2015届高考数学文科一轮总复习资源2篇函数与基本初等

第2讲 函数的单调性与最值知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量x1，x2当x1＜x2时，都有

f(x1)＜f(x2)

，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)

，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数增函数减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的任意的x∈A，都有

，那么称f(x0)

为y

＝

f(x)

的(2)单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间I上是

增函数

或减函数

，

则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于f(x)≤f(x0)最大值，记为ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．辨析感悟函数单调性定义的理解对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．

(√)(2)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．

(√)(3)(教材改编)函数f(x)＝1在其定义域上是减函数．(×)(4)已知f(x)＝增函数．xx

，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是(√)2．函数的单调区间与最值(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．

(×)x(6)(教材改编)函数y＝1

(－∞，0)的单调递减区间是∪(0，＋∞)．

(×)(7)(2013·北京卷改编)函数y＝lg|x|的单调递减区间为(0，＋∞)．(8)函数f(x)＝log2(3x＋1)的最小值为0.(×)(×)[感悟·提升]一个区别

“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)．两个防范一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)；二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6)．考点一 确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)判断函数f(x)＝x＋a

a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．((x2－4x＋3)的单调区x(2)(2013·沙市中学月考)求函数y＝log间．1

2

1解

(1)法一

任意取x

＞x

＞0，则f(x

)－2f(x

)＝1x

＋x—

1

2x

＋a

a

x2＝(x1－x2)＋x1—

a

a

x2＝(x1－x2)＋a(x2－x1)x

x1

212＝(x

－x

)1－

a

1x

x2.1

2

1

2x1x2当

a≥x

＞x

＞0时，x

－x

＞0,1－

a

＜0，有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，x此时，函数f(x)＝x＋a(a＞0)在(0，a]上为减函数；1

2

1

2x1x2当x

＞x

≥

a时，x

－x

＞0,1－

a

＞0，有f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，x此时，函数f(x)＝x＋a(a＞0)在[a，＋∞)上为增函数；x综上可知，函数f(x)＝x＋a(a＞0)在(0，

a]上为减函数；在[

a，＋∞)上为增函数．

a法二

f′(x)＝1－x2，令

af′(x)＞0，则1－x2＞0，解得x＞a或x＜－a(舍)．令f′(x)＜0，则1

a－x2＜0，解得－a＜x＜a.∵x＞0，∴0＜x＜a.∴f(x)在(0，

a)上为减函数；在(

a，＋∞)上为增函数，也称为

f(x)在(0，

a]上为减函数；在[

a，＋∞)上为增函数．u

与u＝x2－4x＋3(2)令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝log的复合函数．令u＝x2－4x＋3＞0.则x＜1

或x＞3.∴函数

y＝log (x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3

在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数

y＝log

u

在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝log (x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1).规律方法

(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．(2)复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f

[g(x)]必为减函数．x－1【训练1】

试讨论函数f(x)＝

ax

(a≠0)在(－1,1)上的单调性．解

设－1<x1<x2<1，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，1

2f(x

)－f(x

)＝a1＋1－a1＋1x1－1

x2－1＝ax2－x1(x1－1)(x2－1)，由于－1＜x1＜x2＜1.所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．考点二 利用单调性求参数【例2】若函数f(x)＝ax－1

x＋1在(－∞，－1)上是减函数，则a的取值范围是

．解析 法一ax－1

a＋1f(x)＝

x＋1

＝a－x＋1，设x1<x2<－1，1则f(x

)－2f(x

)＝a－x1＋1

－a－a＋1

a＋1

x2＋1＝

a＋1

a＋1

(a＋1)(x1－x2)x

＋1－x

＋1＝(x

＋1)(x

＋1

，2

1

1

2

)又函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，所以f(x1)－f(x2)>0.由于x1<x2<－1，∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0，∴a＋1<0，即a<－1.故a的取值范围是(－∞，－1)．ax－1

a＋1

ax－1法二

由f(x)＝

x＋1

，得f′(x)＝

(x＋1)2

，又因为f(x)＝

x＋1

在

a＋1

(－∞，－1)上是减函数，所以f′(x)＝

(x＋1)2

≤0在x∈(－∞，－1)上恒成立，解得a≤－1，而a＝－1时，f(x)＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故a的取值范围是(－∞，－1)．答案

(－∞，－1)规律方法

解决这类问题的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．

x－5

【训练2】

(1)函数y＝

x－a－2

在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是

(填序号)．①{－3}；②(－∞，3)；③(－∞，－3]；④[－3，＋∞)．(2)(2014·日照模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝

a

在区间[1,2]x＋1上都是减函数，则a的取值范围是

(填序号)．①(－1,0)∪(0,1)；②(－1,0)∪(0,1]；③(0,1)；④(0,1]．解析

x－5

a－3

(1)y＝x－a－2

1＋x－(a＋2)＝

，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有a－3＜0，a＋2≤－1，解得a≤－3.(2)f(x)在[a，＋∞)上是减函数，对于g(x)，只有当a>0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是0<a≤1.答案

(1)③

(2)④考点三

利用函数的单调性求最值【例3】已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当

a＝1

f(x)的最小值；时，求函数2(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0

恒成立，试求实数a

的取值范围．审题路线2(1)当

a＝1

，f(x)为具体函数→求出

f(x)的单调性，时利用单调性求最值．(2)当

x∈[1，＋∞)时，f(x)＞0

恒成立→转化为

x2＋2x＋a＞0恒成立．1解

(1)当a＝2时，1f(x)＝x＋

1

＋2，联想到g(x)＝x＋的单调性，2x

x猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性．任取1≤x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋2x1—

1

1 2x2＝(x1－x2)(2x1x2－1)2x

x1

2，∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0.又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2x＋ax＞0恒成立，则⇔x2＋2x＋a＞0，

a＞－(x2＋2x)，x≥1

x≥1，等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，∴当x＝1时，φ(x)最大值为φ(1)＝－3.∴a＞－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．规律方法求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋32y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－

.求证：f(x)在R上是减函数；求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明

设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵当x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)解

∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，又函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0，再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，∴f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f

[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f

[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f

[g(x)]为减函数．简称：同增异减．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用．易错辨析1——分段函数单调性的判定ax，x＞1，【典例】

(2013·金华模拟)f(x)＝