微点4 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线（学生版）

专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点4阿波罗尼斯与圆锥曲线专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点4阿波罗尼斯圆与圆锥曲线【微点综述】有些涉及圆锥曲线与圆的综合题，其中已知条件含有阿波罗尼斯圆的背景，可以结合阿波罗尼斯圆以及圆锥曲线的几何性质解决问题.【典例刨析】2 2.设双曲线土-二=1的左右两个焦点分别为6、6，p是双曲线上任意一点，过K的直16h线与/月尸工的平分线垂直，垂足为。，则点。的轨迹曲线E的方程；M在曲线£上，点4&0),8(5,6),则:|AM|+忸闸的最小值.(2022•广东梅州•高二月考).希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A8的距离之比为定值/l(Xwl)的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，A(-2,l),8(-2,4),点P是满足九=；的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为—；若点。为抛物线石：y2=©上的动点，。在y轴上的射影为〃，则|冏+|尸。|+|。"|的最小值为.(2022安徽黄山,一模)IpaI.在平面上给定相异两点4B,设点。在同一平面上且满足两=之，当2＞。且4工1时，。点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿2 2波罗尼斯圆.现有双曲线二-夫=13〉0力〉0),耳,尸2分别为双曲线的左、右焦点，4B为双ab~曲线虚轴的上、下端点，动点P满足震=2,△PAB面积的最大值为4.点N在双曲线上，且关于原点。对称，。是双曲线上一点，直线QM和QN的斜率满足勺m・Zqn=3,则双曲线方程是;过尸2的直线与双曲线右支交于G。两点(其中。点在第一象限)，设点〃、N分别为△。片匕、△。片入的内心，贝的范围是.（2022吉林・梅河口五中学高三期末）.古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262-190年），与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家；他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他发现“平面内到两个定点48的距离之比为定值的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.比如在平面直角坐标系中，A（0,l）、B（0,4）,则点P满足义=J所得P点轨迹就是阿氏圆；已知点C（-2,4），。为抛物线V=8x上的动点，点。在直线x=-2上的射影为“，“为曲线（x+2『+y2=4上的动点，则+ +的最小值为.贝UMC|+|0"|+旧闸的最小值为.（2022湖北•武汉新洲区城关高中高二开学考试）.阿波罗尼斯（古希腊数学家，公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（%〉0,且攵工1）的点的轨迹是圆，后人将这2 9个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆二十二=1（々＞人＞0）,A,8为椭圆的长轴端点，C,Da一 \MA为椭圆的短轴端点，动点M满足卜加=2,ZWAfi面积的最大值为6,2XMCQ面积的最小值为1,则椭圆的方程为（2022・河北彳断水二中高二期中）.公元前三世纪，阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆的一个基本性质：如图,过椭圆上任意一点。（不同于48）作长轴过椭圆上任意一点。（不同于48）作长轴AB的垂线，垂足为。，则\aq\-\bq\为常数k.若V则该椭圆的离心率为一.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一答案第2页，共6页书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点”与两定点。，P的距离之比TOC\o"1-5"\h\zMQ/ 、--=^ ,之是一个常数，那么动点〃的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线MP'PQ上.已知动点"的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为V+y2=4,定点分别为椭圆2 2 1C:二+与=1（。＞匕＞0）的右焦点F与右顶点A,且椭圆C的离心率为e=彳.矿Zr' 2（1（1）求椭圆C的标准方程;（2）如图，过右焦点/斜率为2（%＞0）的直线/与椭圆C相交于5,D（点B在工轴上方）,点S,T是椭圆C上异于8,。的两点，SF平分ABSD,TF平分NBTD.忸S|匚求舄的取值范围；Q]7r匚将点S、八7看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为等，求直线/O的方程.【针对训练】（2022•安徽皖北联盟高二联考）.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为128的矩形A3CD截某圆锥得到椭圆「，且7与矩形A5CO的四边相切.设椭圆c在平面直角坐标2 2系中的方程为+分2 2系中的方程为+分=1（空〃〉（）），下列选项中满足题意的方程为（2 2a%2 2a%y1a.—+—=i6416B.? 9工+E=l16642 2c.JJ25616（2022•河南•新蔡一中高二月考）.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数攵（攵〉。且左。1）的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆T:=1（〃>方>0）,A,5为椭圆TT:=1（〃>方>0）,A,5为椭圆T长轴的端点,C。为椭圆T短轴的端点,E,尸分别\ME为椭圆7的左右焦点，动点M满足标;=2,工加43面积的最大值为4#,../。。面积的最小值为拉，则椭圆7的离心率为（）D-TA.— B.D-T3 3（2022北京八一中学高三期末）.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地，他证明过这样一个命题：平面内与两定2 2圆+方=l(a>2 2圆+方=l(a>〃>0),A3为椭圆「长轴的端点，C、。为椭圆「短轴的端点，动\MA点〃满足｝帚=2, 的面积的最大值为8,△MC。的面积的最小值为1,则椭圆「的离心率为.（2022•广东广州•高二期末）IpAI.在平面上给定相异两点48,点尸满足篙=4,则当2>0且几时，。点的轨迹是I一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆£+工=1（〃>〃>0）的离心率£=立，4,a~b~2IpaI3为椭圆的长轴端点，C,。为椭圆的短轴端点，动点P满足篇=3,若的面积的I最大值为3,则PCD面积的最小值为.（2022湖南・益阳箴言中学高二月考）.阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数攵（攵〉0且人工1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有c.ABC,3c=6,sin8=；sinC/lJABC的面积最大值为,此时/C的长为.（2022•浙江•高三开学考试）答案第4页，共6页.公元前3世纪，阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆和圆的一个基本性质：如图，过椭圆（或圆）上任意一点P（不同于B）作长轴（或直径）的一条垂线段,垂足为°，则六照二为常数机若此图形为圆，则攵=\aq\-\bq\形的离心率为（2022・形的离心率为（2022・湖北•荆门龙泉中学二模）.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后,阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线/‘表示与椭圆。的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆。的中心在坐标原点，焦点为耳耳（c,0）（c＞。），由耳发出的光经椭圆两次反射后回到6经过的路程为8c.利用椭圆的光学性质解决以下问题:（1）椭圆。的离心率为.（2）点。是椭圆。上除顶点外的任意一点，椭圆在点尸处的切线为/，外在/上的射影”在圆f+/=8上，则椭圆。的方程为.（2022•北京朝阳•高二期末）.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,5的距离之比为定值％（%。1）的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点