高中数学必修4测试题附答案

高中数学必修4测试题附答案

数学必修4一、选择题：1.正弦值等于（）3(A)3311(B)(C)(D)222.215°是（A）第一象限角（B）第二象限角（C）第三象限角（D）第四象限角3.角的终边过点P（4，－3），则cos的值为（A）4/5（B）－3/5（C）3/5（D）－4/54.若sin<0，则角的终边在（A）第一、二象限（B）第二、三象限（C）第二、四象限（D）第三、四象限5.函数y=cos2x的最小正周期是（A）（B）2/3（C）2/5（D）26.给出下面四个命题：①AB+BA=；②AB+BC=AC；③AB－AC=BC；④AB=。其中正确的个数为（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个7.向量a=(1,2)，b=(2,1)，则（A）a∥b（B）a⊥b（C）a与b的夹角为60°（D）a与b的夹角为30°8.化简1sin2160°的结果是()（A）cos160°（B）cos160°（C）cos160°（D）09.函数y=2sin(2x)cos[2(x)]是（A）周期为/2的奇函数（B）周期为/2的偶函数（C）周期为的奇函数（D）周期为的偶函数10.函数y=Asin(x)在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（B）y=2sin(2x/3)二、填空题11.已知点A（2，－4），B（－6,2），则AB的中点M的坐标为（2，1）。12.若a=(2,3)与b=(4,y)共线，则y＝3/2。13.若tan=4/5，且为第三象限角，求sin的值为－3/5。14.已知a=1，b=2，a与b的夹角为/3，那么a+bab=1/2。15.函数y=sin2x2sinx的值域是y∈[3,1]。三、解答题16.(1)已知cos4=1/2，求cos2的值。解：cos4=2cos2^21，代入cos4=1/2得到2cos2^21=1/2，解得cos2=±(1±√3)/4。(2)已知tan=3，计算4sin2cos的值。解：由tan=3可得sin=3/√10，cos=1/√10，代入4sin2cos得到(12√102√10)/10=√10。17.已知向量a,b的夹角为60°，且|a|=2,|b|=1，(1)求ab；(2)求|a+b|。解：(1)ab=|a||b|cos60°=1，(2)|a+b|=√(a^2+b^2+2abcos60°)=√7。18.已知$a=(1,2),b=(-3,2)$，求$k$满足：(1)$ka+b$与$a-3b$垂直；(2)$ka+b$与$a-3b$平行，且它们同向或反向。解：(1)$(ka+b)\cdot(a-3b)=0$，展开得$2k-38=0$，解得$k=19$。(2)$(ka+b)\parallel(a-3b)$，即$\frac{k-3}{1}=\frac{2k+2}{-3}$，解得$k=-\frac{41}{10}$。此时$ka+b=(-10,-4)$，与$a-3b=(10,-4)$方向相反。19.已知$OA=(3,1),OB=(-1,2),OC\perpOB,BC\parallelOA$，求满足$OD+OA=OC$的$OD$的坐标（$O$为坐标原点）。解：由$BC\parallelOA$，得$BC$的方向向量为$OA$的方向向量，即$(3,1)$。又由$OC\perpOB$，得$OC$的方向向量为$(2,-1)$。设$OD=(x,y)$，则$OC=OD+DC=OD+OA=(x+3,y+1)$。由$OD+OA=OC$，得$(x+3,y+1)=(a,b)$，其中$(a,b)$为$OC$的坐标。又因为$OC\perpOB$，所以$(a,b)\cdot(-1,2)=0$，解得$a=2b$。代入$(x+3,y+1)=(a,b)$，得$x+3=2(y+1)$，即$x=2y-1$。综上，$OD$的坐标为$(2y-1,y)$，其中$y$为任意实数。20.某港口的水深$y$（米）是时间$t$（$0\leqt\leq24$，单位：小时）的函数。已知以下每天时间与水深的关系表：$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hlinet&3&6&9&12&15&18&21&24\\\hliney&10&13.9&7&10.1&15&10&7&10\\\hline\end{array}$$(1)根据以上数据，求出$y=f(t)$的解析式；(2)若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全地进出该港？解：(1)由于$y=f(t)$可近似看作$y=Asin\omegat+b$的形式，所以先画出散点图，找出一个周期内的最大值和最小值。可见一个周期为12小时，最大值为15，最小值为7。设周期为$T=12$，则$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{6}$。又因为$A=\frac{15-7}{2}=4$，$b=\frac{15+7}{2}=11$，所以$y=4sin\frac{\pi}{6}t+11$。(2)要求水深至少为11.5米，即$4sin\frac{\pi}{6}t+11\geq11.5$，解得$t\leq2$或$t\geq10$。因此船舶在一天中的时间段为$t\in[0,2]\cup[10,24]$。21.已知$a=(3\sinx,m+\cosx),b=(\cosx,-m+\cosx)$，且$f(x)=ab$。(1)求函数$f(x)$的解析式；(2)当$x\in\left(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)$且$f(x)$取最小值$-4$时，求此时$f(x)$的最大值，并求出相应的$x$的值。解：(1)$ab=(3\sinx,m+\cosx)(\cosx,-m+\cosx)=(3\sinx\cosx-m\cosx+\cos^2x,3\sinx\cosx+m\cosx-m^2\cosx-\sinx\cosx)$，即$f(x)=(3\sinx\cosx-m\cosx+\cos^2x)+(3\sinx\cosx+m\cosx-m^2\cosx-\sinx\cosx)i$。化简得$f(x)=(2\sinx\cosx-m\cosx+\cos^2x)-(m^2\cosx-2m\sinx\cosx+i\sinx\cosx)$。(2)由于$x\in\left(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)$，所以$\cosx>0$，$\sinx\cosx>0$。令$f(x)=a+bi$，则$f(x)$的最小值为$-4$等价于$a=2\sinx\cosx-m\cosx+\cos^2x=-2$，$b=m^2\cosx-2m\sinx\cosx=\sinx\cosx$。解得$m=-\frac{1}{2}$，$\cosx=\frac{1}{2}$，$\sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。代入$f(x)$的表达式，得$f(x)=\frac{5}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{4}i$。又因为$x\in\left(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right)$，所以$x=-\frac{\pi}{6}$或$x=\frac{\pi}{3}$。因此$f(x)$的最大值为$\frac{5}{4}$，当$x=-\frac{\pi}{6}$或$x=\frac{\pi}{3}$时取到。解题过程：1.第一段是解析几何的题目，需要将其格式化，补充缺失的符号和数字，同时可以简化解题步骤。解：设$OC=(x,y)$，由题意得：$$\begin{cases}(x,y)-(-1,2)=\lambda(3,1)\\BC=\lambdaOA\end{cases}$$又有$x=2y$，代入第一个式子得$x+1=3\lambda$，解得$\lambda=\frac{x+1}{3}$。代入第二个式子得$BC=\frac{x+1}{3}\cdot2\sqrt{5}$，而$BC=OB-OC=\sqrt{5}-\sqrt{x^2+y^2}$。整理得到$x^2+y^2-2x-4y+3=0$。又因为$x=2y$，所以$y=7$，$x=14$，$OC=(14,7)$。2.第二段是数学分析的题目，需要将其格式化，补充缺失的符号和数字，同时可以简化解题步骤。解：由表中数据可以看到：水深最大值为$13$，最小值为$7$，$h=\frac{13+7}{2}=10$，$2A=\frac{13-7}{2}=3$。且相隔$9$小时达到一次最大值说明周期为$9$，因此$T=\frac{2\pi}{9}$，$\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi\cdot\frac{9}{2\pi}=9$。故$f(t)=3\sin(\omegat)+h=3\sin\left(\frac{18}{\pi}t\right)+10$，$0\leqt\leq24$。要想船舶安全，必须深度$f(t)\geq11.5$，即$3\sin\left(\frac{18}{\pi}t\right)+10\geq11.5$，解得$\sin\left(\frac{18}{\pi}t\right)\geq\frac{1}{6}$。解不等式得$9k\pi+\arcsin\frac{1}{6}\leqt\leq9k\pi+\pi-\arcsin\frac{1}{6}$，$k\inZ$。又因为$0\leqt\leq24$，所以船舶安全进港的时间段为$(0:45-3:45)$，$(9:45-12:45)$，$(18:45-21:45)$。3.第三段是高中数学的题目，需要将其格式化，补充缺失的符号和数字，同时可以简化解题步骤。解：(1)$f(x)=ab=(3\sinx,m+\cosx)(\cosx,-m+\cosx)$，即$f(x)=3\sinx\cosx+\cos^2x-m^2$。代入$m=2$，得$f(x)=3\sinx\cosx+\cos^2x-4$。(2)$f(x)=\frac{3\sin^2x}{1+\cos^2x}-m^2=\frac{3\sin^2x}{\sin^2x+\cos^2x}-m^2=\frac{3\sin^2x}{1+\tan^2x}-m^2=\frac{3\sin^2x\cos^2x}{\cos^2x+\sin^2x\tan^2x}-m^2=\frac{3\sin^2x\cos^2x}{\cos^2x+\sin^2x\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}-m^2=\frac{3\sin^2x\cos^2x}{\cos^2x+\sin^2x\sin^2x}-m^2=\frac{3\sin^2x\cos^2x}{\cos^2x+\sin^2x\sin^2x}-m^2=\frac{3\sin^2x\cos^2x}{1-\cos^2x}-m^2=\frac{3\sin^2x}{\sec^2x}-m^2=\frac{3\sin^2x}{1+\tan^2x}-m^2$。代入$m=2$，得$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}