天津杨家口中学高三数学理测试题含解析

天津杨家口中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设变量满足约束条件，则的最小值为 （

） A．

B．

C.

D．参考答案：D2.已知函数，则的值是（

）A.9 B. C.－9 D.－参考答案：B略3.已知函数则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：.4.函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为(

) A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）参考答案：D考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=logt．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．解答： 解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=logt随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．5.椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．6.在中，已知是边上的一点，若，，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B因为,所以,又,所以。7.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：D8.设向量，，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．参考答案：D9.已知函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为

参考答案：C10.将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是(

)A．x= B．x= C．x= D．x=﹣参考答案：A考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin（8x﹣），利用正弦函数的对称性即可求得答案．解答：解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考查正弦函数的对称性的应用，属于中档题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数在及时取得极值．（1）求a、b的值；（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．参考答案：（1），；（2）试题分析：（1）由函数，可得，又函数在与处取得极值，所以，即，从而解得，.（2）由（Ⅰ）可知，，．当时，；当时，；

12.对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质P.（1）下列函数中具有性质P的有

①

②

③，

（2）若函数具有性质P，则实数的取值范围是

.参考答案：（1）

①②

，（2）.13.已知点的两侧，则下列说法正确的是

。（写出所有正确结论的序号）

①；

②若O为坐标原点，点为钝角；

③有最小值，无最大值；

④；

⑤存在正实数M，使恒成立。参考答案：④⑤14.若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于． 参考答案：7【考点】余弦定理的应用． 【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC． 【解答】解：因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8， 所以， 所以sinA=， 所以A=60°， 所以cosA=， 所以BC==7． 故答案为：7． 【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础． 15.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根棉花纤维中，有

根的长度小于20mm.参考答案：3016.圆C：x2+y2=r2，点A（3，0），B（0，4），若点P为线段AB上的任意点，在圆C上均存在两点M，N，使得=，则半径r的取值范围．参考答案：[，）【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】设P（m，n），N（x，y），可得M的坐标，代入圆的方程，根据方程组有解得出m，n与r的关系，根据m的范围得出r的范围．【解答】解：直线AB的方程为4x+3y﹣12=0，设P（m，n），则0≤m≤3．设N（x，y），∵=，∴M为PN的中点，∴M（，），∵M，N在圆C上，∴．∵该方程组有解，∴r≤≤3r，即r2≤m2+n2≤9r2，∵P在线段AB上，∴4m+3n﹣12=0，即n=4﹣，∴r2≤≤9r2，即r2≤≤9r2对一切m∈[0，3]上恒成立，设f（m）=，则f（m）在[0，3]上的最大值为f（0）=16，最小值为f（）=，∴，解得≤r≤，又点P为线段AB上的任意点，在圆C上均存在两点M，N，使得=，∴直线AB与圆C相离，∴r＜=．∴r的范围是[，）．故答案为：[，）．17.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则|AB|等于．参考答案：6【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用中点坐标公式和弦长公式即可得出．【解答】解：由抛物线y2=4x可得p=2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵线段AB的中点M的横坐标为2，∴x1+x2=2×2=4．∵直线AB过焦点F，∴|AB|=x1+x2+p=4+2=6．故答案为：6．【点评】本题考查了抛物线的过焦点的弦长公式、中点坐标公式，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）设函数，．（注：e为自然对数的底数．）(1)当时，求的单调区间；(2)(i)设是的导函数，证明：当时，在上恰有—个使得(ii)求实数a的取值范围，使得对任意的，恒有成立．参考答案：解：(1)当时，

…………1分，令得：；令得：所以函数的减区间是；增区间是

…………3分(2)(i)证明：

………4分，且，令得：；令得：则函数在上递减；在上递增

………6分，又所以函数在上无零点，在上有惟一零点因此在上恰有一个使得.

…………8分(ii)若，则，对恒成立，故函数在上是增函数，，因此函数在内单调递增，而，，不符题意。

………10分，由(i)知在递减，递增，设在[0，2]上最大值为M，则，故对任意的，恒有成立等价于，

……12分由得：，，又，。

……14分19.已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，同{an}中的部分项组成的数列为等比数列，其中b1=1，b2=5，b3=17．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）记Tn=b1+b2+b3+…+bn，求Tn．参考答案：【考点】数列的求和；二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1）由题意可得，，利用等差数列的通项公式代入可得，a1=2d，从而可求数列{an}的公比q==，分别利用等差数列与等比数列的通项公式表示，从而可求bn（2）由（1）可得Tn=b1+b2+b3+…+bn，=+…+（2?3n﹣1﹣1），结合等比数列的求和公式及组合数的性质可求和【解答】解：（1）由题意可得，即∵d≠0整理可得，a1=2d等比数列{an}的公比q===3∴又=∴∵a1=2d≠0∴（2）∵Tn=b1+b2+b3+…+bn，=+…+（2?3n﹣1﹣1）=﹣（）=[（1+3）n﹣1]﹣（2n﹣1）=【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的综合应用，等比数列的求和公式及组合数的性质等知识的综合应用20.在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知，，点在底面ABC的射影恰好是线段BC的中点M.（1）证明：在侧棱上存在一点N，使得平面，并求出AN的长；（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积.参考答案：(1)证明：连接，在中，作于点，因为，得，因为，所以,因为，得，所以平面，所以，所以平面，又,,由，得：.(2)由(1)可知平面，所以, 所以为矩形，故;联结,,在中，,所以因为.所以.

21.（本小题满分14分）已知关于函数，（I）试求函数的单调区间；（II）若在区间内有极值，试求a的取值范围；（III）时，若有唯一的零点，试求.（注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如；以下数据供参考：）

参考答案：（I）由题意的定义域为（i）若，则在上恒成立，为其单调递减区间；（ii）若，则由得，时，，时，，所以为其单调递减区间；为其单调递增区间；-----------------------4分（II） 所以的定义域也为，且令(*)则(**)----------------------------------------------------------------------------6分时,恒成立,所以为上的单调递增函数，又，所以在区间内至少存在一个变号零点，且也是的变号零点，此时在区间内有极值.----------------------------------------8分时,即在区间(0,1)上恒成立,此时,无极值.综上所述,若在区间内有极值，则a的取值范围为.--------------9分(III),由（II）且知时,.又由(*)及(**)式知在区间上只有一个极小值点,记为,且时单调递减,时单调递增,由题意即为,

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