2022-2023学年四川省南充市诸家中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年四川省南充市诸家中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.全集，集合，，则（

）． A．B． C． D．参考答案：B2.如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点．现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.函数的图像是两条直线的一部分，如图所示，其定义域为，则不等式的解集（）（A）{x|－1≤x≤1,且x≠0}

（B）{x|－1≤x≤0}

（C）{x|－1≤x＜或0＜x≤1}（D）{x|－1≤x＜0或＜x≤1}

参考答案：C4.已知，则_______.A．

B．

C．

D．参考答案：B5.已知命题p：函数f（x）=2ax2﹣x﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点；命题q：函数y=x2﹣a在（0，+∞）上是减函数．若p且?q为真命题，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≤2 C．1＜a≤2 D．a≤1或a＞2参考答案：C【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．

【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】先求出命题p，q为真命题时，a的范围，即可求出p且￢q为真命题时，即可求实数a的取值范围．【解答】解：由题意，命题p：得a＞1．命题q：2﹣a＜0，得a＞2，∴￢q：a≤2．故由p且￢q为真命题，得1＜a≤2，故选C．【点评】本题考查函数方程思想、幂函数单调性的应用，同时又考查命题真假的理解，属于中档题．6.已知方程有实根，且，则复数等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：7.（5分）等差数列{an}中，a6=2，S5=30，则S8=（）A．31B．32C．33D．34参考答案：B【考点】：等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由S5=30求得a3=6，再由S8==4（a3+a6），运算求得结果．解：∵a6=2，S5=30==5a3，∴a3=6．故S8==4（a3+a6）=32，故选B．【点评】：本题考查了等差数列的性质，恰当地运用性质，可有效地简化计算．利用了若{an}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq，属于中档题．8.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B． C．2 D．3参考答案：C考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．解答：解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，∴则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p=2．故选C．点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．9.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（

） A． B． C． D．参考答案：10.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1494石，检验发现米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（）A．17石 B．166石 C．387石 D．1310石参考答案：B【考点】简单随机抽样．【分析】根据数得270粒内夹谷30粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1494×=166石，故选：B．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________.参考答案：

12.设复数（为虚数单位），则.参考答案：由得。13.计算：dx=

．参考答案：6考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：找出被积函数的原函数，然后代入上下限，计算．解答： 解：dx=3lnx|=3（lne2﹣ln1）=6；故答案为：6．点评：本题考查了定积分的计算，关键是正确写出被积函数的原函数．14.直线x=a分别与曲线y=2x+1，y=x+lnx交于A，B，则|AB|的最小值为

．参考答案：2【考点】3O：函数的图象．【分析】|AB|的最小值为两函数差的极值绝对值．【解答】解：令f（x）=2x+1﹣x﹣lnx=x﹣lnx+1，则f′（x）=1﹣，∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=2，∴|AB|的最小值为2．故答案为：2．15.正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是______________.参考答案：16.平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，则点取自△内部的概率为______．参考答案：,根据几何概型可知点取自△内部的概率为，其中为平行四边形底面的高。17.对任意实数x和任意，恒有，则实数a的取值范围为_____．参考答案：a或a【分析】原不等式等价于（3+2sinθcosθ﹣asinθ﹣acosθ）2，θ∈[0，]，从而可得a，或a，于是问题转化为求函数的最值问题加以解决，对上述分式进行合理变形，利用函数单调性、基本不等式即可求得最值．【详解】原不等式等价于（3+2sinθcosθ﹣asinθ﹣acosθ）2，θ∈[0，]①，由①得a②，或a③，在②中，，（sinθ+cosθ），显然当1≤x时，f（x）＝x为减函数，从而上式最大值为f（1）＝1，由此可得a；在③中，（sinθ+cosθ），当且仅当sinθ+cosθ时取等号，所以的最小值为，由此可得a，综上，a或a．故答案为：a或a．【点睛】本题考查函数恒成立问题，转化为函数最值问题是解决该类题目的常用方法，解决本题的关键是先对不等式进行等价变形去掉x，变为关于θ的恒等式处理．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数与的图象都经过点，且在点处有公共切线，求的表达式．参考答案：解析：图象过点Ｐ，，．由于图象过点，所以可得．又，，，．综上可知．19.（本小题满分15分）已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。

(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程；(Ⅲ)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。参考答案：略20.已知直线的方程为，圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求直线与圆的交点的极坐标；（2）若为圆上的动点，求到直线的距离的最大值.参考答案：（1）直线：，圆：，联立方程组，解得或，对应的极坐标分别为，.（2）设，则，当时，取得最大值.21.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，点E是棱PB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PB（Ⅱ）若PD=2，AB=，求直线AE和平面PDB所成的角．参考答案：考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）判断AC⊥面PBD，再运用直线垂直直线，直线垂直平面问题证明．（II）根据题意得出AC⊥面PBD，运用直线与平面所成的角得出∴∠AEO直线AE和平面PDB所成的角利用直角三角形求解即可．解答： 证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，AC⊥BD，∵PD∩DB=D，∴AC⊥面PBD，∵PB?面PBD，∴AC⊥PB．（Ⅱ）连接EO，∵点E是棱PB的中点，O为DB中点，∴OE∥PD，∵PD=2∴OE=1∵AC⊥面PBD，∴∠AEO直线AE和平面PDB所成的角∵底面ABCD是正方形，AB=，∴AC=2，AO=1，∴Rt△AEO中∠AEO=45°即直线AE和平面PDB所成的角45°点评：本题考查了棱锥的几何性质，直线与平面角的概念及求解，考查学生的空间思维能力，运用平面问题解决空间问题的能力．22.如