2022-2023学年福建省福州市福清工业职业中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年福建省福州市福清工业职业中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则a的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：B2.对任意实数，定义运算，设，则的值为(A)a

(B)b

(C)c

(D)不能确定参考答案：A略3.如图，在一个上底无盖的圆台形容器上放置一个球体，已知圆台上、下底面半径分别为，，母线长，球的最低点距圆台下底面，则球的表面积为(

)A. B. C. D.参考答案：B易求上底面圆心至球最低点距离为，则，得，，故选B．4.设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝()．A．－

B．－

C．

D．参考答案：【知识点】函数的奇偶性与周期性.

B4【答案解析】A

解析：【思路点拨】由函数的周期性及奇偶性得：又当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，所以f＝－，所以选A.5.在中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C,D不重合）

若则x的取值范围（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.已知定义在R上的单调连续函数f（x）在区间（0，2）上存在零点的一个必要不充分条件是（）A．f（0）f（2）＜0 B．f（1）f（2）＜0 C．f（0）f（3）＜0 D．f（0）f（1）＜0参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在R上的单调连续函数f（x）在区间（0，2）上存在零点，则f（0）f（3）＜0，反之不成立，即可判断出结论．【解答】解：∵在R上的单调连续函数f（x）在区间（0，2）上存在零点，则f（0）f（3）＜0，反之不成立，零点可能∈[2，3），因此定义在R上的单调连续函数f（x）在区间（0，2）上存在零点的一个必要不充分条件是f（0）f（3）＜0．故选：C．7.若，，，则，，大小关系是（

）A.

B．

C.

D．参考答案：A8.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是参考答案：D本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.9.下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，四位同学先后离开，则第二位走的是男同学的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.函数的定义域为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线与直线平行，则

参考答案：12.如右图，在一个长为，宽为2的矩形内，曲线与轴围成如图所示的阴影部分，向矩形内随机投一点（该点落在矩形内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是

参考答案：13.已知实数x、y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣3y的最大值为．参考答案：3【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），化目标函数z=2x﹣3y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×3﹣3×1=3．故答案为：3．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是

．参考答案：515.关于平面向量，，.有下列三个命题：①若，则.②若=（1,k），=（—2，6），//，则k=—3.③非零向量和满足，则与+的夹角为60°.其中真命题的序号为__________.（写出所有真命题的序号）参考答案：②

∵，∴，∴，不一定有，则①不正确；当，，//时，，∴，则2正确；非零向量和满足，、、构成等边三角形，∴与+的夹角为，因此3错误，故真命题序号为②.16.若α是锐角，且的值是

.参考答案：∵是锐角，,,所以，.17.若函数对定义域D内的每一个，都存在唯一的，使得成立，则称为“自倒函数”，给出下列命题：①是自倒函数；②自倒函数可以是奇函数；③自倒函数的值域可以是R；④若都是自倒函数且定义域相同，则也是自倒函数则以上命题正确的是

．(写出所有正确的命题的序号)参考答案：①②因为,所以,因此满足“自倒函数”定义;因为奇函数满足“自倒函数”定义,所以②对;自倒函数不可以为零;因为,都是自倒函数且定义域相同，但不是自倒函数(不唯一),因此命题正确的是①②

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为第一组[0，20），第二组AA1⊥平面ABC，第三组[40，60），第四组[60，80），第五组[80，100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）若从第一组和第二组中利用分层抽样的方法抽取6家企业，试求在这6家企业中选2家，这2家企业年上缴税收在同一组的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率和为1，列方程求出x的值；（2）计算上缴税收不少于60万元的频率与频数即可；（3）根据第一组与第二组的企业家数比求出每组抽取的家数，用列举法计算基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x=0.0125；（2）企业上缴税收不少于60万元的频率为0.003×2×20=0.12，∴1200×0.12=144，∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠；（3）第一组与第二组的企业数之比为0.0125：0.025=1：2，用分层抽样法从中抽取6家，第一组抽取2家，记为A、B，第二组抽取4家，记为c、d、e、f；从这6家企业中抽取2家，基本事件数是AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种，其中两家企业在同一组的基本事件数是AB、cd、ce、cf、de、df、ef共7种，故所求的概率为P=．【点评】本题主要考查了频率分布直方图与列举法求古典概型的概率问题，也考查了分层抽样原理的应用问题，是基础题．19.（12分）

某车间准备从10名工人中选送4人到某生产线工作，工厂规定：这条生产线上熟练工人不得少于3人。已知这10名工人中熟练工人8名，学徒2名，（1）求工人配置合理的概率；（2）为了督促安全生产，工人安全部门每月对工人配置合理与否的情况进行三次检查，求其中两次检查得到结果是配置不合理的概率。参考答案：解析：（1）配置合理的概率为………………..6分（2）三次检查可以看成三次独立试验

……………………12分

20.已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得，即（2x1+2）（2x2+2）=﹣1．可得，再利用基本不等式的性质即可得出；（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出．．【解答】解：（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在[﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，∴，∴（2x1+2）（2x2+2）=﹣1．∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴=1，当且仅当﹣（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立．∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值为1．（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为，即．当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为，即．函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是，由①及x1＜0＜x2可得﹣1＜x1＜0，由①②得=．∵函数，y=﹣ln（2x1+2）在区间（﹣1，0）上单调递减，∴a（x1）=在（﹣1，0）上单调递减，且x1→﹣1时，ln（2x1+2）→﹣∞，即﹣ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．x1→0，a（x1）→﹣1﹣ln2．∴a的取值范围是（﹣1﹣ln2，+∞）．【点评】本题主要考查了基本函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、基本不等式的性质、直线的位置关系等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．21.已知函数在x=1处取到极值2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数．若对任意的x1∈R，总存在x2∈[1，e]，使得，求实数a的取值范围．参考答案：略22.设函数．(1)若函数在上为减函数，求实数的最小值；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．参考答案：(1)(2)

【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．B11B12解析：(1)由已知得x＞0，x≠1．因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．…1分所以当时，．又，………2分故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．

……………4分(2)命题“若存在使成立”等价于“当时，有”．………5分由（Ⅰ），当时，，．问题等价于：“当时，有”．…6分①当时，由（1），在上为减函数，则=，故．

…8分②当<时，由于在上的值域为（ⅰ），即，在恒成立，故在上为增函数，于是，，矛盾．…10分（ⅱ），即，由