山西省大同市蔡村中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

山西省大同市蔡村中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=ax2+bx与

(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是

(

）参考答案：D2.定义在R的奇函数f(x)单调递增，且对任意实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a＋b＝__________.参考答案：1略3.以为焦点的抛物线C的准线与双曲线相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为A． B． C． D．参考答案：C4.已知，，则（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由辅助角公式将所求的角化为与已知同角，再利用同角间的三角函数关系，即可求解.【详解】，，，.故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值，应用平方关系要注意角的范围判断，属于中档题.5.若实数x，y满足，且M（x，﹣2），N（1，y），则?的最大值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积关系结合线性规划的内容进行求解即可．【解答】解：∵M（x，﹣2），N（1，y），则?=x﹣2y，设z=x﹣2y，则y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（1，﹣1）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大．代入目标函数z=x﹣2y得z=1+2=3．即?的最大值为3．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用平面向量的数量积结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强．6.已知数列{｝是各项均为正数的等比数列，若，则

A.4

B.8

C.16

D.32参考答案：C略7.若集合，，则（

）A．(3,+∞) B．(－1,3) C．[－1,3) D．(－2,－1]参考答案：C由题意得，，故选C.点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是不等式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.

8.已知全集集合则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略9.下列命题：①恒成立；

②若；③命题“若a>b>0,且c<0，则”的逆否命题④若命题命题则命题是真命题。其中真命题有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④参考答案：A略10.已知集合则

（

）. .. .参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，将全校200名教师按一学期使用多媒体进行教学的次数分成了[0，9)，[10，19)，[20，29)，[30，39)，[40，49)五层，现采用分层抽样从该校教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图，据此可知该校一学期使用多媒体进行教学的次数在内的教师人数为

．参考答案：40

略12.正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．参考答案：13.已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣m=0恰有五个不相等的实数解，则m的取值范围是

．参考答案：（0，4）【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）的函数图象，根据函数图象即可得出m的范围．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知：当0＜m＜4时，f（x）=m有5个解；故答案为：（0，4）．14.某班要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,，则不同选派方案种数为________参考答案：14略15.函数在上的单调递减区间为

。参考答案：16.观察下列等式

,

,

,

,

由以上等式推测

对于,若,则

.参考答案：略17.已知函数,则

.参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大．某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包．该通信公司选了人口规模相当的4个城市采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价：x（单位：元/月）和购买总人数y（单位：万人）的关系如表：定价x（元/月）20305060年轻人（40岁以下）101578中老年人（40岁以及40岁以上）201532购买总人数y（万人）30301010

（1）根据表中的数据，请用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的回归方程；并估计10元/月的流量包将有多少人购买？（2）若把50元/月以下（不包括50元）的流量包称为低价流量包，50元以上（包括50元）的流量包称为高价流量包，试运用独立性检验知识，填写下面列联表，并通过计算说明是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为购买人的年龄大小与流量包价格高低有关？定价x（元/月）小于50元大于或等于50元总计年轻人（40岁以下）

中老年人（40岁以及40岁以上）

总计

参考公式：其中，，．，其中参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：（Ⅰ）38万人（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）利用所给公式与参考数值即可求解回归方程，令代入即可求出此时y的估计值；（Ⅱ）根据流量包的定价和购买总人数的关系表中的数值填写列联表，代入，比较它与6.635的大小即可。【详解】（Ⅰ），

所以：关于的回归方程是：估计10元/月的流量包将有38万人购买；（Ⅱ）定价x（元/月）

小于50元大于或等于50元

总计年轻人（40岁以下）

2515

40中老年人（40岁以及40岁以上）355

40

总

计

60

20

80所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为购买人的年龄大小与流量包价格高低有关。【点睛】本题考查线性回归方程的求法，利用回归方程进行预测，以及独立性检验的内容，侧重考查计算能力，属于基础题。19.在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）．（1）求y关于v的函数关系式；（2）若c≤v≤15（c＞0），求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；（2）利用基本不等式可得，时取等号，再结合c≤v≤15（c＞0），即可求得确定下潜速度v，使总的用氧量最少．【解答】解：（1）由题意，下潜用时（单位时间），用氧量为（升），水底作业时的用氧量为10×0.9=9（升），返回水面用时（单位时间），用氧量为（升），∴总用氧量（v＞0）．（2），令y'=0得，在时，y'＜0，函数单调递减，在时，y'＞0，函数单调递增，∴当时，函数在上递减，在上递增，∴此时时用氧量最少．当时，[c，15]上递增，此时v=c时，总用氧量最少．20.

在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,，，．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求及的面积．参考答案：解:（Ⅰ）因为,所以

由正弦定理:

知

得:

（Ⅱ）在中,

的面积为:

（16）（本小题共13分）

略21.椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为(1)求椭圆C的方程；(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为k的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，试证明:为定值，并求出这个定值．参考答案：略22.．(本小题满分14分)设f(x)＝x3－(a＋1)x2＋3ax＋1.(1)若函数f(x)在区间(1,4)内单调递减，求a的取值范围；(2)若函数f(x)在x＝a处取得极小值是1，求a的值，并说明在区间(1,4)内函数f(x)的单调性．

参考答案：解：f′(x)＝3x2－3(a＋1)x＋3a＝3(x－1)(x－a)．(1)∵函数f(x)在区间(1,4)内单调递减，∴f′(x)≤0，∴a∈[4，＋∞)．(2)∵函数f(x)在x＝a处有极值是1，∴f(a)