系【考情快报】难度:基础题命题指数:★☆☆题型:以选择题、填空题为主,有时也出现在解答题中关键的一步考查方式:主要考查平方关系,商数关系及诱导公式的应用,常与和差角公式、倍角公式相结合考查第26页,课件共76页,创作于2023年2月【典题2】(1)(2014·合肥模拟)若sin(π-α)=-且α∈则sin=()(2)(2014·安庆模拟)已知=-1,求下列各式的值:①②cos2(+α)-sin(π-α)cos(π+α)+2.第27页,课件共76页,创作于2023年2月【信息联想】(1)看到sin(π-α),想到_____________________.(2)①看到想到_________;②看到+α,π-α,π+α,想到_________.诱导公式及二倍角公式商数关系诱导公式第28页,课件共76页,创作于2023年2月【规范解答】(1)选B.sin(π-α)=sinα=又α∈(π,),所以cosα=由cosα=第29页,课件共76页,创作于2023年2月(2)由已知得tanα=第30页,课件共76页,创作于2023年2月【规律方法】1.利用同角三角函数的关系式化简求值的三种常用方法(1)切弦互换法:利用tanα=进行转化.(2)和积转化法:利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα进行变形、转化.(3)常值代换法:其中之一就是把1代换为sin2α+cos2α.同角三角函数关系sin2α+cos2α=1和tanα=联合使用,可以根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值.根据tanα=可以把含有sinα,cosα的齐次式化为tanα的关系式.第31页,课件共76页,创作于2023年2月2.利用同角三角函数的关系式化简求值的三个关注点(1)函数名称和符号:利用诱导公式化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角的三角函数,其步骤是:去负—脱周—化锐—求值.特别注意解题过程中函数名称和符号的确定.(2)开方:在利用同角三角函数的平方关系时,若开方特别注意根据条件进行讨论取舍.(3)结果整式化:解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能整式化.第32页,课件共76页,创作于2023年2月【变式训练】1.(2014·北京模拟)若sin(3π+α)=α∈(-,0),则tanα=_____.【解析】由sin(3π+α)=α∈(-,0)得sinα=-cosα=,故tanα=-.答案:-第33页,课件共76页,创作于2023年2月2.直线2x-y+1=0的倾斜角为θ,则的值为____.【解析】由题意可知,tanθ=2,则答案:第34页,课件共76页,创作于2023年2月【加固训练】1.已知2sin(+θ)-sin(π-θ)=0,则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=()【解析】选D.因为2sin(+θ)-sin(π-θ)=0,所以tanθ=2.sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=第35页,课件共76页,创作于2023年2月2.计算:tan300°=______.【解析】tan300°=tan(360°-60°)=-tan60°=-.答案:-第36页,课件共76页,创作于2023年2月3.已知α为第二象限角,sinα+cosα=则cos2α=______.第37页,课件共76页,创作于2023年2月【解析】因为sinα+cosα=,所以两边平方得1+2sinαcosα=,所以2sinαcosα=-<0,因为已知α为第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,sinα-cosα=所以cos2α=cos2α-sin2α=(cosα-sinα)(cosα+sinα)答案:-第38页,课件共76页,创作于2023年2月热点考向三三角恒等变换【考情快报】高频考向多维探究难度:基础、中档题命题指数:★★★题型:选择题、填空题、解答题均可考查考查方式:主要考查和差角公式、倍角公式及其变形,常与三角函数式的化简求值及三角函数的图象、性质相结合第39页,课件共76页,创作于2023年2月命题角度一利用三角恒等变换求值(求角)【典题3】(1)(2014·天津模拟)已知则cosα+sinα等于()(2)已知锐角α,β满足sinα=,cosβ=则α+β=______.第40页,课件共76页,创作于2023年2月【信息联想】(1)看到想到_____________________________________.(2)看到求α+β,想到____________________________.利用诱导公式、差角公式、倍角公式化简先求出α+β的某一三角函数值第41页,课件共76页,创作于2023年2月【规范解答】(1)选D.所以sinα+cosα=-第42页,课件共76页,创作于2023年2月(2)由锐角α,β满足得cosα=所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=又因为0<α+β<π,所以α+β=答案:第43页,课件共76页,创作于2023年2月命题角度二利用三角恒等变换化简【典题4】(1)(2014·玉溪模拟)已知函数f(x)=2sinx(cosx-sinx)+1,若f(x-φ)为偶函数,则φ可以为()(2)(2014·揭阳模拟)已知函数f(x)=①求函数f(x)的定义域和最小正周期.②若f(α)=2,α∈[0,π],求f(α+)的值.第44页,课件共76页,创作于2023年2月【信息联想】(1)看到f(x)的表达式,想到________________________________________________.(2)看到求函数f(x)=+2sinx的最小正周期,想到__________________________________.利用三角恒等变换将f(x)化为y=Asin(ωx+φ)的形式将f(x)化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式第45页,课件共76页,创作于2023年2月【规范解答】(1)选B.f(x)=2sinxcosx-2sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin(2x+).因为f(x-φ)为偶函数,所以-2φ+当k=-1时,φ=第46页,课件共76页,创作于2023年2月(2)①由sinx≠0解得x≠kπ(k∈Z),所以函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ(k∈Z)},所以f(x)=+2sinx=2cosx+2sinx所以f(x)的最小正周期T==2π.②由f(α)=2⇒cosα+sinα=1⇒2cosαsinα=0,因为α∈[0,π]且,sinα≠0,所以α=所以第47页,课件共76页,创作于2023年2月【一题多解】解决本例(2)②,还有如下方法:由f(α)=2,α∈[0,π]得,sinα+cosα=1⇒cosα=1-sinα,代入sin2α+cos2α=1得,sin2α+(1-sinα)2=1⇒2sinα(sinα-1)=0,又sinα≠0,所以sinα=1,又α∈[0,π],所以α=所以第48页,课件共76页,创作于2023年2月【规律方法】三角恒等变换的思路与方法1.思路:(1)和式:降次、消项、逆用公式.(2)三角分式:分子与分母约分或逆用公式.(3)二次根式:切化弦、变量代换、角度归一.第49页,课件共76页,创作于2023年2月2.方法:(1)弦切互化:一般是切化弦.(2)常值代换:特别是“1”的代换,如1=sin2α+cos2α=tan45°等.(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式(降幂公式)降次.(4)公式的变形应用:如sinα=cosαtanα,sin2α=第50页,课件共76页,创作于2023年2月(5)角的合成及三角函数名的统一:asinα+bcosα=(6)角的拆分与角的配凑:如α=(α-β)+β,第51页,课件共76页,创作于2023年2月【变式训练】1.(2014·厦门模拟)若则cos(+2α)=_______.第52页,课件共76页,创作于2023年2月【解析】因为答案:第53页,课件共76页,创作于2023年2月2.(2014·广东高考)已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且(1)求A的值.(2)若f(θ)-f(-θ)=,θ∈【解题提示】(1)属于给角求值问题,把代入解析式求A.(2)可利用两角和与差的正弦和诱导公式及同角三角函数的关系求解.第54页,课件共76页,创作于2023年2月【解析】(1)由(2)f(θ)-f(-θ)=第55页,课件共76页,创作于2023年2月【加固训练】1.求值:=_____.【解析】由题意得:答案:第56页,课件共76页,创作于2023年2月2.已知的值为_______.第57页,课件共76页,创作于2023年2月【解析】由θ∈答案:第58页,课件共76页,创作于2023年2月3.已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x(x∈R).(1)当x取什么值时,函数f(x)取得最大值,并求其最大值.(2)若θ为锐角,且求tanθ的值.第59页,课件共76页,创作于2023年2月【解析】(1)f(x)=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=所以当2x+=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,函数f(x)取得最大值,其最大值为(2)因为第60页,课件共76页,创作于2023年2月因为θ为锐角,即0<θ<所以0<2θ<π,所以sin2θ=所以tan2θ=第61页,课件共76页,创作于2023年2月【备选考向】三角恒等变换与平面向量、解三角形的交汇问题【典题】已知锐角三角形ABC中,向量m=(2-2sinB,cosB-sinB),n=(1+sinB,cosB+sinB),且m⊥n.(1)求角B的大小.(2)当函数y=2sin2A+cos取最大值时,判断三角形ABC的形状.第62页,课件共76页,创作于2023年2月【解析】(1)因为m⊥n,所以m·n=0.即(2-2sinB)(1+sinB)+(cosB-sinB)(cosB+sinB)=0,即3-4sin2B=0,sinB=又因为△ABC为锐角三角形,所以B=第63页,课件共76页,创作于2023年2月(2)由(1)知B=所以y=2sin2A+cos=2sin2A+cos=2sin2A+cos第64页,课件共76页,创作于2023年2月【规律方法】与三角恒等变换交汇问题的解题思路(1)与平面向量交汇:利用平面向量坐标表示、数量积、向量的模、向量的夹角等进行运算,将平面向量问题转化为三角恒等变换问题.(2)与三角形交汇:利用三角形内角和为180度,确定角的范围,有时结合正余弦定理解答.第65页,课件共76页,创作于2023年2月【加固训练】已知a=(1,cosx),b=(,sinx),x∈(0,π).(1)若a∥b,求的值.(2)若a⊥b,求sinx-cosx的值.第66页,课件共76页,创作于2023年2月【解析】(1)因为a∥b,所以sinx=cosx,所以tanx=,第67页,课件共76页,创作于2023年2月(2)因为a⊥b,所以+sinxcosx=0,所以sinxcosx=-,所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=,又因为x∈(0,π)且sinxcosx<0,所以x∈(,π),所以sinx-cosx>0,所以sinx-cosx=第68页,课件共76页,创作于2023年2月转化与化归思想——解决三角恒等变换问题【思想诠释】三角恒等变换中应用转化与化归思想的常见类型1.求值(求角):三角中的给值求值或给值求角问题,常需根据三角函数式中角或名或
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