2021年北京市石景山区中考数学一模试卷（学生版+解析版）

2021年北京市石景山区中考数学一模试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一

2.（2分）2020年11月10日，中国“奋斗者”号载人潜水器在马里亚纳海沟成功坐底，坐

底深度10909米，刷新中国载人深潜的新纪录.将10909用科学记数法表示应为（）

A.0.10909xlO5B.1.0909xl05C.1.0909xl04D.10.909xlO3

3.（2分）实数加，〃在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

-3-2-1012345

A.m<-\B.|-2n|<0C.m+n<0D.n-2m>0

4.（2分）在下列面点烘焙模具中，其图案是中心对称图形的是（）

5.（2分）若一个多边形的内角和为540。，则这个多边形的边数是（）

A.6B.5C.4D.3

6.（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其

中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足

四.问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出

7钱，又差4钱.问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所

列方程组正确的是（）

8x+3=y8x-3=y

B.

7x-4=y7x+4=y

8元+3=y8x-3=y

D.

7x+4=y7x—4=y

7.（2分）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（）

A.圆的周长与其半径的关系

B.平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系

C.销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系

D.汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系

8.（2分）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：

①此二次函数表达式为y=:/-x+9；

②若点在这个二次函数图象上，则〃>〃?；

③该二次函数图象与X轴的另一个交点为（-4,0）；

④当0vxv6时，7?7<y<8.

所有正确结论的序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）二次根式有意义，则x的取值范围是—.

10.（2分）分解因式:9x2-y2=.

11.（2分）若2=2,则代数式上上的值是_.

y3x+2y

12.（2分）不透明的盒子中有3个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别.从中随机

摸出一个球不放回，再从中随机摸出一个球，两次摸出的恰好都是红球的概率是—.

13.（2分）如图，在口。中，半径OC_LAB于点”，若N04B=4O。，则NABC=°.

14.（2分）如图，小石同学在A,3两点分别测得某建筑物上条幅两端C,力两点的仰角

均为60。，若点O,A,8在同一直线上，A,8两点间距离为3米，则条幅的高C£＞为一米

（结果可以保留根号）.

15.（2分）为了解某市常住人口的变化情况，收集并整理了2011年至2020年的常住人口

（单位：万人）数据，绘制统计图如下：

常住人口（万人）

16.（2分）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁

桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具.前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在

前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如表所示：

步骤回收餐具清洁椅面摆放新餐

时间（分钟）与剩菜、与地面具

桌别清洁桌面

大桌532

小桌321

现有三名餐厅工作人员分别负责：①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆

放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作.现有两张小桌和一张大桌需要

清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要一分钟.

三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28

题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.（5分）计算：（；）T+&+|-5|Vcos45。.

x+5>3

18.（5分）解不等式组：4X-3x.

.5'"2

19.（5分）下面是小景设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知:如图1,直线/和/外一点A.

求作：直线AE,使得MJL/于点E.

作法：①在直线/上取一点8,连接至（如图2）；

②作线段/W的垂直平分线CO,交他于点O;

③以。为圆心，08长为半径作圆，交直线/于点E；

④作直线AE.

所以直线AE即为所求作的直线.

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：8为线段钻的垂直平分线，

:.OA=____.

AB=2OB.

二.Ab是口。的直径.

ZA£B=90°（___）（填推理的依据）.

20.（5分）关于x的一元二次方程x?+（k+3）x+3%=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根大于1,求A的取值范围.

21.（5分）如图，在匚438中，BC=2CD,E,F分别是位）,BC的中点，连接瓦'.

（1）求证：四边形EFCD是菱形；

（2）连接"，若AF=26,ZDEF=60°,则即的长为____；菱形EFCD的面积为____.

22.(5分)在平面直角坐标系xQy中，直线/:y=x-3与函数y=@(x>0)的图象G交于点

P(4,b).

(1)求a,b的值；

(2)直线《：丫=履代=0)与直线/交于点例，与图象G交于点N,点〃到y轴的距离记为

4，点N到y轴的距离记为&，当4>4时，直接写出&的取值范围.

23.(6分)如图，OA是□。的半径，A3与口相切于点A,点C在口。上且AC=A8,D

为AC的中点，连接连接C8交OD于点E,交。4于点F.

(1)求证：OE=OF；

3

(2)若OE=3,sinZAOD=-,求班'的长.

24.(6分)阅读下面材料：

小石遇到这样一个问题：如图1,ZABC=90°,DE分别是NABC的边84,BC上的动点

(不与点8重合)，/4DE与"EC的角平分线交于点P,AD8E的周长为a,过点P作

月“_1_84于点加，PNA.BC于点N,求PM+PN与ADBE的周长。的数量关系.

小石通过测量发现了垂线段与PN的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经

过推理和计算使问题得到解决.

请回答：线段产例与PN的数量关系为；

AW+PN与。的数量关系是.

参考小石思考问题的方法，解决问题：

如图2,当N/WC=60。时，其它条件不变，判断点P到/圮的距离与AD8E的周长a的数量

关系，并简要说明理由.

A

25.（6分）某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活.由1至4

号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分.

例如：A节目演出后各个评委所给分数如表：

评委编12345678910

号

评分/7.27.57.87.58.29.77.96.78.59.4

分

评分方案如下：

方案一：取各位评委所给分数的平均数则该节目的得分为

_7.2+7.5+7.5+7.5+8.2+9.7+7.9+6.7+8.5+9.4…

x=----------------------------------------------=8.04.

10

方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数

的平均数，则该节目的得分为x=72+7.5+7.8+7.5+8.2+7.9+8.5+9.4=80（）

8

回答下列问题：

（1）小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你—小乐的说法吗（填“同意”或“不

同意”）？理由是—；

（2）小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方

案三”：先计算1至4号评委所给分数的平均数1=7.5,5至10号评委所给分数的平均数

兀=8.4,再根据比赛的需求设置相应的权重（工表示专业评委的权重，人表示大众评委的权

重，且工+力=1）.

如当=0.7时，贝I」力=1-0.7=0.3.

该节目的得分为亍=ftx,+/-X,=0.7X7.5+0.3X8.4=7.77.

I•当按照“方案三”中工=0.6评分时，A节目的得分为.

II.关于评分方案，下列说法正确的有—.

①当/=0.5时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；

②当/＞0.4时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性；

③当/#0.3时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高.

26.（6分）在平面直角坐标系xQy中，点A是抛物线＞=-丁+2瘦-/+2/«+1的顶点.

（1）求点A的坐标（用含机的代数式表示）；

（2）若射线。4与了轴所成的锐角为45。，求m的值；

（3）将点P（0,l）向右平移4个单位得到点Q,若抛物线与线段尸。只有一个公共点，直接

写出机的取值范围.

27.（7分）在AABC中，AB=AC,/朋。=。（0。＜£＜60。）.点E是AABC内动点，连接

AE,CE,将AAEC绕点A顺时针旋转a,使AC边与A3重合，得至I]AAOB,延长CE与

射线比＞交于点M（点”与点。不重合）.

（1）依题意补全图1;

（2）探究与的数量关系为；

（3）如图2,若DE平分ZADB,用等式表示线段MC,AE,之间的数量关系，并证

明.

28.（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点p和线段ST,我们定义点P关于线段ST的

—(PS<PT)

线段比攵=S7

PT

—(PS..PT)

[ST

(1)已知点A(O,1),8(1,0).

①点Q(2,0)关于线段AB的线段比k=

②点C(0,c)关于线段他的线段比左=后，求c的值.

(2)已知点/(〃?,0),点N(m+2,0),直线y=x+2与坐标轴分别交于E,尸两点，若线

段EE上存在点使得这一点关于线段MN的线段比匕,，直接写出机的取值范围.

4

2021年北京市石景山区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个

1.（2分）

A.

【解答】解：A、

3、该几何体是圆柱，故本选项不符合题意.

C、几何体是圆锥，故本选项不符合题意.

D,几何体是球体，故本选项不符合题意.

故选：A.

2.（2分）2020年11月10日，中国“奋斗者”号载人潜水器在马里亚纳海沟成功坐底，坐

底深度10909米，刷新中国载人深潜的新纪录.将10909用科学记数法表示应为（）

A.0.10909xl05B.1.0909xl05C.1.0909xl04D.10.909x10s

【解答】解：10909用科学记数法可以表示：1.0909X104.

故选：C.

3.（2分）实数加，”在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

-3-2-1012345

A.m<—\B.|-2n|<0C.m+n<0D.n—2m>0

【解答】解：A.•.•数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，

,不符合题意；

8.•.•一个数的绝对值具有非负性，

选项不符合题意；

C.•/m<0.n>0,|w|<|/?|,

选项不符合题意;

D.,/m<0,

-2，?t>0,

.\n-2m>0，

选项符合题意.

故选：D.

4.（2分）在下列面点烘焙模具中，其图案是中心对称图形的是（）

【解答】解：4、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180

度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义.不符合题意；

8、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能

够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义.不符合题意；

C、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能

够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义.不符合题意；

£>、是中心对称图形，符合题意.

故选：D.

5.（2分）若一个多边形的内角和为540。，则这个多边形的边数是（）

A.6B.5C.4D.3

【解答】解：设这个多边形的边数是〃，

则（〃-2）/80。=540。,

解得,

故选：B.

6.（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其

中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足

四.问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出

7钱，又差4钱.问人数、物价各多少？”设人数为工人，物价为y钱，根据题意，下面所

列方程组正确的是（)

而

睾

其

衍

8x+3=y8x-3=y

B.

7x-4=j7x+4=y

8戈+3=y

7x+4=y7x-4=y

【解答】解：设人数为X人，物价为y钱,

8x-3=y

依题意得:

7尤+4=y

故选：B.

7.（2分）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（）

A.圆的周长与其半径的关系

B.平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系

C.销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系

D.汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系

【解答】解：A.圆的周长与其半径是正比例函数，故不符合题意；

B.平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高是反比例函数，故符合题意;

C.销售单价一定时，销售总价与销售数量是正比例函数，故不符合题意；

D.汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间是正比例函数，故不符合题意.

故选：B.

8.（2分）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：

①此二次函数表达式为y=乙/-x+9；

4

②若点8(-1,〃)在这个二次函数图象上，则〃〉，〃；

③该二次函数图象与x轴的另一个交点为(T,0)；

④当0<xv6时，m<y<8.

所有正确结论的序号是()

［解答］解:①从图象看，抛物线的顶点坐标为(2,9),抛物线和x轴的一个交点坐标为(8,0),

则设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+9,

将(8,0)代入上式得：0=a(8-2)2+9,解得“=」，

4

故抛物线的表达式为y=x+8,故①错误，不符合题意；

4

②从点力、B的横坐标看，点A距离抛物线对称轴远，故〃〉机正确，符合题意；

③抛物线的对称轴为直线x=2,抛物线和x轴的一个交点坐标为(8,0),则另外一个交点为

(-4,0)，

故③正确，符合题意；

④从图象看，当0<x<6时，m<y„9,故④错误，不符合题意；

故选：C.

二、填空题(本题共16分，每小题2分)

9.(2分)二次根式有意义，则x的取值范围是

【解答】解：根据题意得：X-5..0,

解得X..5.

故答案为：x..5.

10.(2分)分解因式:9x2—y2=_(3x+y)(3x—y)_.

【解答］解:原式=(3x+y)(3x-y),

故答案为：(3x+>)(3%-y).

11.(2分)若4=2,则代数式上工的值是一1.

y3x+2y~8-

【解答］解：•；±=2,

y3

•,.设x=2,，y=3t,

x-y_2/-3f_T_1

…x+2y-2r+6r_8r--8,

故答案为-1.

8

12.(2分)不透明的盒子中有3个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别.从中随机

摸出一个球不放回，再从中随机摸出一个球，两次摸出的恰好都是红球的概率是-.

一2一

【解答】解：画树状图如图：

共有12个等可能的结果，两次摸出的恰好都是红球的结果有6个,

・••两次摸出的恰好都是红球的概率为幺=,，

122

故答案为：—.

2

13.(2分)如图，在口O中，半径OC_LAB于点”，若NQ4B=4O。，则Z4BC=25°.

【解答】解：•.•OCLA8,

.■.ZAHO=90°,

NO=90°-NQ4B=90°-40°=50°,

ZABC=-ZO=25°.

故答案为25.

14.（2分）如图，小石同学在A,B两点分别测得某建筑物上条幅两端C,。两点的仰角

均为60。，若点O,A,3在同一直线上，A,3两点间距离为3米，则条幅的高CD为

36_米（结果可以保留根号）.

【解答】解：由题意可得，

ZCAO=ZDBO=60°,ZCOA=ZDOB=90°,

/八…OC…八ODOC+Ci

vtanZ.CAO=,tanZ.DBO==----------

OAOBOA+Ai

OC-coOC+CD

tan60=----,tan60=-------------,

OAOA+3

OC=y/3OA,G(OA+3)=OC+CD,

6(0A+3)=60A+C£>,

解得CO=36,

故答案为：3G.

15.（2分）为了解某市常住人口的变化情况，收集并整理了2011年至2020年的常住人口

（单位：万人）数据，绘制统计图如下：

根据统计图，写出一条有关该市常住人口变化情况的信息：该市常住人口逐年增加，2020

年首次出现下降.

【解答】解：由条形统计图知，该市常住人口逐年增加，2020年首次出现下降，

故答案为：该市常住人口逐年增加，2020年首次出现下降（答案不唯一）.

16.（2分）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁

桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具.前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在

前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如表所示：

步骤回收餐具清洁椅面摆放新餐

时间（分钟）与剩菜、与地面具

桌别清洁桌面

大桌532

小桌321

现有三名餐厅工作人员分别负责：①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆

放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作.现有两张小桌和一张大桌需要

清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟.

【解答】解：设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责②清洁椅面

与地面，工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图：

5小桌①;8小桌②11

工作人员1：------

大桌：：

工作：〃墟①2”一②4（■

■（

:大桌小桌①：〃■②

工作人员3：'nsn12

将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟，

故答案是：12.

三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28

题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.（5分）计算：（；尸+曲+|-5|Teos45。.

【解答】解：原式=2+20+5-4x变

2

=2+2短+5-2夜

=7.

x+5>3

18.（5分）解不等式组：<4x-3x-

、5…5

【解答】解：解不等式x+5>3,得：x>-2,

解不等式竺zE..士，得："2,

52

则不等式组的解集为X..2.

19.（5分）下面是小景设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知：如图1,直线/和/外一点A.

求作：直线隹，使得隹_U于点E.

作法：①在直线/上取一点8,连接至（如图2）；

②作线段的垂直平分线CO,交他于点O;

③以。为圆心，08长为半径作圆，交直线/于点E；

④作直线AE.

所以直线AE即为所求作的直线.

,A

图1B图2

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）;

（2）完成下面的证明.

证明：•.•8为线段A3的垂直平分线，

:.OA=_OB

;.AB=2OB.

.,./W是□。的直径.

AZA£；B=90°（）（填推理的依据）.

:.AE±l.

证明：；8为线段钻的垂直平分线，

OA—OB.

.・.AB=2OB.

二.AB是口。的直径.

/.ZA£B=90°（直径所对的圆周角为直角）.

:.AEA.l.

故答案为08；直径所对的圆周角为直角.

20.（5分）关于x的一元二次方程/+（k+3）x+3k=0.

（1）求证：方程总有两个实数根;

（2）若该方程有一个根大于1,求k的取值范围.

【解答】（1）证明：•.•△=（左+3>-4x34

=炉+6后+9-12左

=也一3）2..0,

方程总有两个实数根；

（2）•.•（x+3）（x+Q=0,

X]=­3,%=-k，

•.•该方程有一个根大于1,

/.—k>1,解得k<—1»

即左的范围为&V-1.

21.（5分）如图，在匚438中，BC=2CD,E,F分别是位）,BC的中点，连接回'.

（1）求证：四边形EFCD是菱形；

（2）连接AF,若AF=26，Z£>EF=60°,则EF的长为2；菱形EFCD的面积为____.

【解答】证明：（1）在l」45C£>中，BC=2CD,

:.AD//BC,AD=BC=2CD,

：E,尸分别是45,3C的中点，

:.DE=CF=CD,

又49//BC,

四边形EFCD是平行四边形，

又\CD=DE,

.•.四边形）'8是菱形；

（2）如图，过点F作切_LAT>于“，

・・.DE=EF=AE,

•・・N£>E尸=60。，

:.ZEFH=30°t

EH=-EF,FH=EEH,

2

:.AH=AE+EH=3EH,

AF2=AH2+HF-,

:.\2=9EH2+3EH2,

:.EH=\,

:.EF=2=DE,HF=&,

：.菱形EFCD的面积=2x拒=2&,

故答案为：2,2G.

22.(5分)在平面直角坐标系x0y中，直线/：y=x-3与函数y=4(x>0)的图象G交于点

x

P(4,b).

(1)求a,b的值；

(2)直线《：y=fcc(ZwO)与直线/交于点用，与图象G交于点N,点M到y轴的距离记为

4,点N到y轴的距离记为当4时，直接写出出的取值范围.

【解答】解：将(4,加代入y=x-3得6=4-3=1,

.,.点P坐标为(4,1),

/.a=4xl=4,

故a=4,b=l.

(2)•.•图象G:y=q在第一象限，

X

：.正比例函数y=fcr中无>0时与图象G有交点,

•・,直线4:y=丘(女,0)与直线/有交点,

...攵,

当交点M在第一象限时，Ovkvl,

当交点M,P,N时重合时，4=出，

此时％=1+4=—，

4

由对称性可知点M,N同时在双曲线上,

、二一4

联立方程X

y=x-3

解得x=T或x=4,

•••点M横坐标为一1,

把x=-1代入y=x-3得y=-4,

二.点M坐标为(-1,-4),

此时女［=4

1.1v左<4.

综上所述，!＜后＜1或1＜么＜4.

4

23.（6分）如图，OA是口。的半径，与□相切于点A,点C在口。上且AC=A8,D

为AC的中点，连接O£）,连接CB交O£）于点E,交Q4于点F.

(1)求证：OE=OF；

(2)若OE=3,sinZAOD=-,求跖的长.

5

【解答】（1）证明：・.・OC=Q4,。为AC的中点,

:.OD.LAC9

;.ZDCE+ZDEC=90。,

・・・A5与口相切于点A,

：.OA±AB,

.\ZOAB=90°,

/.Z/^+ZB=90°,

\-AC=AB,

・•.ZACB=ZB,

;./CED=ZAFB,

•・・NCED=NOEF,ZAFB=NOFE,

,\ZOEF=ZOFE,

:.OE=OF;

3

（2）W：sinZAOD=—，

5

AD3

?.-----=—,

OA5

设AD=3x,OA=5x,

:.OD=4x,

•：OE=OF=3,

/.DE=4x-3，AF=5x—3，

AC=2AD=6x，

AB=6x,

-ZACB=ZB,

/.tanZACB=tanAB，

.DE_AF

4x—35x—3

二.-----=-----，

3x6x

解得x=l,

.\AF=2，AB=6，

BF=>JAF2+AB2=V22+62=2M.

24.（6分）阅读下面材料：

小石遇到这样一个问题：如图1,ZABC=90°,AE分别是NABC的边84,3c上的动点

（不与点8重合），/4QE与"EC的角平分线交于点P,AD8E的周长为。，过点尸作

PMLBA于点M,PN_L8c于点N,求PM+PN与ADBE的周长。的数量关系.

小石通过测量发现了垂线段PM与PN的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经

过推理和计算使问题得到解决.

请回答：线段与PN的数量关系为_PM=PN_；

PM+PN与。的数量关系是

参考小石思考问题的方法，解决问题：

如图2,当NABC=60。时，其它条件不变，判断点P到上的距离与ADBE的周长a的数量

关系，并简要说明理由.

【解答】解：过点P作尸G1.OE,垂足为G,

•.•ZM史与NDEC的角平分线交于点P,PM上BA于点M,PN1BC于点、N,

:.PM=PG=PN,ZPNE=APGE=ZPGD=ZPMD=90°,

•:PE=PE,PD=PD,

RtAPNEaRtAPGE(HL),RtAPGD=RtAPMD(HL),

：.MD=GD,NE=GE,

•.•AZME的周长为a,

:.PM+PN=BD+DM+BE+EN=BD+DG+BE+GE=BD+BE+DE=a.

故答案为：PM=PN,PM+PN=a；

解决问题：

PH=—a.

6

连接3P,过P作于",

:.PM=PH,ZMDP=ZHDP,

"MD="HD{AAS),

:.DM=DH,

同理，PH=PN,HE=EN,

:.PM=PN,

・；PM工BM,PNLBC,

/.RtABMP二RtABNP(HL),

；.NPBN=NPBM/ZABC=30。,MB=NB,

2

・・•MB+NB=DB+DM+BE+EN=PB+BE+DE=a,

.\MB=NB=-,

2

G

:.PM=MBtan300=—a.

6

25.（6分）某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活.由1至4

号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分.

例如：A节目演出后各个评委所给分数如表：

评委编12345678910

号

评分/7.27.57.87.58.29.77.96.78.59.4

分

评分方案如下：

方案一：取各位评委所给分数的平均数则该节目的得分为

_7.2+7.5+7.5+7.5+8.2+9.7+7.9+6.7+8.5+9.4…

x=--------------------------------------------------------------------------=8.04.

10

方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数

的平均数，则该节目的得分为I=72+75+7.8+7.5+&2+7.9+&5+9.4=800

8

回答下列问题：

（1）小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你同意小乐的说法吗（填“同意”或

“不同意”）？理由是一；

（2）小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方

案三”：先计算1至4号评委所给分数的平均数工=7.5,5至10号评委所给分数的平均数

兀=8.4,再根据比赛的需求设置相应的权重（工表示专业评委的权重，后表示大众评委的权

重，且工+£=1）.

如当/=0.7时，则力=1-0.7=0.3.

该节目的得分为元=/鼻+£兀=0.7x7.5+0.3x8.4=7.77.

I.当按照“方案三”中工=0.6评分时，A节目的得分为一.

II.关于评分方案，下列说法正确的有—.

①当/=0.5时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；

②当/>0.4时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性；

③当工工0.3时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高.

【解答】解：（1）同意，理由：平均数易受极端值影响，故方案二更合理；

故答案为：同意，平均数易受极端值影响，故方案二更合理；

（2）I.当工=0.6时,由题意知,-=1-f=0.4,=7.5,x,=8.4,

该节目得分：x=/；%,+/-x,=0.6x7.5+0.4x8.4=7.86

.•.£=0.6时，A节目的得分为7.86.

故答案为:7.86；

II.正确的有③.

①工=0.5时，1=+（1-/）^2=0.5x7.5+0.5x8.4=7.95,

8.04*7.95,故①错误;

②/>0.5时，说明方案三评的更注重节目的专业性，故②错误；

③工=0.3,x=03x7.5+0.7x8.4=8.13,

v8.13>8.04,8.13>8.00,

.•.③正确.

故答案为：③.

26.(6分)在平面直角坐标系中，点A是抛物线丫=-*2+2g-/+2加+1的顶点.

(1)求点A的坐标(用含m的代数式表示)；

(2)若射线Q4与x轴所成的锐角为45。，求机的值；

(3)将点尸(0,1)向右平移4个单位得到点。，若抛物线与线段尸。只有一个公共点，直接

写出机的取值范围.

【解答】解：(1)y=-x2+2mx-m2+2m+1=-(x-m)2+2m+1,

顶点A{m,2m+1)；

(2)设x=m,y=2m+1,消掉m,得y=2x+l,

r.A在直线y=2x+l上运动，

所在象限可能为第一、第二、第三象限，

•.•射线Q4与x轴所成的夹角为45。，

可以分两类讨论，

①当A在第一、第三象限时，〃2=2帆+1,

解得m=—I,

②当A在第二象限时，m+2m+\=0,

解得m=-->

3

或」；

3

(3)当P(0,l)向右平移4个单位长度得到。，

则。(4,1),且《。〃x轴

v抛物线与线段尸。只有一个交点，且抛物线顶点A在直线y=2x+\上运动，

,由图1可得，当顶点A与尸点重合时，符合条件，此时帆=0,

由图2,数形结合，当顶点A沿直线y=2x+l向上运动时，抛物线与直线产。均有两个交点，

当抛物线经过。点时，即当x=4,y=l时;-(4-my+2m+l=\,

=2或8,

当”=2时，抛物线为y=-(x-2f+5,它与线段尸Q的交点为P和。，有两个交点，不合

题意，舍去，

当利=8时，抛物线对称轴右侧的部分刚好经过点Q,符合题意,

当噫所8,且加片2时，抛物线与线段PQ只有一个交点

ZBAC=a(0°<a<60°).点£是AABC内动点，连接

AE,CE,将MEC绕点A顺时针旋转a,使AC边与A3重合，得至I]MDB,延长CE与

射线3。交于点M(点”与点。不重合).

(1)依题意补全图1；

(2)探究与NA£M的数量关系为_NAQM=NA£M_；

(3)如图2,若DE平分")3,用等式表示线段MC,AE,9之间的数量关系，并证

明.

A

(2)•.•将AAEC绕点A顺时针旋转得到AADB，

:.ZAEC=ZADB,

:.ZADM=ZAEM,

故答案为：ZADM=ZAEM.

(3)MC=AE+BD,理由如下：

连接40,AAMD和AAWE■公共边为AM,且/4ZW=NA£M,

r.A、M、£＞、E共圆，如图：

：.ZMAD=ZMED,

•.•DE平分/4QB,

:.ZADE=ZEDB,

・・・将AAEC绕点A顺时针旋转得到MDB,

/.AD=AE,BD=EC,

:.ZADE=ZAED,

:.ZEDB=ZAED,

:.BM//AE,

.\ZDME=ZAEM9

\-ZADM=ZAEM,

••.ZDME=ZADM，

在AAW和AEDM中，

AMAD=/MED

<NAQM=Z.DME,

DM=DM

/.^AMD=AEDM(A45),

:.AD=ME,

:.AE=ME9

・.・MC=ME+EC,

:.MC=AE+BD.

28.(7分)在平面直角坐标系xOy中，对于点〃和线段ST,我们定义点P关于线段ST的

PC

—(PS<PT)

线段比k="

PT

—(PS..PT)

(1)已知点A(0,l),8(1,0).

①点Q(2,0)关于线段AB的线段比k=_节_；

②点C(0,c)关于线段43的线段比％=3,求