吉林省长春市第八十中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析

吉林省长春市第八十中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.巳知集合，是虚数单位，设为整数集，则集合中的元素个数是A．3个

B．２个

C．１个

D．0个参考答案：B略2.设样本数据X1,X2,X3……..X10的均值和方差分别是1和4，若yi=xi+(为非零常数，i=1,2…..10),则y1,y2……….y10的均值和方差分别是

（

）

(A)1+，4

(B)1+4+

(C)1，4

(D)1,4+参考答案：A3.已知函数,若||≥,则的取值范围是（

）A．

B.

C.

D．参考答案：D略4.若集合，，则集合等于（）A.

B.

C.

D.参考答案：D5.“”是“方程表示椭圆”的A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A6.已知q是等比数{an}的公比，则q＜1”是“数列{an}是递减数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：D【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】题目给出的数列是等比数列，通过举反例说明公比小于1时数列还可能是递增数列，反之，递减的等比数列公比还可能大于1，从而得到“q＜1”是“等比数列{an}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．【解答】解：数列﹣8，﹣4，﹣2，…，该数列是公比q=的等比数列，但该数列是递增数列，所以，由等比数{an}的公比q＜1，不能得出数列{an}是递减数列；而数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…是递减数列，但其公比q=，所以，由数列{an}是递减数列，不能得出其公比q＜1．所以，“q＜1”是“等比数列{an}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．故选D．7.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（）A．

B．

C．3

D．6参考答案：B8.设全集U=Z，集合M=，P=，则P=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】集合运算A1C解析：集合P，，，＝．故选C．【思路点拨】理解,直接求解即可.9.给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称

在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数。以下四个函数在上不是凸函数的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.函数的定义域为R，且定义如下：（其中M是实数集R的非空真子集），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足，则函数的值域为

（

）]A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则函数的定义域为

.参考答案：12.已知中，角的对边分别为，若，则

．参考答案：依题意，，故，即，可化得，故.方法二：依题意，，故，即，故.13.在矩形中，对角线与相邻两边所成的角分别为、，则有，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体中，对角线与相邻三个面所成的角分别为、、，则__________.参考答案：考点：线面角及计算．【易错点晴】本题考查的是合情推理中类比推理和空间直线与平面所成角的求法问题,解答时先依据类比推理的思维模式,猜想类比的结果为,再利用题设条件搞清直线与平面所成角的概念,分别建立题设中直线与平面所成角的余弦值的表达式,再逐一进行化简与求解何证明.依据线面角的定义对角线相邻三个面所成的角分别为、、线的余弦值分别为最后化简获得结果.14.已知函数则________.参考答案：0因为所以.试题立意：本小题主要考查分段函数；意在考查学生运算求解能力.15.在数列在经过点（5，3）的定直线l上，则数列的前9项和S9=

参考答案：答案：2716.已知命题p:?x∈R，x2+2ax+a≤0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是___________．参考答案：（0,1）17.三棱锥ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若，，则___________．参考答案：易知四边形EFGH是平行四边形，,，所以，,所以.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；(Ⅱ)是椭圆上两点，、是椭圆位于直线两侧的两动点，若直线的斜率为求四边形面积的最大值.参考答案：（本小题满分13分）(Ⅰ）设方程为，则.由，得∴椭圆C的方程为.

…………5分(Ⅱ)（i）解：设，直线的方程为，代入，得

由，解得

…………8分由韦达定理得.四边形的面积∴当，.

………13分略19.如图，四棱锥C﹣ABB1A1内接于圆柱OO1，且A1A，B1B都垂直于底面圆O，BC过底面圆心O，M，N分别是棱AA1，CB1的中点，MN⊥平面CBB1．（1）证明：MN∥平面ABC；（2）求四棱锥C﹣ABB1A1与圆柱OO1的体积比．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】（1）连接AO，NO，推导出四边形AMNO是平行四边形，由此能证明MN∥平面ABC．（2）设圆柱底面半径为r，高为h，则AB=AC=r，=?AC，V圆柱=S△ABC?h，由此能求出四棱锥C﹣ABB1A1与圆柱OC1的体积比．【解答】证明：（1）如图连接AO，NO，由O、N分别是BC，B1C的中点，则ONBB1…在圆柱中BB1⊥平面ABC，AA1⊥平面ABC，则AA1BB1又M是AA1的中点，则ONAM，故四边形AMNO是平行四边形…MN∥AO，又MN?平面ABC，AO?平面ABC，故MN∥平面ABC…解：（2）由题意MN⊥平面CBB1，MN∥AO，AO⊥平面CBB1又BC?平面CBB1，则AO⊥BC，在Rt△BAC中，则AB=AC在△ABC中，AC⊥AB，又AA1⊥AC，则AC⊥平面ABB1A1…设圆柱底面半径为r，高为h，则AB=AC=r，=?AC==，…V圆柱=S△ABC?h=πr2?h=πhr2，…==．故四棱锥C﹣ABB1A1与圆柱OC1的体积比为2：3π．…20.（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米．（I）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内？（II）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．参考答案：解：（I）设的长为（）米，则米∵，∴，

……2分∴

由得

，

又，得，解得：即长的取值范围是

……7分

（II）矩形花坛的面积为

……10分当且仅当矩形花坛的面积取得最小值．故，的长度是米时，矩形的面积最小，最小值为平方米．…12分21.（13分）抛物线:（）,焦点为，直线交抛物线于、两点,是线段的中点,过作轴的垂线交抛物线于点.（1）若抛物线上有一点到焦点的距离为，求此时的值；（2）是否存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

参考答案：（1）抛物线的焦点。，得。（或利用得，或（舍去））(2)联立方程，消去得，设，则（），是线段的中点，，即，，得，若存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形，则，即，结合（）化简得，即，或（舍去），存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形。

本题考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系。22.已知函数，其中，，是自然对数的底数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设函数，证明：.参考答案：（Ⅰ）（1）当时，，当，；当，；所以在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，令，得，由得，由得或，所以在，上单调递增，在上单调递减.