湖北省武汉市实验学校2022年高三数学理期末试题含解析

湖北省武汉市实验学校2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C2.设P为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）上且在第一象限内的点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，PF2⊥F1F2，x轴上有一点A且AP⊥PF1，E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M．若|PM|=2|MF2|，则双曲线的离心率是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出A的横坐标，利用E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M，|PM|=2|MF2|，得出3c=，即可得出结论．【解答】解：由题意，P（c，），∴=，∴直线PA的方程为y﹣=﹣（x﹣c），令y=0，可得x=，∵E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M，|PM|=2|MF2|，∴3c=，∴e4﹣6e2+1=0，∵e＞1，∴e=1+，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查中等坐标的运用，属于中档题．3.设集合，.则=A．(-3，-2]

B．[-2，-1)

C．[-1，2)

D．[2，3)参考答案：C4.若实数x，y满足，则目标函数的最小值为

A．2 B．0 C．5 D．参考答案：D如图：当时，即时故选

5.某几何体的三视图如图所示，则其体积为A．4 B．8 C．12 D．24参考答案：A由三视图可知：该几何体为四棱锥,由体积公式易得故选A．

6.执行如图的程序框图，如果输入的的值是6，那么输出的的值是

A．15

B．105

C．120

D．720参考答案：B7.要得到函数的图像，只需将的图像（

）A.向左平移个单位

B.向右平移个单位C.向左平移个单位

D.向右平移个单位参考答案：A8.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A.

B.

C.

D.参考答案：C因为C在平面ABD上的投影为BD的中点O，在边长为1的正方形ABCD中，AO＝CO＝AC＝，所以侧视图的面积等于S△AOC＝CO·AO＝××＝.9.已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上且满足,则动点的轨迹长度为

A．

B．

C．

D．

参考答案：B10.如果函数y=2cos（3x+φ）的图象关于点成中心对称，那么|φ|的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】余弦函数的对称性．【分析】利用余弦函数的图象的对称性，求得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=2cos（3x+φ）的图象关于点成中心对称，∴3?+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，k∈Z，故么|φ|的最小值为，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.二项式展开式中，系数为60．则实数的值为_____________。参考答案：±212.已知向量（3，1），（1，3），（，7），若∥，则

。参考答案：5由已知，（1，3），

因为∥，所以，解得。13.若x，y满足约束条件，则的最小值为_____参考答案：6【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图阴影所示，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时直线在y轴上的截距最小，z最小，联立得A（2,2），故z的最小值为6故答案为6【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.若函数，则

.参考答案：150略15.正四棱锥的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则这个球的表面积为_________.参考答案：16.若函数f(x)=(3－a)x与g(x)=logax的增减性相同，则实数a的取值范围是_________．参考答案：略17.复数，，则实部的最大值__________，虚部的最大值__________．参考答案：，∵，，∴，∴的实部为，∴实部的最大值为，的虚部为，∴虚部的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，即可求圆C的直角坐标方程；（II）设A、B点所对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入圆C的方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，?∴x2+y2=2y，∴圆C的直角坐标方程为，x2+y2﹣2y=0（II）设A、B点所对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入圆C的方程则t1，t2是下面方程的根（3+t）2+（+t）2﹣2（+t）=0整理得，t2+3t+4=0所以，t1+t2=﹣3，t1t2=4（t1，t2同号）∵直线l过P（3，）∴根据t的几何意义可知|PA|=|t1|，|PB|=|t2|∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=319.如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E、F分别为AB，SC的中点.（1）证明：EF∥平面SAD.（2）若，求二面角的正弦值.参考答案：（1）证明见解析（2）【分析】（1）记的中点为，连接，，通过证明，且推出四边形为平行四边形，则，由线线平行推出线面平行；（2）以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，代入即可求得二面角的余弦值从而求正弦值.【详解】（1）证明：记的中点为，连接，.因为分别为的中点，则，且.因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，则.又平面，平面，所以平面.（2）以为原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量，则令，则.设平面的法向量为，则令，则.，设二面角为，则，即二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20.在直角坐标系xOy中，曲线C1:（为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线．其中为直线l的倾斜角（）（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与x轴的交点为M，与曲线C1的交点分别为A，B，求的值.参考答案：（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为；（2）直线与轴的交点为，直线的参数方程可设为（为参数），将直线的参数方程代入圆的方程，得，；解法2：相交弦定理21.(本小题满分12分)在四棱锥P-ABCD中，，.(Ⅰ)若点E为PC的中点，求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)当平面PBD⊥平面ABCD时，求二面角C-PD-B的余弦值.

参考答案：(Ⅰ)取的中点为，连结，.由已知得，为等边三角形，.∵，，∴，∴，∴.又∵平面，平面，∴∥平面.∵为的中点，为的中点，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.∵，∴平面∥平面.∵平面，∴∥平面.

…………5分

(Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.∵平面平面，，∴平面，，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，，∴，∵，，∴.令，得，∴，∴.设二面角的大小为，则.………12分

22.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，点M、N分别为A1B和B1C1的中点．(1)证明：A1M⊥平面MAC；(2)求三棱锥A－CMA1的体积；参考答案：(1)在Rt△BAC中，BC＝＝＝在Rt△A1AC中，A1C＝＝＝.∴BC＝A1C，即△A1CB为等腰三角形