三元一次方程组的解法全国一等奖

三元一次方程组的解法【教学目标】1．通过教学三元一次方程组，培养学生的运算能力、推理能力。2．了解三元一次方程组的定义；3．掌握三元一次方程组的解法。【教学重难点】重点：三元一次方程组的解法难点：三元一次方程组的解法过程中的方法选择【课时设计】2课时【第一课时】【教学过程】（一）课前设计一、预习任务阅读教材，思考：什么是三元一次方程什么是三元一次方程组解三元一次方程组的步骤是二、预习自测1．下列方程，是三元一次方程的是（D）A.x3+2x2+3x-7=0B.3x2+y=5C．1C．—+2y+z=4D.x一y—z=2nx2.下列方程组中，是三元一次方程组的是（B）'x-2y=3,卜+2y=5,A.<x+2y=7,B.<3x+z=7,2x+y=73y-3z=6cx+-—z=3,c/yx+y+z=5,C.<x一2y+z=5,D.<x一y=6,3x-y+z=4y-a+b=7.一,3x—y+3z=3.3.解方程组^一要使运算简便，消元应选（B）<—4x+y+2z=11,5x+y+7zA.先消C.先消A.先消C.先消D.先消常数项（二）课堂设计1．知识回顾（1）解二元一次方程组的基本思想：消元思想；（2）解二元一次方程组的常见消元方法：（3）代入消元法；（4）加减消元法。2．问题探究探究1：认识三元一次方程组小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍。求1元、2元、5元的纸币各多少张设1元、2元、5元的纸币分别是x张、y张、z张，根据题意可以得到下列三个方程：三元一次方程组：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。探究2：如何解三元一次方程组二元一次方程组可以利用法或法消去一个未知数，化成方程求解。那么能否用同样的思路，消

去三元一次方程组的一个或两个未知数，把它转化成二元一次方程组或一元一次方程呢观察方程组：

x+y+z=12①<x+2y+5z=22②

x=4y③仿照前面学过的代入法，可以把③分别带入①②，得到两个只暂，的方程:4y+y+=124y+2y+5=22即；5y+"12[6y+5z=22得到二元一次方程组后就不难求出y和的值，进而可以求出了。【典例剖析】3x+4y+z=14,①解方程组<x+5y+2z=17,②2x+2y—z=3;③.___15x+6y=17,解：由①③，②2义③消去得17解：[5x+9y=23.解得,解得,代入①得=3.即原方程组的解为[；：2,z：3.三、课堂总结【知识梳理】解三元一次方程组的基本思路是：通过“”或“”进行消元，把“”转化为“”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。【重难点突破】解三元一次方程组时，确定消元对象的方法：当方程组中有二元的方程时，则让另外两方程相加、减消去第一个方程中不含的未知数，从而化三元为二元；当方程组中的三个方程均有三个未知数时，则观察三个未知数的系数，一般选择系数较为简单的未知数作为消元对象。解三元一次方程组的技巧：对具有特殊形式的三元一次方程组，通常将三个方程同时进行适当变形。四、随堂检测5x+4y+z：0,①1.将三元一次方程组卜x+y-4z：11,②经过步骤①-③和③义4+②消去未知数后，得到的二x+y+z：-2③元一次方程组是A(4x+3y：2(4x+3y：2J3x+4y：2J3x+4y：2•[7x+5y：3•[23x+17y：11*[7x+5y：3>[23x+17y：11知识点：解三元一次方程组.已知方程组尸+2y=k，的解满足y=3,则的值为B[2x+y：1A.10B.8C.2d.-8知识点：解三元一次方程组‘2x+y：7,.由方程组[2y+z：8,可以得到x+y+z的值等于A2z+x：9,A.8B.9C.10D.11知识点：解三元一次方程组4.解下列三元一次方程组：TOC\o"1-5"\h\z‘2x+y=4,①卜:y=1:5①1k+3z=1,②2卜:z=2:3②x+y+z=7；③x+y+z=27③IL知识点：解三元一次方程组解：1由①，得y=4-2。④由②，得二匚。⑤3把④、⑤代入③，得4-2上/=7.解得=-2.所以y=8,=1.……J-所以原方程组的解为b=8,z=1.2由①，得y=5。④由②，得=3y=15。⑤22把④、⑤代入③，得515=27.解得=2.2所以y=10,=15.…E、工/…J=2，所以原方程组的解为卜=10,z=15.【第二课时】【教学过程】（一）课前设计一、预习任务阅读教材，思考：运用三元一次方程组解决实际问题的关键是什么一般步骤是什么二、预习自测.下列方程，是三元一次方程的是（D）A.x3+2x2+3x-7=0B.3x2+y=5-1C.—+2y+z=4D.x-y-z=2nx2.下列方程组中，是三元一次方程组的是（B）x-2y=3,x+2y=5,A.<x+2y=7,B.<3x+z=7,2x+y=72y—3z=6

1cx+y+z=5,<x-y-6,x+y+z=5,<x-y-6,y-a+b-7C．<x-2y+z-5,D.C．3x-y+z-43.解方程组31-y+3；=3'「要使运算简便，消元应选（B）〈-4x+y+2z-11,5x+y+7zA.先消B.先消yC.先消D.先消常数项（二）课堂设计.知识回顾（1）解三元一次方程组的基本思路是什么消元（2）采用哪些方法进行消元加减消元法、代入消元法.问题探究【探究一】三元一次方程组解决非负数问题例1若|a—b一1|+b-2a+c2+|2c—b|=0,求a,b,c的值。【知识点：解三元一次方程组】解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0|a-b-1=0|a--3可得方程组｛b-2a+c=0，解得\b--42c-b-0[c=-2方法总结：非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解。【探究二】利用三元一次方程组求数字问题例2一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的错误!，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数。【知识点：三元一次方程组的应用】解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为，》,则原三位数可表示为100+10y+。解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为、y、。由题意，100z+由题意，100z+10y+x=100x+10y+z+495解得Ix-6z-8答：原三位数是368．方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数。如果一个两位数的十位上的数字为。,个位上的数字为b，那么这个两位数可表示为10a+B.如果一个三位数的百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，那么这个三位数可表示为100a+10b+c，依此类推。【探究三】列三元一次方程组解决实际问题例3某汽车在相距70m的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山。该汽车从甲地到乙地需要2.5h,而从乙地到甲地需要2.3h。假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30m、20m、40m，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少【知识点：三元一次方程组的应用】解析：题中有三个等量关系：上坡路长度+平路长度+下坡路长度=70m；从甲地到乙地的过程中，上坡时间+平路时间+下坡时间=2.5h；从乙地到甲地的过程中，上坡时间+平路时间+下坡时间=2.3h。解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是m,ym和m。由题意，得，上+上+—=2.5,203040三+上+上=2.3〔203040答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12m,平路是54m,下坡路是4m。方法总结：解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段。三、课堂总结【知识梳理】应用列三元一次方程组步骤消元消元元一次方程组元一次方程次

方

程

屋组?

应用列三元一次方程组步骤消元消元元一次方程组元一次方程次

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就要

四解法、十,解应用题、口工、一

方程组解决实际问题方法1审：弄清题意，找出已知量、未知量及三个等量关系；2设：设出三个未知数；3歹U：根据等量关系列出三元一次方程组；4解：解所列的三元一次方程组，求出未知数的值；5答：写出答案在解决实际问题时,若未知量较多，要考虑设三个未知数,但同时应注意，设几个未知数找到几个等量关系列几个方程。随堂检测1.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60.求a,b,c的值。【知识点：解三元一次方程组】解：将，y带入可得：②-①=3a3b=3③-②=21a3b=57所以：18a=54解得：<b二-2c=-52.若|2y-512y3-1323-102=0,试求，y,的值。【知识点：解三元一次方程组】lx+2y-51>0解：<(2y+3z-13)2>0、(3-10)2>0x+2y-5=0①所以，2y+3z-13=0②女+x-10=0③①②③得：x+2y+3z=14④④-②得：=1④-③得：y=2④-①得：=3x二1则卜=2、z=3所以，y，的值分别为1，2,3.3.甲、乙、丙三个数的和是35,甲数的2倍比乙数大5,乙数的三分之一等于丙数的二分之一。求这三个数。【知识点：三元一次方程组的应用】解：设甲数为，乙数为y,丙数为，由题意，得x+y+z=35<2x-y=5y=z-[32解