2022年四川省成都市百花潭中学高三数学理期末试卷含解析

2022年四川省成都市百花潭中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为

参考答案：D由，得.由，得，所以，且.所以数列为递减的数列.所以为正，为负，且，，则，，，又，所以，所以最大的项为，选D.2.如下图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8π

B．16π

C.32π

D．64π参考答案：C几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4）中心，所以半径为，表面积为，选C.

3.定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，且，则不等式的解集是(

)A、

B、

C、

D、参考答案：C略4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A． B． C．4π D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为四棱锥侧面为左视图，PE⊥平面ABC，E、F分别是对应边的中点，底面ABCD是边长是2的正方形，设外接球的球心到平面ABCD的距离为h，则h2+2=1+（2﹣h）2，求出h，并求出球的半径，利用球的表面积公式求解．【解答】解：由三视图知该几何体为四棱锥侧面为左视图，PE⊥平面ABC，E、F分别是对应边的中点，底面ABCD是边长是2的正方形，设外接球的球心到平面ABCD的距离为h，则h2+2=1+（2﹣h）2，∴h=，R2=，∴几何体的外接球的表面积S=4πR2=π，故选B．【点评】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，由三视图正确复原几何体以及正确确定外接球球心的位置是解题的关键，考查空间想象能力．5.已知集合，，则M∪N=（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】化简集合，进而求并集即可.【详解】由题意可得，，所以，故选A.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.6.若数列的前项和，则数列的通项公式A.

B.

C.

D.参考答案：D略7.已知直线l：交双曲线：于A，B两点，过A作直线l的垂线AC交双曲线于点C．若，则双曲线的离心率为(

)A. B. C.2 D.参考答案：A【分析】联立直线xy和双曲线方程可得A，B的坐标，以及|AB|，直角三角形的性质可得|AC||AB|，设出直线AC的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理可得C的横坐标，由弦长公式，化简计算可得a＝b，进而得到所求离心率．【详解】联立直线xy和双曲线方程可得x2，y2，可设A（，），可得|AB|＝2|OA|，在直角三角形ABC中，∠ABC＝60°，可得|AC||AB|，设直线AC的方程为yx，代入双曲线方程可得（b2﹣3a2）x2x﹣a2b20，可得xC，即有|xC﹣xA|＝||，可得|AC|＝2?，即为a2+b2＝|b2﹣3a2|，可得a＝b，e．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线的位置关系，以及联立方程组，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于综合题．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).8.已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：化简|f（x）﹣1|＜a得＜x＜．化简|x+1|＜b得﹣b﹣1＜x＜b﹣1，由题意可得（，）?（﹣b﹣1，b﹣1），故﹣b﹣1≤，b﹣1≥，由此求得a，b之间的关系．解答： 解：|f（x）﹣1|＜a即|2x+2|＜a，即﹣a＜2x+2＜a，即＜x＜．|x+1|＜b即﹣b＜x+1＜b即﹣b﹣1＜x＜b﹣1．∵|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），∴（，）?（﹣b﹣1，b﹣1），∴﹣b﹣1≤，b﹣1≥，解得b≥，故选A．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，绝对值不等式的解法，属于中档题．9.已知等比数列是等差数列，且等于

A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：D10.下面是关于复数的四个命题:,

的共轭复数为的虚部为其中真命题为A.

B.

C.

D.

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，若，则的取值范围为

．参考答案：或

12.设全集是实数集，，，则图中阴影部分表示的集合等于____________.（结果用区间形式作答）参考答案：13.已知命题“函数定义域为R”是假命题，则实数a的取值范围是

．参考答案：【知识点】函数的定义域及其求法.B1【答案解析】a≤﹣2或a≥2解析：解：若函数f（x）=log2（x2+ax+1）定义域为R，为假命题，则x2+ax+1＞0恒成立为假命题，即对应的判别式△=a2﹣4≥0，解得a≤﹣2或a≥2，故答案为：a≤﹣2或a≥2【思路点拨】根据对数函数的图象和性质，转化为一元二次函数问题即可得到结论．14.某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间．将测试结果分成组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的个小矩形的面积之比为，那么成绩在的学生人数是_____．参考答案：成绩在的学生的人数比为，所以成绩在的学生的人数为。15.若直线相切，则m的值为参考答案：16.等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则公比q=_______.参考答案：显然公比，设首项为，则由，得，即，即，即，所以，解得17.经过两条直线的交点，且与直线平行的直线一般式方程为

_____________

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，平面图形ABCDFE中，其中矩形ABCD的边长分别为，，等腰梯形ADFE的边长分别为，.现将该平面图形沿着AD折叠，使梯形ADFE与矩形ABCD垂直，再连接BE，CF，得到如图所示的空间图形，对此空间图形解答如下问题：（1）证明：；（2）求平面ABE与平面CDF所成锐二面角的余弦值.参考答案：解法一：（1）证明：∵四边形是矩形，∴.∵平面平面，平面平面，∴平面.∵平面，∴.（2）作，，垂足分别为，过分别作，，交分别于，连接.∵为直角三角形，且，，∴.在等腰梯形中，易求，而，由题可知，在平面的射影为，∴.可知平面与平面所成二面角为，而.解法二：建立空间直角坐标系，（1）则，，，，，.，，∵，∴.（2）设平面的法向量为，则，即，不妨取，则.同理可得平面的法向量为..二面角的角的余弦值为.

19.(本题满分12分)设数列的前项和为，满足，且。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设数列的前项和为，且，证明：对一切正整数，

都有：参考答案：解：（Ⅰ）∵∴

…………………4分（Ⅱ）由得检验知，满足∴变形可得∴数列是以1为首项，1为公差的等差

解得…………………7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知代入得=……………8分∵∴∴∴即∴

∴…………………12分

略20.（本题满分12分）如图，在三棱锥中，，，设顶点在底面上的射影为．（1）求证:；（2）设点在棱上，且，试求二面角的余弦值．参考答案：解：（1）由平面得，又，则平面，故，…………2分同理可得，则为矩形，又，则为正方形，故．…5分

（2）由（1）的证明过程知为正方形，如图建立坐标系，则，可得，………………8分则，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则由得，…………10分则，即二面角的余弦值为．………………12分21.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求a+c的最大值．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简等式2bcosA=2c﹣a，可得（2cosB﹣1）sinA=0，结合sinA＞0得到cosB，从而解出B；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子，解出12=a2+c2﹣ac．再利用基本不等式得出结论．【解答】解：（1）∵2c﹣a=2bcosA，∴根据正弦定理，得2sinC﹣sinA=2sinBcosA，∵A+B=π﹣C，可得sinC=sin（A+B）=sinBcosA+cosBsinA，∴代入上式，得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA﹣sinA，化简得（2cosB﹣1）sinA=0∵A是三角形的