均值-方差模型下的VaR与CVaR限制比较

均值-方差模型下VaR和CVaR限制作用的投资组合选择的对比研究GordonJ.AlexanderAlexandreM.Baptista1引言随着VaR成为最流行的风险度量工具，近些年风险控制吸引了很多金融从业者和管理者

的注意力。举例来说， Jorion,Linsemeier,Pearson,Alexander和Baptista,Hull,Chanee指出VaR已经被公司财团，交易人，基金经理，金融机构和管理广泛应用。与之相反，很多研究者言辞激烈的批评了作为风险控制工具的 VaR。举例来说，Artzneretal指出因为不满足次可加性，VaR不是一个连续的风险度量。即，两个债券的组合的 VaR可能会大于各个债券VaR的和。Basak和Shapiro指出，如果在一个连续时间序列的开始部分选择使用 VaR,与不使用VaR相比较，这个机构将会承担更大的风险。因为上述的原因，这些研究者提出使用 CVaR而不是VaR。这篇文章中我们主要讨论的问题有以下几个： 1使用VaR作为风险控制工具将会有什么样的结果？2、这些结果与使用CVaR有什么不同？3、作为风险控制工具，有哪些情况下CVaR可以支配VaR?为了找寻这些答案，我们查看一个周期的均值 -方差模型。在一些特定的情况下，相比较不使用VaR，VaR的使用会使slightlyrisk-averse选择带有更小标准差的投资组合。 可是，也存在一些情形，VaR会使得highlyrisk-averse选择有较大标准差的投资组合。因为当CVaR的边界和VaR边界重叠时，CVaR限制比VaR限制要严格这些组合选择结果是真实的。因此，控制slightlyrisk-averseagent,CVaR限制比VaR更加有效，但是却对highlyrisk-averse有着更加perverse的作用。可是当组合中存在无风险债券或者 CVaR的边界大于VaR边界的时候，这些perverse结果会被削弱甚至消除。 moreover,在后一种情形下，如果CVaR边界被设定在一定水平下使得CVaR限制对highlyrisk-averse有同VaR限制一样的perverse作用，那么相比较与VaR，CVaR限制会导致slightlyrisk-averse选择带有更小标准差的组合。如果CVaR边界被设定在一个更高的水平使得 CVaR限制像VaR限制一样降低了slightlyrisk-averse的最优投资组合选择，那么相比较与 VaR，CVaR限制将会允许highlyrisk-averse选择带有更小标准差的投资组合。因此，当CVaR标准被设定在这两个水平之间时，CVaR限制dominatesVaR限制作为风险控制的工具。这篇文章是如下组织的：第二部分是均值-VaR、均值-CVaR边界和有效前沿的特征。第三部分是使用VaR限制和CVaR限制下的投资组合选择。第四部分是分析性的展现了两种限制下的投资组合选择标准差的差异和不同。第五部分考虑了存在无风险债券的情况。第六部分是结论。所有的证明在附录中给出了。2模型假设不存在无风险债券，有n2的债券。R是期望收益率的向量， 是回报率的矩nX{XiRn: Xi1} R阵的协方差矩阵。 i1 为已经定义明确的投资组合。 Rx最为X的任意回报率。E[Rx]， [Rx]分别为期望回报率和期望方差 。Fx?为Rx的累积分布函数假设一个投资期限和置信水平 (“2,1)，那么100%概率下VaR为1V[,Rx] F(1 )同理，那么100%概率下CVaR为L[,Rx] E{Rx|Rx V[,Rx]}假设投资组合中的债券回报率满足独立的正态分布。 (？)为标准累积正态分布函数。(?)标准正态密度函数。z假设z 1(1 )，有(x)dx1从而V[,Rx]z[Rx]E[Rx]zx(x)dxk同理L[,Rx]k[Rx]E[Rx]，其中 1 ，kz2.1均值-VaR均值-CVaR边界当VaR,CVaR和方差作为风险度量标准时，风险 -回报边界如下定义：ER,XE{xX:E[Rx]=E}对于任意的二厂-min_V[,Rx]R %定义1：当且仅当对于某些ER，x满足xX(E) ，在100 %置信水平下，投资组合xX属于均值-VaR边界_ _min_L[,Rx]R %定义2：当且仅当对于某些ER，X满足XX(E) ，在100%置信水平下，投资组合XX属于均值-CVaR边界

_ _min_ [,Rx]Rdnn0/定义3：当且仅当对于某些ER,x满足 xX（E） ，在100%置信水平下，投资组合xX属于均值-方差边界在方差-VaR边界的投资组合并不依赖 ，因此我们可以得出以下结论：因为Z 0，当且仅当一个投资组合属于方差 -均值边界，它属于均值-VaR边界。k0因为 ，当且仅当一个投资组合属于方差 -均值边界，它属于均值-CVaR边界。[Rx]（E[Rx]A/C）2彳21又Merton在1972年证明当且仅当x满足1/C D/C ，投资组合x属于均值-方差模型边界。其中A|T1，B 丁 1，Cr 1I，DBCA2，IRn为n维单位向量。[Rx]2（E[RX]A/C）121D/C 的投资组合同时属于均值 -VaR边界和均值那么满足1/C-CVaR边界。2,.2均值-VaR,均值-CVaR的有效前沿定义4：当且仅当没有xX使得E[R定义4：当且仅当没有xX使得E[Rx]E[Rx]V[,R]XV[一个不等式是严格的），在100%的置信水平下,投资组合xX属于均值-VaR有效前沿。E[R]E[Rx]L[,R]L[,Rx] 亠定义5：当且仅当没有xX使得xx（至少其中一个不等式是严格的），在100%的置信水平下，投资组合xX属于均值-CVaR有效前沿。X使得E[R]E[Rx][R][Rx] 亠定义6：当且仅当没有xxx（至少其中一个不等式是严格的），在100%的置信水平下，投资组合xX属于均值-方差有效前沿。2.2.1最小VaR投资组合和最小CVaR组合如果在100%置信水平下最小VaR的投资组合存在，那么他在均值 -方差有效前沿(证明：假设X是最小VaR的投资组合点，但是不在均值-方差有效前沿。由定义6,(证明：假设X是最小VaR的投资组合点，但是不在均值-方差有效前沿。由定义6,E[R。]E[R。][R。]存在投资组合点y，使得y xy叫，其中至少一个不等式是严格的。V[,R]V[从而有 y合存在，那么他在均值,R。]x，与假设矛盾。如果在-方差有效前沿。)100%置信水平下最小VaR的投资组同理，如果在100%置信水平下最小CVaR的投资组合存在,那么他在均值-方差有效前沿。XminV()在XminV()在100%置信水平下最小VaR的投资组合:在100%置信水平下方差最小的投资组合g,h是n维向量11g(1/D)[B(I)A()]h(1/D)[C( 1)A(1I)]命题1当且仅当Z■D/C，在100%置信水平下最小VaR的投资组合存在。如果z''D/C，那么XminV()h(E[Rxmin]d2/c2zD/C[Rxmin])V[ ,RxXminV()h(E[Rxmin]d2/c2zD/C[Rxmin])V[ ,RxminV()]C.Z2D/C)[Rxmin]-E[Rxmin]在选择置信水平时要慎重，因为这关系到全局最小那么最小VaR不存在。VaR是否有解。如果.D/CxminL()表示100%置信水平下最小CVaR的投资组合。当且仅当k''D/C，在100%置信水平下最小CVaR的投资组合存在。xminL()gh(E[Rxmin]d2/c2[Rxmin])kD/CL[,RxminL(D/C)L[,RxminL(D/C)叽卜E[Rxmin]kz因为k ，所以，当最小VaR投资组合点存在时，最小CVaR投资组合点也存在。但是也有可能只有最小CVaR投资组合点存在。ER ]ER]XminV(ER ]ER]XminV() XminL(在100%置信水平下最小VaR的投资组合存在时,在100%置信水平下最小CVaR的投资组合存在时，E[RXminL（）]E[R柿]。2.2.2均值-VaR均值-CVaR的特点命题2（1）如果Z'D/C，那么在100%置信水平下不存在均值-VaR有效的投资组合；zJd/C x E[Rx]E[RXi（）]如果ZD/C，当且仅当投资组合？属于均值-VaR边界并且 ？ minv（）时，投资组合X在100%置信水平下是均值-VaR有效的（2）如果kD/C，那么在100%置信水平下不存在均值-CVaR有效的投资组合；k Jd/C x E[Rx]E[RX]如果kD/C，当且仅当投资组合？属于均值-CVaR边界并且 ？ （）时，投资组合x在100%置信水平下是均值-CVaR有效的corollary2最小方差的投资组合在任何置信水平下都不是均值 -VaR有效和均值-CVaR有效corollary3如果最小VaR的投资组合在100%置信水平下存在，那么它在 100%置信水平下也是均值-CVaR有效的corollary4如果k■D/C，那么均值-VaR和均值-CVaR有效前沿是空集；如果ZD/Ck，那么均值-VaR有效前沿是空集，但是均值-CVaR有效前沿是均值-方差有效前沿的一个非空真子集；如果z'D/C,当且仅当一个投资组合x属于均值-CVaR有效前沿并且E[Rx]E[Rx.（）] x? m，那么？属于均值-VaR有效前沿，i.e.均值-VaR有效前沿是均值-VaR有效前沿的一个非空真子集总而言之，如果kD/C，置信水平low；如果z、D/Ck，置信水平moderate;如果Z•‘D/C，置信水平high3VaRCVaR限制下的投资组合选择VaR限制L Rl考虑VaR限制，rx，其中LRCVaR边界。CVaR限制依赖于两个参数：置信水平和CVaR边界Lo从而有E[Rx]k[Rx]L,在均值-标准差二维空间中，满足CVaR限制的投资组合k集合位于斜率为 ，截距为L的直线上或者上方。如果边界降低，那么截距变大；如果置信水平升高，斜率变大。CVaR限制考虑CVaR限制V，RxV，其中VRVaR边界。VaR限制依赖于两个参数：置信水平和VaR边界Vo从而有E[Rx]Z[Rx]V，为VaR限制和CVaR限制设定一个共同的置信水平 ，假设VaR和CVaR边界重合（L=V）。因为kz,我们可以得到VaR限制与CVaR限制相似，但是CVaR限制斜率更大，限制性更强。因为为了使两种限制等价，他们必须使用相同的边界（VaR和CVaR边界重，合即L=V）和不同的置信水平。对于给定置信水平 的kz|VaR限制，CVaR限制总有一个相对应的 ，其中 ，使得’。在L=V的时候CVaR限制等价于VaR限制。现在我们讨论在各种边界情况下的，在 VaR限制和CVaR限制条件下的投资组合选择。给定：如果LL[，Rxmin]，那么边界为大；如果V['Rxmin]LL[，Rxmin]，那

么边界为适中；如果V['Rxm”]L,那么边界为小3.3低置信水平3.3.1保守投资者R如果是大边界。因为无限制的最有投资组合位于 Rxmm，无论是施加VaR限制或者CVaR限制都不会改变投资组合选择。R如果是适中边界。假设无限制的最优投资组合位于 Rxmin和C点之间。那么施加VaR限制不会改变投资组合选择；但是，如果施加 CVaR限制，那么C点将会成为最优投资组合。因此，CVaR限制下的最有投资组合标准差大于 VaR限制下的最有投资组合标准差。如果是小边界。假设无限制的最优投资组合位于 Rxmin和f点之间。如果施加VaR限制，那么f会成为最优投资组合；但是，如果施加CVaR限制，那么e点将会成为最优投资组合。尽管两种限制都会增大最优组合的标准差，但是 CVaR限制下的最有投资组合标准差大于VaR限制下的最有投资组合标准差。但是如果无限制的最优投资组合位于 e和f点之间。只有施加CVaR限制才会导致保守投资者选择 e.3.3.2风险投资者R因为无限制的最有投资组合选择在 1(a)位于xmin之上，在1(b)位于c之上,在1(c)位于e之上,因此无论施加那种限制都不会改变最有投资组合选择。3.4中度置信水平

泊ndbfdlJJiviatjeI|a)Lar監RmjbJ雲fR虽泊ndbfdlJJiviatjeI|a)Lar監RmjbJ雲fR虽rdDe*^atyCEli(cj*SmallBeundSitae此rd _3.Qonibi-MoJcrawBound假设置信水平是中度的，那么存在投资组合满足VaR限制。假设L['RXminL()1?那么也存在满足CVaR限制的投资组合3.4.1保守投资者图2说明了在中度置信水平下在 CVaR或者VaR限制下的投资组合选择与低置信水平下是类似的。可是对于一个给定的边界，当最优投资组合标准差增加了， 这种增加大于在低置信水平下的增加3.4.2风险投资者假设无限制条件下最优投资组合在 g，以上，那么施加VaR限制不会改变最有投资组合选择；但是如果施加CVaR限制，那么g将会被选择成为最优投资组合。因此，在 CVaR限制下的最优投资组合标准差小于 VaR限制下的最优投资组合标准差。3.5咼置信水平EFIeicI□(VaRandCi/jACoiisirairrfxanFUS工3呈F3tMk-l._§.W』FUS工3呈F3tMk-l._§.W』GcfnMP3!左xhaSl.irduanrwutiK>nWMciifcrhli?BoundScnil«rJDtviiliDnBound律二"EsaflsStlFUJlFlivSHHiii

inILor富Bound我们假设LL['R^lo】，那么存在满足eVaR限制的投资组合。因为kZ，那么有L[,RXminL()]V[,RXminL()]V[^3()1。因此也存在满足VaR限制的投资组合。3.5.1保守投资者图3说明了在高度置信水平下在 CVaR或者VaR限制下的投资组合选择与中低置信水平下是类似的。可是对于一个给定的边界， 当最优投资组合标准差增加了， 这种增加大于在中低置信水平下的增加3.5.2风险投资者假设无限制条件下最优投资组合在 n，和o,之间，那么施加VaR限制不会改变最有投资组合选择；但是如果施加 CVaR限制，那么n，将会被选择成为最优投资组合。因此，只有CVaR限制能够降低最有投资组合的标准差， 在CVaR限制下的最优投资组合标准差小于 VaR限制下的最优投资组合标准差。假设无限制条件下的最优投资组合选择在 0,以上，如果施加VaR限制，那么0,会成为最有投资组合选择；但是如果施加CVaR限制，那么n,将会被选择成为最优投资组合。因此，在CVaR限制下的最优投资组合标准差小于VaR限制下的最优投资组合标准差。3.6CVaR边界大于VaR边界^JUndirdLkviatiC'EiInIEDikniLVjlRHcjMc!StazoudLkvklIiuhIIrlL'EtzuLijilLl^JUndirdLkviatiC'EiInIEDikniLVjlRHcjMc!StazoudLkvklIiuhIIrlL'EtzuLijilLl-4iKtl々LinJFigure1 ifVaHandCViRCunTiraiiittduHwEtficMNFrantiv^ivhvl II生巧“凸釦lh・VuRBudndUJUPEJo邑flaMz$-.£Slarkl^rdUe%ijtjur:J>Minjtrona仁*VjKU<<ind就像上边所提到的一样，当LV时，对于一个给定的置信水平,CVaR限制比VaR限制更加严格。因此，很自然的我们需要考虑 LV时的情况。与LV相比，当LV时，我们只需将均值-标准差图像中的CVaR图线整体向下滑动。361保守投资者考虑图像1（a）,2（a）,3（a）•当CVaR限制线向下滑不会改变投资者感兴趣的投资组合的集合。因此，对于大V,LV对于投资组合选择没有什么影响与之相反，考虑图像1（b）,2（b）,3（b）•与LV相比，当LV，CVaR限制可能会变得不再那么严格。如果LL[,Rxmin]，CVaR限制的最优投资这组合标准差可能大于VaR限制的，但是小于当LV时的CVaR限制标准差。如果LL['Rxmin]，那么CVaR限制的人最优投资组合标准差与 VaR限制的一样，就好像两个都没有限制作用有时候CVaR限制作用可能比VaR弱一点。假设无限制条件下的最优投资组合在 xmin和f之间（见图1（c））。如果CVaR边界大于f的CVaR,那么CVaR限制下的最有投资组合的标准差小于VaR限制下的最优投资组合标准差。总而言之，如果LV，那么CVaR限制对于保守投资者的反常作用可以得到一定程度的削弱。3.6.2风险投资者当处于低置信水平的时候，CVaR限制的向下平移不会改变投资者的最优投资组合选择。当处于中度置信水平的时候，则会出现其他的状况。当 LV时的CVaR限制作用弱于当LV。但是CVaR限制仍然比VaR限制更有作用，所以即使当 LV时，CVaR限制下的最优投资组合的标准差仍然小于 VaR限制下的最优投资组合的标准差。当处于高置信水平的时候，我们可以从图 3（a）如果CVaR边界大于0,的CVaR，那么CVaR的限制作用弱于VaR；如果CVaR边界小于0,的CVaR，那么CVaR的限制作用强于VaR。因此，CVaR限制下的最优投资组合的标准差可能小于，等于，大于 VaR限制下的最优投资组合的标准差。总之，当LV时，CVaR的限制作用有所削弱，甚至可以弱于VaR的限制作用。3.8总结总而言之，如果施加CVaR限制或者VaR限制，那么带有较小标准差或者较大标准差的有效投资组合都有可能被排除掉。因此，与施加限制之前的最优投资组合相比，限制后的最优投资组合的标准差可能会变大，变下或者不变。另外，没有一种限制，无论是 CVaR还是VaR，能够使得所有的投资者（包括风险厌恶程度不同的保守投资者，风险投资者，稳健投资者）选择比无风险限制条件下最优投资组合标准差更小的投资组合。当LV时，给定一个置信水平，CVaR限制强于VaR限制。作为保守投资工具，CVaR比VaR更加有效。可是，有时候CVaR起到反作用：它使得保守投资者选择带有更大标准差的投资组合。尽管作为风险控制工具， VaR有时也会发生这种情况，但是CVaR的反作用更大，CVaR起到反作用的情况也更多见。因此使用CVaR作为风险控制工具并不是万无一失的，也是有代价的。当LV时，上面提到的反作用会得到一定的削弱。另外，4（b）中的例子说明，相比较于VaR限制下投资组合的标准差，CVaR有时可以同时使得保守投资者和风险投资者选择带有更小标准差的投资组合。4限制下的最优投资组合的标准差

在这一章，我们不需要假设分析性的表述在不同的限制下的最优投资组合的标准差的差异。在这一章，我们不需要假设LV。4.1低置信水平k2DTC{k(Lk2DTC{k(LA/C)..D/C2[C(LA/C)2(k2 D/C)]}当处于低置信水平时，图1中均值-方差边界上和VaR限制有唯一的交点。它的标准差是1V=z2D/C{z(VA/C).D/C2[C(VA/C)2(z2D/C)]}均值-方差边界上和CVaR限制有唯一的交点。它的标准差是1D/C{z(VA/C)、D/C2[C(VA/C)21D/C{z(VA/C)、D/C2[C(VA/C)2(z2D/C)]}但是，均值-方差边界上和CVaR限制有两个交点。它的标准差是k2^{k(LA/C) D/C2[C(LA/C)2(k2D/C)]}k2航{k(LA/C),D/C2[C(LA/C)2(k2D/C)]}假设V作为焦点，对于保守投资者，那么限制下的最有投资组合的相对差异为4.2中度置信水平当处于中度置信水平时，图2中均值-方差边界上和VaR限制有唯一的交点。它的标准差是当处于中度置信水平时，图假设V作为焦点，对于保守投资者，那么限制下的最有投资组合的相对差异为4.3高置信水平当处于高置信水平时，图3中均值-方差边界上和VaR限制有两个交点。它的标准差是V=^T^{z(VA/C)^D/C2[C(Va/C)2(z2D/C)]}

D/C{z(VA/C).D/C2[C(VA/C)2(z2D/C{z(VA/C).D/C2[C(VA/C)2(z2D/C)]}均值-方差边界上和CVaR限制有两个交点。它的标准差是(LA/C).D/C2[C(LA/C)2(k2 D/C)]}k2D/C{k(LA/C).D/C2[C(LA/C)2(k2D/C)]}假设v作为焦点，对于风险投资者，那么限制下的最有投资组合的相对差异为V假设 作为焦点，对于风险投资者，那么限制下的最有投资组合的相V对差异为4.4CVaR限制的使用现在我们来探究如何设定CVaR边界使得CVaR限制能够支配VaR限制。4.4.1最小CVaR边界首先，设定CVaR边界使得对于保守投资者来说，CVaR限制作用如同VaR限制。举个例子来说，当处于高置信水平时，需要找到合适的CVaR边界值使得CVaR相交于VaR与最小期望回报率的投资组合即VaR限制与有效边界的交点。这个边界可以如下给出：LkvA/C.D/C(v21/C)图4(c)给出了边界为L的CVaR限制作用下的投资组合选择。首先，假设保守投资者在无限制下的最优投资组合在 y和m之间。无论施加那种限制，y都是最优的投资组合选择。然后，假设风险投资者在无限制条件下的最优投资组合在 丫和z之间。如果施加VaR限制，那么最优投资组合不会改变，但是，如果施加 CVaR限制，那么y将会成为最优投资组合。因此CVaR限制下的最优投资组合标准差小于 VaR限制下的最优投资组合标准差。最后，假设风险投资者在无限制条件下的最优投资组合 z之上。如果施加VaR限制，那么z将会成为最优投资组合，但是，如果施加 CVaR限制，那么y将会成为最优投资组合。因此CVaR限制下的最优投资组合标准差小于 VaR限制下的最优投资组合标准差。4.4.2最大CVaR边界

首先，设定CVaR边界使得对于风险投资者来说，CVaR限制作用如同VaR限制。需要找到合适的CVaR边界值使得CVaR相交于VaR与最大期望回报率的投资组合即VaR限制与有效边界的交点。这个边界可以如下给出:vA/CD/C(vA/CD/C(v1/C)图4(a)给出了边界为L的CVaR限制作用下的投资组合选择。首先，假设保守投资者在无限制的条件下的最优投资这组合位于u和m之间。如果施加VaR限制，那么u将会成为最优投资组合；如果施加CVaR限制，那么最优投资组合不变。因此CVaR限制下的最优投资组合标准差小于VaR限制下的最优投资组合标准差。然后，考虑风险投资者在无条件限制的情况下最优投资组合在 u，之上，无论哪种限制都会选择u,作为最优投资组合选择。4.4.3总结当CVaR边界适当的大一些使得VLLL，那么在部分的情况下，CVaR限制下的最优投资组合标准差小于 VaR限制下的最优投资组合标准差。假设在意识到以下的平衡点时施加 VaR限制：1设定的小VaR边界能够有效地控制保守投资但是对于风险投资有反作用；2设定的大VaR边界不能够有效地控制保守投资但是对于风险投资有反作用也不明显；因此假设设定 VaR边界为一个中间值，我们已经看到 CVaR限制能够支配VaR限制使得对于保守投资者和风险投资者都有 CVaR限制下的最优投资组合标准差小于VaR限制下的最优投资组合标准差。因此，只有 CVaR边界适当的比VaR边界大一些，作为风险控制工具， CVaR可以比VaR更加有效。5增加无风险债券Figura6EHeddIUa>R星厨ClfaRCanxlramlionlheEKcieitFiiHlierwIibhFigura6EHeddIUa>R星厨ClfaRCanxlramlionlheEKcieitFiiHlierwIibhThereliaRisk-FfHSecuviLfStjhdjrJD^'iuluinib)MrdcrstctdciKcLevelSuikiindDaiuMm(c)Hight<HifidcTK€Level假设现有一回报率为Rf的无风险债券。投资组合定义为X假设现有一回报率为Rf的无风险债券。投资组合定义为Xf{xRn1jlXj1}，其中Xn1表示资产投资于无风险债券的比例。5.1均值-VaR和均值-CVaR的边界和有效前沿假设RfA/C或者说在没有无风险债券的情况下临界投资组合位于最小方差投资组合之上。Merton证明了当且仅当x满足[Rx]{E[Rx]R[Rx]{E[Rx]RfifE[Rx]E[R<]RfifE[Rx]RfRf时,xXf属于均值-方差边界。其中HCRf2ARfB是一个正常值。-方差边界时，它才属于均值-VaR边界。--方差边界时，它才属于均值-VaR边界。-方差边界时，它才属于均值-CVaR边界。k0因为 ，所以当且仅当一个投资组合属于均值以下是均值-VaR有效性的特征：proposition3:1如果ZH，那么在100%的置信水平下不存在均值-VaR有效地投资组合；2ZH，那么在100%的置信水平下当且仅当一个投资组合属于均值 -方差有效前沿时它才属于均值-VaR有效前沿同理1如果k'H，那么在100%的置信水平下不存在均值-CVaR有效地投资组合；2kH，那么在100%的置信水平下当且仅当一个投资组合属于均值 -方差有效前沿时它才属于均值-CVaR有效前沿corollary5:1如果k'H，那么均值-VaR和均值-CVaR有效前沿是空集；2如果k'HZ，那么均值-VaR的有效前沿是空集，但是均值-CVaR有效前沿与均值-方差有效前沿重合;

3如果'HZ3如果'HZ,那么均值-VaR和均值-CVaR有效前沿与均值-方差有效前沿重合;kH，那么置信水平是低的；如果在存在无风险债券的情况下：如果kHz那么置信水平是适中的；如果 'Hz，那么置信水平是高的5.2在VaRCVaR限制下的投资组合选择Rf假设一个投资机构面对VaR和CVaRRf择和VaRCVaR限制下的最优投资组合选择。假设5.2.1低置信水平因