2021年江西省九江市北大附属中学高三数学文月考试题含解析

2021年江西省九江市北大附属中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数,则下列结论中正确的是（） A．的最小正周期是 B．在上单调递增C．的图像关于对称 D．的图像关于点对称参考答案：B2.实数x，y满足，则xy的最小值为（）A．2 B． C． D．1参考答案：B【考点】函数的最值及其几何意义；基本不等式在最值问题中的应用；三角函数的化简求值．【分析】配方可得2cos2（x+y﹣1）==（x﹣y+1）+x﹣y+1，由基本不等式可得（x﹣y+1）+x﹣y+1≤2，或（x﹣y+1）+x﹣y+1≤﹣2，进而可得cos（x+y﹣1）=±1，x=y=，由此可得xy的表达式，取k=0可得最值．【解答】解：∵，∴2cos2（x+y﹣1）=∴2cos2（x+y﹣1）=，故2cos2（x+y﹣1）=x﹣y+1+，由基本不等式可得（x﹣y+1）+≥2，或（x﹣y+1）+≤﹣2，∴2cos2（x+y﹣1）≥2，由三角函数的有界性可得2cos2（x+y﹣1）=2，故cos2（x+y﹣1）=1，即cos（x+y﹣1）=±1，此时x﹣y+1=1，即x=y，∴x+y﹣1=kπ，k∈Z，故x+y=2x=kπ+1，解得x=，故xy=x?x=（）2，当k=0时，xy的最小值，故选：B3.如图，有一建筑物OP，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40m的基线AB，若在点A处测得P点的仰角为30°，在B点处的仰角为45°，且∠AOB=30°，则建筑物的高度为（）A．20m B．20m C．20m D．40m参考答案：D【考点】解三角形的实际应用．【专题】综合题；方程思想；演绎法；解三角形．【分析】设旗杆的高度为hm．依题意，可得PO⊥OA，PO⊥OB，由题意可得，OB=OP=h（m），OA=h，结合余弦定理，可得AB2=OA2+OB2﹣2OA?OBcos∠AOB可求h．【解答】解：设旗杆的高度为hm．依题意，可得PO⊥OA，PO⊥OB，∴OB=OP=h（m），OA=h（m）由余弦定理，可得AB2=OA2+OB2﹣2OA?OBcos∠AOB即1600=3h2+h2﹣3h2，解得h=40（m）∴旗杆的高度为40m．故选D．【点评】本题主要考查了三角函数及余弦定理在解实际问题中的三角形中的应用，解题的关键是要把实际问题转化为数学中的三角形问题，属于解三角形在实际中的应用．4.设数列的前项和为，若，，则（

）A．3 B．2 C．1 D．0参考答案：B5.已知直线x+y﹣5=0与两坐标轴围成的区域为M，不等式组所形成的区域为N，现在区域M中随机放置一点，则该点落在区域N的概率是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】由题意画出图形，求出M、N的面积，结合几何概型求得答案．【解答】解：由题意画出图形如图，直线x+y﹣5=0与两坐标轴围成的区域为M为三角形AOB及其内部区域，其面积为；不等式组所形成的区域为N为图中阴影部分，联立，解得C（，），其面积为．由几何概型可得：点落在区域N的概率是．故选：A．6.已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（）A．（，+∞） B．（2，+∞） C．（，2） D．（1，2）参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定M，F1，F2的坐标，进而由?＜0，结合a、b、c的关系可得关于ac的不等式，利用离心率的定义可得范围．【解答】解：设直线方程为y=（x﹣c），与双曲线（a＞0，b＞0）联立，可得交点坐标为P（，﹣）∵F1（﹣c，0），F2（c，0），∴=（﹣，），=（，），由题意可得?＜0，即＜0，化简可得b2＜3a2，即c2﹣a2＜3a2，故可得c2＜4a2，c＜2a，可得e=＜2，∵e＞1，∴1＜e＜2故选：D．7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D由，，得，据此可得：，由，得：

8.若（1﹣2x）2016=a0+a1x+…+a2016x2016（x∈R），则++…+的值为(

)A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2参考答案：C【考点】二项式定理的应用．【专题】二项式定理．【分析】在所给的等式中，令x=0可得a0=1；令x=可得a0+++…+=0，从而求得++…+的值．【解答】解：在（1﹣2x）2011=a0+a1x+…+a2011x2016中，令x=0可得，（1﹣0×2）2016=a0，即a0=1，在（1﹣2x）2011=a0+a1x+…+a2011x2016中，令x=可得，（1﹣2×）2011=a0+++…+，即a0+++…+=0，而a0=1，∴++…+=﹣1，故选：C．【点评】此题是个基础题．此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数问题时，常采取赋值法，属于中档题．9.函数的定义域为(

)A．(2,+∞)

B．(－1,2)∪(2,+∞)

C．(－1,2)

D．(－1,2]参考答案：C函数的定义域应满足故选C.

10.在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为A．

B．2

C．

D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若集合，则实数

.参考答案：12.如图在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D、E是线段BC上的两点，且，则的取值范围是___________．参考答案：略13.已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________.参考答案：【知识点】直线的位置关系和距离公式；双曲线的标准方程和性质

H2

H6【答案解析】

解析：双曲线的一条渐近线与直线l：垂直，双曲线的渐近线的斜率为，则，①由题意知双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为，根据点到直线的距离公式，则，，即，②，联立①②，解得，所以双曲线的标准方程为：，故答案为：【思路点拨】求双曲线的标准方程即求参数。根据已知可求出渐近线的斜率，得到一个关于的方程，再利用点到直线的距离公式结合双曲线的性质得到另外一个关于的方程，联立两个方程，解出参数即可。14.关于的二次不等式的解集为，且，则的最小值为___________.参考答案：略15.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是．参考答案：600【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出在该次数学考试中成绩小于60分的频率，再求成绩小于60分的学生数．【解答】解：根据频率分布直方图，得在该次数学考试中成绩小于60分的频率是（0.002+0.006+0.012）×10=0.20∴在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是3000×0.20=600．故答案为：600．16.已知函数，则________.参考答案：-217.关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且x2﹣x1=15，则a=

．参考答案：考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则x1，x2是一元二次方程x2﹣2ax﹣8a2=0（a＞0）的实数根，利用根与系数的关系即可得出．解答： 解：∵关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴x1，x2是一元二次方程x2﹣2ax﹣8a2=0（a＞0）的实数根，∴△=4a2+32a2＞0．∴x1+x2=2a，x1x2=﹣8a2．∵x2﹣x1=15，∴152==4a2+32a2，又a＞0．解得a=．故答案为：．点评：本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率为，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2。（1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交与A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为，求直线l的方程。参考答案：（1）由椭圆的离心率为，得，

….…….….….….….….….….…2分由得，

….….….….….….…4分，

….….….….….….…5分所以椭圆方程为．

….….….….….….…6分（2）解：设直线，，，中点．联立方程得，.

….….….….…8分．

….….….….…10分所以，点到直线的距离为．.….….…12分由以线段为直径的圆截直线所得的弦的长度为得，所以，解得，

….….….….….….….….….….….…14分

所以直线的方程为或．….….….….….….….….….…15分19.已知函数(Ⅰ)求函数的极值点;(Ⅱ)若直线过点,并且与曲线相切,求直线的方程.(Ⅲ)设函数,其中,求函数在上的最小值(其中e为自然对数的底数)参考答案：略20.已知等差数列中，，。（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前k项和，求k的值．参考答案：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝＝2n－n2.进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.

又k∈N*，故k＝7为所求．略21.已知数列为等差数列，其中．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，设的前项和为．求最小的正整数，使得．参考答案：（Ⅰ)设等差数列的公差为，依题意有，解得，从而的通项公式为；(Ⅱ)因为，所以．令，解得，故取．22.（本小题满分10分）如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.求证：（Ⅰ）AD∥EC；