人教版高中数学必修一131单调性与最大(小)值课件

1.3.1单调性与最大（小）值

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函数是描述事物运动变化规律的数学模型，了解函数的变化规律势在必得。观察下面函数的图象，能说出它们的变化规律吗？xy02-22-2xy022-2-2问题1画出f(x)=x的图像，并观察其图像。2、在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着______.o5-5-55f(x)=x1、从左至右图象上升还是下降

____?上升增大1、在区间________上，f(x)的值随着x的增大而______.问题2画出的图像，并观察图像.o5-5-552、在区间________

上，f(x)的值随着x的增大而_____.(-∞,0](0,+∞)减小增大对区间I内x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)图象在区间I逐渐上升？OxIy区间I内随着x的增大，y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间I内x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)xx1x2？Iyf(x1)f(x2)OMN任意区间I内随着x的增大，y也增大图象在区间I逐渐上升对区间I内x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)xx1x2都yf(x1)f(x2)O设函数y=f(x)的定义域为D,区间ID.如果对于区间I上的任意当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<定义MN任意两个自变量的值x1,x2，I称为f(x)的单调增区间.

那么就说f(x)在区间I上是单调增函数，区间I内随着x的增大，y也增大图象在区间I逐渐上升I函数单调性的概念：

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,如图1.1．增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2

，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)

，那么就说f(x)在区间D上是减函数

,如图2.yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图1yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)图2

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.函数的单调性定义例1下图是定义在区间[-4,5]上的函数y=f(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？12345-1-2-3-4-2-323o解：函数y=f(x)的单调区间有[-4，-2)，[-2，-1)，[-1，1)，[1，3)，[3，5],其中y=f(x)在区间[-4，-2)，[-1，1)，[3，5]上是增函数，在区间[-2，-1)，[1，3)上是减函数.例2.证明函数f(x)=1/x+x在（1，2）是增函数思考1.若区间改成(1,+∞)结果变吗？

2.若把解析式改成f(x)=a/x+x有什么结论？练习.求证函数在区间上是单调增函数．，则证明：在区间（0，+∞）上任取两个值且又因为，，所以说

即函数在区间（0，+∞）上是单调增函数.探究画出反比例函数的图象．

1这个函数的定义域是什么？

2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．xy0{x∣x≠0}分两个区间(0，+∞)，（-∞，0）来考虑其单调性.下列两个函数的图象：图1ox0xMyyxox0图2M观察

观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？思考

结束认真学习积极思考

设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？思考f(x)<Mƒ(0)=1O122、存在0，使得ƒ(0)=1.1、对任意的都有ƒ(x)≤1.1是此函数的最大值知识要点M是函数y=f(x)的最大值（maximumvalue）：

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在，使得.

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足：（1）对于任意的的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在 ，使得，那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimunvalue）.

能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？思考

函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？思考是

如果在函数f(x)定义域内存在x1和x2，使对定义域内任意x都有成立，由此你能得到什么结论？如果函数f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函数f(x)的值域是[a，b]吗？思考函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.探究:函数单调性与函数的最值的关系（1）若函数y=f(x)在区间[m，n](m<n)上单调递增，则函数y=f(x)的最值是什么？Oxy

当x=m时，f(x)有最小值f(m)，当x=n时,f(x)有最大值f(n).(2)若函数y=f(x)在区间[m，n]上单调递减，则函数y=f(x)的最值是什么？Oxy

当x=m时，f(x)有最大值f(m)，当x=n时，f(x)有最小值f(n).(3)若函数则函数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是什么？Oxy最大值f(l)=h，有最小值f(m),f(n)中较小者.解：做出函数的图像。显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.oth43215101520由二次函数的知识，对于函数，我们有当时，函数有最大值

所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距离地面的高度约为29m.例5已知函数，求函数的最大值与最小.

分析：由函数的图象可知道，此函数在[3，5]上递减。所以在区间[3，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值.

解：设是区间[3，5]上的任意两个实数，且，则由于得于是即所以，此函数在区间[3,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值即在x=3时取得最大值是1，在x=5时取得最小值为0.5.

课堂小结2、函数单调性的定义；3、证明函数单调性的步骤；1、单调函数的图象特征；4、函数的最值：最大值最小值5、函数的最值的求法（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值;（2）利用图象求函数的最值;（3）利用函数单调性求函数的最值.

高考链接

课堂练习1.填表函数单调区间k>0k<0k>0k<0增函数减函数减函数增函数单调性函数单调区间单调性增函数增函数减函数减函数最大0.50.2-25.设b>1为常数，如果当x∈[1,b]时，函数的值域也是[1,b],求b的值.xy011解：因为所以f(x)在x=1时取得最小值为1，又因为x∈[1,b]，由f(x)的图像可知道在区间[1,b]上是递增的，所以得b=3或b=-1，因为b>1，所以说b=3.

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