云南省曲靖市罗平县富乐第一中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析

云南省曲靖市罗平县富乐第一中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a、b都是非零实数，则等式的成立的充要条件是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派方法种数是(

)A.70

B.140

C.420

D.840参考答案：答案：C

3.已知等比数列的前项和为则的值为

A．

B．

C．

D．参考答案：A4.函数的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】求出函数的零点个数，图象所过象限及极限值，利用排除法，可得答案．【解答】解：令函数=0，则x=0，或x=，即函数有两个零点，故排除B；当0＜x＜时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C；由=0，可排除D，故选：A5.正四面体ABCD的棱长为4，E为棱AB的中点，过E作此正四面体的外接球的截面，则截面面积的最小值是（）A．4π B．8π C．12π D．16π参考答案：A【考点】LR：球内接多面体．【分析】根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R，当球心O到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．【解答】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为2，可得外接球半径R满足2R=2×，R=．E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当球心O到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r=．得到截面圆的面积最小值为S=πr2=4π．故选：A．6.已知圆，点，A，B两点关于x轴对称．若圆C上存在点M，使得，则当m取得最大值时，点M的坐标是A．

B．

C．

D．参考答案：C由题得圆的方程为设由于，所以由于表示圆C上的点到原点距离的平方，所以连接OC，并延长和圆C相交，交点即为M，此时最大，m也最大.故选C.

7.已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么?UP＝()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)参考答案：D略8.已知复数z的共轭复数为，若||=4，则z?=(

) A．4 B．2 C．16 D．±2参考答案：C考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：先设出复数z=a+bi（a、b∈R），再求出共轭复数，由已知||=4，则z?的答案可求．解答： 解：设则=a﹣bi，∵||=，∴z?=（a+bi）?（a﹣bi）=a2+b2=42=16．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念及共轭复数的求法，是基础题．9.在等差数列中，已知，则该数列前11项和

A．58

B．88

C．143

D．176参考答案：B略10.已知集合A={x|－l≤x≤3}，集合B=|x|log2x<2}，则AB=

A．{x|1≤x≤3}

B．{x|－1≤x≤3}

C．{x|0<x≤3}

D．{x|－1≤x<0}参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知则的值为

.参考答案：3略12.执行如图所示的程序框图，若输入的a、b的值分别为、4，则输出a的值为

参考答案：1613.已知数列{an}中，a1=2，且，则其前9项的和S9=．参考答案：1022【考点】数列的求和．【分析】由题意整理可得：an+1=2an，则数列{an}以2为首项，以2为公比的等比数列，利用等比数列的前n项和公式，即可求得S9．【解答】解：由题意可知an+12=4an（an+1﹣an），则an+12=4（anan+1﹣an2），an+12﹣4anan+1+4an2=0整理得：（an+1﹣2an）2=0，则an+1=2an，∴数列{an}以2为首项，以2为公比的等比数列，则前9项的和S9===1022，故答案为：1022．14.（5分）如果y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题：①函数y=sinx具有“P（a）性质”；②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f（2015）=1；③若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，且函数y=g（x）对?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|成立，则函数y=g（x）是周期函数．其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．参考答案：①③④【考点】：函数的周期性；抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：①运用诱导公式证明sin（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x）；②根据奇函数，周期性定义得出f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=f（x）；③根据解析式得出f（x+4）=f（﹣x），f（x）关于x=2对称，即f（2﹣x）=f（2+x），f（x）为偶函数，根题意得出图象也关于点（﹣1，0）成中心对称，且在（﹣2，﹣1）上单调递减，利用偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增；④利用定义式对称f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x），推论得出f（x）为偶函数，且周期为3；解：①∵sin（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x），∴函数y=sinx具有“P（a）性质”；∴①正确②∵若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），周期为4，∵f（1）=1，f（2015）=f（3）=﹣f（1）=﹣1，∴②不正确，③∵若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，∴f（x+4）=f（﹣x），∴f（x）关于x=2对称，即f（2﹣x）=f（2+x），∵图象关于点（1，0）成中心对称，∴f（2﹣x）=﹣f（x），即f（2+x）=﹣f（﹣x），∴得出：f（x）=f（﹣x），f（x）为偶函数，∵图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，∴图象也关于点（﹣1，0）成中心对称，且在（﹣2，﹣1）上单调递减，根据偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增；故③正确．④∵“P（0）性质”和“P（3）性质”，∴f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数，且周期为3，故④正确．故答案为：①③④．【点评】：本题考查了新概念的题目，函数的对称周期性，主要运用抽象函数性质判断，难度较大，特别是第3个选项，仔细推证．15.【题文】13设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为__________.参考答案：4略16.函数在区间上不单调，则实数的范围是

.参考答案：17.如图，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有

▲

种．

参考答案：13三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）

如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为边的中点，与平面所成的角为，且，.(Ⅰ)求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小.参考答案：解析：证明：（Ⅰ）因为底面，所以是与平面所成的角，由已知，所以.易求得，,又因为，所以,所以.因为底面，平面,所以.

由于，所以平面.………………6分（Ⅱ）设为中点.连结，由于底面，且平面，则平面平面.因为，所以平面.过作，垂足为，连结，由三垂线定理可知，所以是二面角的平面角.容易证明∽，则，因为，，，所以.在中，因为，所以，所以二面角的大小为.………………13分解法二:因为底面，所以是与平面所成的角，由已知，所以.建立空间直角坐标系（如图）.由已知，为中点.于是、、、、.（Ⅰ）易求得，，.因为,,所以，.因为，所以平面.………………6分（Ⅱ）设平面的法向量为，由

得

解得，所以.因为平面，所以是平面的法向量，易得.所以.所以二面角的大小为.………………13分19.已知函数.若在上是单调递增函数，求的取值范围；设，当时，若，且，求证：.参考答案：在上是单调递增函数,在上，恒成立，即：设，当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，，即.方法一：因为，所以，所以在上为增函数，因为，即，同号，所以不妨设,设，…8分所以，因为，，所以，所以在上为增函数，所以，所以，所以，所以，即.方法二：

，设

，则，在上递增且令，设,

，，，在上递增，，，令

即：

又，即：在上递增，即：得证.20.2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值.(结论不要求证明)参考答案：(Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，；(Ⅲ)4【分析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ)的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为，故，解得答案.【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：万人.(Ⅱ)8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，的可能取值为：.，，.故分布列为：

.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为，故，故.故的最小值为4.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.本小题满分12分）如图，已知平面，等腰直角三角形中，，于，于.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.参考答案：（Ⅰ）证明：因为，所以,又,所以,从而．……2分又,,所以,得，……4分又,所以，∴

……6分（Ⅱ）过点作∥,则平面,如图所示，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．

……7分设，则,因为，是平面的一个法向量，∴向量所成的角的余弦值的绝对值为，……9分又则，解得∴

……12分22.某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：类

别分值区间女性用户频数2040805010男性用户频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取2名用户，求2名用户评分小于90分的概率.参考答案：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下