2022年山东省春季高考数学试题及答案

2022年数学试题第页山东省2022年普通高校招生（春季）考试数学试题1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟。考生清在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01。卷一（选择题共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）1．已知集合M＝{1，2}，N＝{2，3，x}，若MN，则实数x的值是（）．A．1 B．2 C．3 D．42．已知a＞b，则下列不等式成立的是（）．A．a＋b＞0 B．ab＞0 C．|a|＞|b| D．3＋a＞3＋b3．已知向量a与向量b的方向相反，|a|＝4，|b|＝3，则ab等于（）．A．－6 B．6 C．－12 D．124．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝10，则该数列的公差是（）．A．1 B．2 C．3 D．45．已知函数f(x)＝(a－5)x2＋sinx是奇函数，则实数a的值是（）．A．3 B．4 C．5 D．66．如图所示，上下两个正四棱柱的底面边长之比是12，则该组合体三视图中的俯视图是（）．（第（第6题图）A． B． C． D．7．已知直线过点(0，2)，且倾斜角为135°，则该直线的方程是（）．A．x－y－2＝0B．x－y＋2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x＋y－2＝08．已知p是假命题，q是真命题，则下列命题为真命题的是（）．A．q B．p∧q C．(p∨q) D．p∧qACBD（第9题图）9．如图所示，△ABC中，D是BC的中点，设EQ\o\ac(\S\UP7(→),AB)＝a，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AD)＝b，则EQ\o\ac(\S\UP7(→),AC)等于（）．ACBD（第9题图）A．a－2b B．a＋2bC．－a＋2b D．－a－2b10．圆x2＋y2－4x＋6y－3＝0的圆心坐标是（）．A．(2，3) B．(2，－3) C．(－2，3) D．(－2，－3)11．已知tan(π－α)＝3，且α是第二象限角，则sinα等于（）．A．EQ\F(\R(,10),10) B．－EQ\F(\R(,10),10) C．EQ\F(3\R(,10),10) D．－EQ\F(3\R(,10),10)12．在(x－2)6的二项展开式中，二项式系数最大的项是（）．A．160x3 B．－160x3 C．60x4 D．－60x413．如图所示的圆柱形容器，其底面半径为1m，高为3m（不计厚度）．设容器内液面高度为x（m），液体的体积为V（m3），把V表示为x的函数，则该函数的图像大致是（）．（第1（第13题图）x(m)x(m)OV(m3)3x(m)OV(m3)3x(m)OV(m3)3x(m)OV(m3)3A． B． C． D．14．某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动，若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是（）．A．EQ\F(1,6) B．EQ\F(1,9) C．EQ\F(2,9) D．EQ\F(1,3)15．已知函数f(x)＝x2＋bx图像的对称轴为x＝1，则不等式f(x)＜0的解集是（）．A．(－2，0) B．(－，－2)∪(0，＋) C．(0，2) D．(－，0)∪(2，＋)16．已知点A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，若β－α＝EQ\F(π,3)，则|EQ\o\ac(\S\UP7(→),AB)|等于（）．A．1 B．EQ\R(,2) C．EQ\R(,3) D．217．对于aZ，0≤b＜1，给出运算法则：【a＋b】＝a－2，则【－1.414】的值等于（）．A．1 B．0 C．－3 D．－4y－2＝0xyOx－y+2＝0y－2＝0xyOx－y+2＝0（第18题图）A．EQ\B\lc\{(\a\al(y－2≥0,x－y＋2＜0)) B．EQ\B\lc\{(\a\al(y－2≤0,x－y＋2＜0))C．EQ\B\lc\{(\a\al(y－2≥0,x－y＋2＞0)) D．EQ\B\lc\{(\a\al(y－2≤0,x－y＋2＞0))19．有三张卡片，第一张卡片的正反两面分别写有数字1，3，第二张卡片的正反两面分别写有数字2，4，第三张卡片的正反两面分别写有数字5，7．现从这三张卡片中任取两张并排放在桌面上，两张卡片朝上一面的数字组成一个两位数，则所有不同两位数的个数是（）．A．8 B．12 C．18 D．2420．已知双曲线EQ\F(x2,a2)－EQ\F(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，O是坐标原点，过点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝3|OP|，则双曲线的离心率是（）．A．EQ\R(,6) B．EQ\R(,5) C．EQ\R(,3) D．EQ\R(,2)卷二（非选择题共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21．抛物线x2＝2y的焦点坐标是．22．若底面边长为4的正四棱锥与棱长为2的正方体体积相等，则正四棱锥的高等于．23．在△ABC中，已知AC＝EQ\R(,6)，∠A＝30°，∠B＝45°，则BC＝____________．24．某企业操作岗位、技术岗位和管理岗位的人数分别是700，210，140．为了解该企业不同岗位员工的健康状况，采用分层抽样的方法，从这三个岗位的所有员工中随机抽取300人进行体检，则抽取操作岗位的人数是．25．已知a＞0且a≠1，若函数f(x)＝在(－，＋)上具有单调性，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题5个小题，共40分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）26．(7分)已知函数f(x)＝EQ\F(k,x)，且f(2)＝1．（1）求实数k的值；（2）证明函数f(x)在(0，＋)上是减函数．ABCDA1B1C1D1P（第27题图）27．（8分）如图所示，在正方体ABCD－A1BABCDA1B1C1D1P（第27题图）（1）AC∥平面A1PC1；（2）AC⊥D1P．ABCA1B1C1B2A2C2…（第28题图）28．（8分）如图所示，已知等边△ABC的边长为6，顺次连接△ABC各边的中点，构成△A1B1C1，再顺次连接△A1B1C1各边的中点，构成△A2B2C2，依此进行下去，直至构成△AABCA1B1C1B2A2C2…（第28题图）（1）求a1，a2，a3的值；（2）若△AnBnCn的边长小于0.01，求n的最小值．29．（8分）已知函数f(x)＝2EQ\R(,3)sinxcosx－2cos2x＋m的图像过点(0，－1)．（1）求函数f(x)的最大值；（2）若α(0，EQ\F(π,2))，且f(α)＝1，求α的值．（第30题图）xyOF1PAF2NMl30．（9分）如图所示，已知椭圆EQ\F(x2,a2)＋EQ\F(y2,b2)＝1（a＞b＞0）的右顶点是A，左右焦点分别是F1，F2，且|AF1|＝EQ\R(,2)＋1，|AF2|＝EQ\R(,2)－（第30题图）xyOF1PAF2NMl（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l：x－2y＋m＝0交椭圆于点M，N，以线段F2M，F2N为邻边作平行四边形F2MPN，若点P在椭圆上，求实数m的值．山东省2022年普通高校招生（春季）考试数学试题答案卷一（选择题共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）12345678910ADCBCADBCB11121314151617181920CBABCADBDA【附解析】1.A（提示：因为MN，所以集合M中的元素都是集合N中的元素，则x＝1）2.D（提示：本题可以从选项入手，采用反例法逐一验证.如当a＝3，b＝－3时，选项A、B、C都错误；而D选项，根据不等式的性质，在不等式的两边同时加上3，不等号的方向保持不变）3.C（提示：因为向量a与向量b的方向相反，则＜a，b＞＝180，所以ab＝|a||b|cos＜a，b＞＝4×3×cos180＝－12）4.B（提示：因为数列{an}是等差数列，a1＝2，所以a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d．因为a2＋a3＝10，所以2×2＋3d＝10，解得d＝2）5.C（提示：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，则由f(x)的解析式可得，(a－5)(－x)2＋sin(－x)＝－[(a－5)x2＋sinx]，即(a－5)x2－sinx＝－(a－5)x2－sinx，2(a－5)x2＝0，a＝5．本题亦可采用赋值法求解，如f(－1)＝－f(1)）6.A（提示：根据俯视图的定义，该几何体的俯视图是两个正方形，其边长之比为1:2，且小正方形位于大正方形的右上角）7.D（提示：斜率k=tan135°＝－1，又因为直线过(0,2)，所以其纵截距为2，则直线方程为y＝－x+2，即x＋y－2＝0）8.B（提示：q是真命题，q为假命题，A错误；p是假命题，p为真命题，p∧q为真命题，B正确；(p∨q)为真，(p∨q)是假命题，C错误；p∧q为假命题，D错误）9.C（提示：由eq\o(→,AD)＝eq\f(1,2)(eq\o(→,AB)＋eq\o(→,AC))，得eq\o(→,AC)＝2eq\o(→,AD)－eq\o(→,AB)＝2b－a＝－a＋2b）10.B（提示：配方得，(x－2)2＋(y＋3)2＝16，则圆心为(2，－3)，半径为r＝4）11.C（提示：由tan(π－α)＝－tanα＝3，得tanα＝－3，由eq\b\lc\{(\a\al\vs4\col(eq\f(sinα,cosα)＝－3,sin2α＋cos2α＝1))，得sin2α＝eq\f(9,10)，又α是第二象限角，则sinα＝eq\f(3\r(10),10)）12.B（提示：展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即T4＝Ceq\a(3,6)x3(－2)3＝－160x3）13.A（提示：因为V＝Sh＝πx，x[0，3]，所以V是关于x的正比例函数，且在区间[0，3]上单调递增，其图像是一条自左而右逐渐上升的直线）14.B（提示：甲乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，一共有n＝3×3＝9个基本事件，随机事件A“恰好都选择舞蹈”的基本事件个数为m＝1，所以概率是P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(1,9)）15.C（提示：由对称轴x＝－eq\f(b,2)＝1，得b＝－2，解不等式x2－2x＜0，得0＜x＜2）16.A（提示：|eq\o(→,AB)|＝eq\r((cosβ－cosα)2＋(sinβ－sinα)2)＝eq\r(2－2cosβcosα－2sinβsinα)＝eq\r(2－2(cosβcosα＋sinβsinα))＝eq\r(2－2cos(β－α))＝eq\r(2－2coseq\f(,3))＝1）17.D（提示：【－1.414】＝【－2＋0.586】＝－2－2＝－4）18.B（提示：阴影区域在直线y－2＝0的下方与直线x－y＋2＝0的左侧公共部分，根据系数法可知需满足x－y＋2＜0且y－2≤0）19.D（提示：一共6个数字，十位上的数字有6种不同的选法，个位上的数字有4种不同的选法，所以由分步计数原理可得，N＝6×4＝24个两位数）20.A（提示：如图所示，在RtOF2P中，易知OP＝a，PF2＝b，OF2＝c；令∠OF2P＝，则cos＝eq\f(F2P,OF2)＝eq\f(b,c).又在PF1F2中，易知PF1＝3OP＝3a，PF2＝b，F1F2＝2c，则由余弦定理可得，cos＝eq\f(PF22＋F1F22－PF12,2PF2×F1F2)＝eq\f(b2＋(2c)2－(3a)2,2b×2c)＝eq\f(b2＋4c2－9a2,4bc)；由eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋4c2－9a2,4bc)，可得b2＋4c2－9a2＝4b2，即4c2－9a2＝3b2＝3(c2－a2)；化简得，c2＝6a2，c＝eq\r(,6)a，则e＝eq\f(c,a)＝eq\r(,6)）（第（第20题图）yOF1F2Pθx卷二（非选择题共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.(0，eq\f(1,2)) 22.eq\f(3,2) 23.EQ\R(,3) 24.200 25.(0，1)∪[3，＋∞)【附解析】21.(0，eq\f(1,2))（提示：焦点在y轴的正半轴上）22.eq\f(3,2)（提示：V＝eq\f(1,3)×42×h＝23，解得h＝eq\f(3,2)）23.EQ\R(,3)（提示：在ABC中，由eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，得BC＝eq\f(AC×sinA,sinB)＝eq\f(eq\r(6)×sin30°,sin45°)＝eq\r(3)）24.200（提示：分层抽样，700×eq\f(300,700＋210＋140)＝700×eq\f(300,1050)＝200）25.(0，1)∪[3，＋∞)（提示：分两种情况进行讨论.若函数f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，如25题图（1）所示，可得eq\b\lc\{(\a\al\vs4\col(a－1＞0，,a＞1，,a2≥2(a－1)＋5，))即eq\b\lc\{(\a\al\vs4\col(a＞1，,a＞1，,a≤－1或a≥3，))解得a≥3；若函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，如25题图（2）所示，可得eq\b\lc\{(\a\al\vs4\col(a－1＜0，,0＜a＜1，,a2≤2(a－1)x＋5，))即eq\b\lc\{(\a\al\vs4\col(a＜1，,0＜a＜1，,－1≤a≤3，))解得0＜a＜1；综上所述，实数a的取值范围是(0，1)∪[3，＋∞)）xx2Oy第25题图（1）y＝ax，x≥2y＝(a－1)x＋5，x＜2x2Oy第25题图（2）y＝ax，x≥2y＝(a－1)x＋5，x＜2三、解答题（本大题5个小题，共40分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）26.（1）解：因为函数f(x)＝eq\f(k,x)，且f(2)＝1，所以eq\f(k,2)＝1，解得k＝2．（2）证明：由（1）得，f(x)＝eq\f(2,x)．设x1，x2(0，＋∞)，且x1≠x2，则△x＝x2－x1，△y＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝eq\f(2,x2)－eq\f(2,x1)＝eq\f(2(x1－x2),x1x2)，因此，eq\f(△y,△x)＝eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)＝eq\f(2(x1－x2),x1x2)×eq\f(1,x2－x1)＝eq\f(－2,x1x2)，因为x1，x2(0，＋∞)，所以x1x2＞0，则eq\f(△y,△x)＝eq\f(－2,x1x2)＜0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．27.证明：（1）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，故AC∥A1C1，ABCDA1B1C1D1P（第27题图）因为AC平面A1PC1，A1C1ABCDA1B1C1D1P（第27题图）（2）如图所示，连接BD，B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1⊥AC，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，因为BB1∩BD＝B，BB1平面BB1D1D，BD平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D，因为D1P平面BB1D1D，所以AC⊥D1P．28.解：（1）a1＝3，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(3,4)．（2）这n个新构成的三角形的边长成等比数列{an}，a1＝3，q＝eq\f(1,2)，则an＝a1qn＝3×(eq\f(1,2))eq\s\up12(n－1)．因为△AnBnCn的边长小于0.01，所以3×(eq\f(1,2))eq\s\up12(n－1)＜0.01，即(eq\f(1,2))eq\s\up12(n－1)＜eq\f(1,300)．所以n－1＞logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(1,300)，n＞9.23，即n的最小值为10．29.解：（1）因为函数图像过点(0，－1)，所以f(0)＝2eq\r(3)sin0cos0－2cos20＋m＝－1，解得m＝1．则函数f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx－2cos2x＋1＝eq\r(3)sin2x－cos2x＝2sin(2x－eq\f(,6))，所以函数f(x)的最大值是2．（2）因为f(α)＝2sin(2α－eq\f(,6))＝1，即sin(2α－eq\f(,6))＝eq\f(1,2)，所以2α－eq\f(,6)＝eq\f(,6)＋2kπ或者2α－eq\f(,6)＝eq\f(5,6)＋2kπ（kZ），解得α＝eq\f(,6)＋kπ或者α＝EQ\F(,2)＋kπ（kZ），因为