高中数学三角恒等变换与三角函数的化简求值

高中数学三角恒等变换与三角函数的化简求值

cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ).2.三角函数的求值(1)利用基本三角函数值和公式进行推导和化简；(2)利用同角变形、诱导公式等将未知角度转化为已知角度的三角函数值；(3)利用反三角函数求解未知角度的值；(4)利用三角函数图像和性质进行判断和推导；(5)利用三角函数的周期性和对称性进行化简和求值.在解题过程中，要注意选择合适的公式和方法，灵活运用，注意精度和符号问题，避免常见的计算错误.探究提高：化简三角函数式需要遵循“三看”原则，即先看角度，再看函数名，最后看式子结构和特征。化简时要注意观察条件中角度之间的联系，如和、差、倍、互余、互补等，并寻找与三角函数公式相似的特征。训练1：(1)根据题目中的公式，将已知的数值代入原式中计算，最终得出结果为-1。(2)根据已知条件，利用三角函数公式将cos2α转化为sin4α/3，再代入原式计算得出sin2α的值为-18/17。热点二：三角函数的求值，即求解给定角度下三角函数的具体数值。对于给定的问题，需要根据已知条件利用三角函数公式进行推导和计算，得出最终的结果。例2：(1)根据已知条件，利用三角函数公式将sinα转化为cos2α，最终得出cos2α的值为9/2。(2)根据已知条件，利用三角函数公式将sin(α+β)转化为cosαsinβ+sinαcosβ，结合cosα和sin(α+β)的值，得出cosβ的值为11/14。(3)根据已知条件，利用三角函数公式将tan(α-β)转化为(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)，结合tanβ的值，可以求出tanα的值。再利用tan(2α-β)的公式，结合已知条件求解出2α-β的值。-3/5，求角β的大小。解析：①终边过点P，可以得到三角形OAP，根据勾股定理可求得OP的长度为4。又因为角α的终边过x轴非负半轴，所以sinα=AP/OP=3/4，根据周期性可得sin(α+π)=-sinα=-3/4。②根据三角函数的定义可得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，代入已知条件可得3/4cosβ-4/5sinβ=-3/5，化简得15cosβ-16sinβ=-12。两边同时除以根号(15^2+16^2)得cosφ=-15/17，sinφ=-16/17，其中φ=β-arcsin(-3/4)。代入可得β=arctan(-16/15)+arcsin(-3/4)。1.对于三角函数的求值，需要注意以下几点：首先要寻找角与角关系的特殊性，将非特殊角化为特殊角，并熟练准确地应用公式；其次要注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；最后对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可以利用分析法。2.对于三角恒等变换的应用问题，可以运用化归思想和整体代换思想解决问题。例如，讨论形如y=asinωx+bcosωx函数的性质，可以先化为y=a√(b^2+c^2)sin(ωx+φ)型的函数。1.计算tan12°-3=(4cos^2(12°)-2)sin(12°)/(sin(12°)-3cos(12°)^2)-2sin(48°)=-42.已知函数f(x)=2cos^2(x)-sin^2(x)+2，则f(x)的最大值为4。解析：易知f(x)=2cos^2(x)-sin^2(x)+2=3cos^2(x)+1=3/2+1/2cos(2x)，当cos(2x)=1时，f(x)取得最大值，最大值为4。sin2x＝2sin(x+π/4)的周期为π/2，因此f(x)的最小正周期为π/2。解(2)由于f(x)＝sin2x＋3sinxcosx＝2sinx(cosx+3/2)，所以f(x)的最大值为2|cos(x+π/2)|=2|sinx|。由于f(x)在区间[-π/3,m]上的最大值为2