九年级数学第一次月考之勾股定理与全等三角形结合的压轴题（附答案解析）

第一次月考重难点特训（二）之勾股定理与全等三角形结合的压轴题

官【重难点题型】

1.（2023・全国・九年级专题练习）综合与实践.

勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家,

也有业余数学爱好者.

BC

图2

（1）我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽

弦图在RtZ\ABC中，ZACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形说明+从=/.

（2）业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的RlZSABC和RtD4£按如图2

所示的方式放置，ZDAB=ZB=90°,AB=AD=c,BC=AE=a,AC=DE=b.请你利用这个图形说

明c?+<?=/.（提示：连接EC,CD）

2.（2023春•八年级课时练习）如图（1）A5C和DEF为两个全等的等边三角形，边BC和E尸的中点重

合与点。，直线CF交直线AO于点G.

备用图

（1）求证：AG1CG；

(2)若AG=CG,是判断。4、OG、0C的数量关系;

(3)若AB=2,请直接写出BG的最小值.

3.(2023秋•河南南阳•八年级统考期末)我们把“同一图形的面积,用两种不同的方法求出的结果相等，从

而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法

图②图③

(1)通过如图①中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：；

(2)“面积法”还可以作为几何证明的工具，当两个全等的直角三角形摆放成如图②所示时，其中ND48=90。,

借助图中辅助线用两种不同方法表示四边形的面积，易得：5AACD+SAAflC=；S^ADB+SAlxll=

，构建等式整理可得：/+〃2=。2；

(3)如图③，在ABC中，AB=AC=13,BC=IO,P为边BC上的任一点，过点P作月加3,PN上AC,

垂足分别为M、N,连接AP,利用“面积法”求PM+PN的值.

4.(2023秋•河北石家庄•八年级石家庄市第二十二中学校考期末)【阅读材料】小高同学发现这样一个规律：

两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等

的三角形，小高把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形

BD

【材料理解】

⑴如图1,在“手拉手”图形中，小高发现若=AB=AC,AD=AE,则△AB恒△ACE,请

证明小高的发现.

【深入探究】

（2）如图2,ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD^AE,试探索线段C。，BD,A。之间满足的等量关系，

并证明结论；

【延伸应用】

（3）①如图3,在四边形4B8中，BD=CD,AB=BE,ZABE=ZBDC=O）°,NA与的数量关系

为：（直接写出答案，不需要说明理由）；

②如图4,在四边形ABC。中，ZABC=ZACB=ZADC=45°,若83=3,8=1,则A£>的长为

（直接写出答案，不需要说明理由）.

5.（2022秋•江苏无锡•八年级校联考期中）【问题探究】

（1）如图1,锐角A8C中，分别以A3、AC为边向外作等腰直角..ABE和等腰直角,.ACD,使AE=AB,

AD=AC,ZBAE=ZCAD=90°,连接3£>,CE,请判断8。与CE的数量关系，并说明理由.

E

图1

【深入探究】

(2)如图2,四边形A8C。中，A8=5,BC=2,ZABC=ZACD=ZADC=45°,求瓦＞的值；甲同学受

到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将8。进行转化再计算，请你准确的叙述辅

助线的作法，再计算；

图2

【变式思考】

(3)如图3,四边形ABCD中，AB=BC,ZABC=60°,Z4£JC=30°,4)=4,80=7,则CD?=

B

图3

6.(2022秋.浙江金华•八年级浙江省兰溪市第二中学校考阶段练习)如图①，在RtZXABC中，？390?,

8c=16cm,AB=12cm,现有一动点P,从点A出发，沿着三角形的边AB->BC->C4运动，回到点A停止,

速度为2cm/s,设运动时间为f秒

图①图②

(1)如图①，当P4=PC时，求♦的值;

(2)如图①，当是等腰三角形时,求，的值;

⑶如图②，点。在8c边上8=点E在AC边上CE="C,EDLBC,在械的边上，若另外

有一个动点。与点P同时从点A出发，沿着边AC-CB-84运动，回到点A停止.在两点运动过程中的

某一时刻，恰好△APQ与△)££右全等，求点。的运动速度.

7.(2023•全国•八年级专题练习)综合与实践

【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三

角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2,另一种是等于四

个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即;岫x4+(b-a)-,从而得到等式c2=］岫*4+(b-a)2,化简

22

便得结论4+b=c.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.

图IM2W3图4

【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹫，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向

常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和△£>£4如图2放置，其三边长

分别为b,c,NBAC=NOE4=90。，显然BCLAO.

(1)请用。，b,c分别表示出四边形ABDC,梯形A£»C,△EQ的面积，再探究这三个图形面积之间的

关系，证明勾股定理/+"=。2.

⑵【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3,小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点,

可得一A3C,则边上的高为.

(3)如图4,在中，A。是BC边上的高，4?=4,AC=5,BC=6,设求x的值.

8.(2022秋・江苏•八年级专题练习)定义：一组对角互补，且对角线平分其中一个内角，称四边形为余缺四

边形.

如图1,四边形ABC。，NO+N5=180。，AC平分，D4B,则四边形A8CD为余缺四边形.

【概念理解】

(1)用(填序号)一定可以拼成余缺四边形.

①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形:

(2)如图1,余缺四边形ABCD,AC平分ND4B,若AQ=6,AB=2,贝U=

【初步应用】

如图2,已知△ABC,NBAC的平分线AP与BC的垂直平分线交于P点，连接P8、PC.

(3)求证：四边形ABPC为余缺四边形；

(4)若45=9,AC=5,则/%2-pB?的值为.

【迁移应用】

⑸如图3,NMAN=90。,等腰心△P3C的8、C两点分别在射线AM、AN.上，且斜边8c=10cm(P、A

在3C两侧)，若B、C两点在射线AM、AN上滑动时，四边形4>8C的面积是否发生变化？若不变化，请

说明理由；若变化，直接写出面积的最大的值.

9.(2022春•广东深圳•七年级校联考期末)材料阅读：如图1所示，已知直角梯形BC3E中，A是C。上一

点，CB=a,AC=b,AB=c,且AB=AE,现需探究直角三角形ABC的三边。、b、c之间

的数量关系:

A

E

图1图2

(1)【初步探究】猜想三角形ABC是否与三角形AQE全等，若是，请说明理由;

(2)【问题解决】请用两种含有。，h,c的代数式的方法表示直角梯形BSE的面积：S梯形BCO£=

.S榜物切£=.由此，你能得到的。、b、，的数量关系是：

(3)【拓展应用】如图2,等腰三角形ABC中，O是底边BC上的中点，BC=U,AB=10,E、尸分别是

线段AD和AC上的两个动点，求：CE+E尸的最小值.

10.(2022春•广东广州•八年级校联考期中)在平面直角坐标系xOy中，点8、C的坐标分别为(0,0)、(12,

0),点A在第一象限，且△ABC是等边三角形.点。的坐标为(4,0),E是边AB上一动点，连接。E,以

OE为边在DE右侧作等边△DEF.

(1)求出A点坐标；

(2)当点F落在边AC上时，△CDF与ABED全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由;

(3)连接CF,当AC。尸是等腰三角形时，BE=.

11.(2022秋・江苏•八年级期中)【问题情境】

课外兴趣小组活动时.，老师提出了如下问题：

如图①，AA8C中，若AB=8,AC=6,求8C边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使QE=AO,连接8E.请根据小明

的方法思考：

A.SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL

(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是.

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求

证的结论集中到同一个三角形之中.

(3)【初步运用】如图②，AO是AABC的中线，BE交AC于E,交于F,S.AC=BF.求证AE=FE.

(4)【灵活运用】如图③，在AABC中，NA=90。，D为BC中点"DELDF,OE交于点E,。尸交4c

于点F,连接EF.试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论.

12.(2021秋•河北保定•八年级保定市第十七中学校考期末)(1)如图1,在锐角43c中，分别以A3、AC

为边向外作等腰.ME和等腰AC。，使AE=AB,AD=AC,ZBAE=ZCAD,连接8。，CE,试猜想8。与

CE的数量关系，并说明理由；

(2)在(1)的条件下，若ZB4c=60%ABLAD,则80与CE相交所得的锐角=；

(3)如图2,四边形ABCD中，AB=1,8c=3,ZABC=AACD=ZADC=45°,求BO的长.甲同学受到

第一问的启发构造了如图所示的一个和△筋£＞全等的三角形，将8。进行转化,据此可计算得80=

图2

13.（2022秋.江苏.八年级期末）如图，在平面直角坐标系X。），中，点B、C的坐标分别为（0,0）、（6,0）,

A是第一象限内的一点，且△ABC是等边三角形.点。的坐标为（2,0）,£是边A8上一动点，连接。E,

（2）当点F落在边AC上时，△8尸与ABED全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由;

（3）连接C凡当△C£＞尸是等腰三角形时，直接写出8E的长度.

14.（2021秋•江苏扬州•八年级校考阶段练习）图形的翻折就是将一个图形沿着一条轴折叠的运动。

翻折有如下性质：

(1)、把图形变为与之全等的图形；

(2)、关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分

【课堂提问】何老师在课堂中提出这样的问题：如图1,在R3A8C中，ZACB=90°,N8AC=30。，那么

8c和AB有怎样的数量关系？

【互动生成】经小组合作交流后，各小组派代表发言.

(1)小华代表第3小组发言：AB=2BC.请你补全小华的证明过程.

证明：把△ABC沿着AC翻折，得到AAOC.

/ACQ=/AC8=90。，

.../8。。=/40)+/4(78=90。+90。=180。，即：点8、C、O共线.

(请在下面补全小华的证明过程)

(2)受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图2,在△ABC中，如果把条件"NACB=90。”

改为“/AC8=135。"，保持“N2AC=30。”不变，若BC=2,求AB的长.

【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题.如图3,点。是AABC内一

点，4D=4C=M，BD=8,/BAO=NCAD=30。，/4。8=135。，求BC的值

15.(2022秋・江苏扬州•八年级校考阶段练习)【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百

年来，人们对它的证明趋之若鹫，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现

了一个新的证法.

AB

图2

【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和AD4E如图I放置，其三边长分别为a,b,c.显然，ZDAB

=NB=90。，ACLDE.请用“，b,c分别表示出梯形A8CZ）,四边形AECQ,AEBC的面积：

S梯彩ABCD=,

SAEBC=,

S四边形AECD=,

再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为,化简后，可得到勾股定理.

【知识运用】

如图2,河道上A,B两点（看作直线上的两点）相距200米，C,。为两个菜园（看作两个点），AD1AB,

BC1AB,垂足分别为4,B,4力=80米，BC=70米，现在菜农要在A8上确定一个抽水点P,使得抽水点

P到两个菜园C,。的距离和最短，则该最短距离为米.

【知识迁移】

借助上面的思考过程，请直接写出当0VxV15时，代数式7ZH+"（15-x）2+25的最小值=.

16.（2020・浙江绍兴•模拟预测）问题理解：

如图1,在锐角..ABC中，分别以A8,AC为边向外作等边.ASE和等边A8,连结8D,CE,通过证

明44支和二4）8全等，可得BD=CE.（不必证明）

ED

问题探究:

（1）如图2,在锐角ABC中，分别以A3,AC为边向外作等腰必破和等腰」.AC。，使AE=AB,AD^AC,

NBAE=NCAD,连结BD,CE,试猜想5。与CE的大小关系，并说明理由.

问题拓展：

（2）如图3,在一ABC中，AB=7,BC=2,ZABC=ZACD=ZADC=45",求80的长;

（3）如图4,在（2）的条件下，当，ACD在线段AC的左侧时，请直接写出8。的长.

17.（2020秋.河北衡水.八年级校考期中）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段。要满足两个

条件：①线段。一个端点是图中一条线段b的中点；②线段“与这条线段匕不共线），然后进行连接，构造

三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题.

【应用举例】如图（1）,已知：AO为AABC的中线，求证：AB+AC>2AD.

图⑴

简证：如图（2）,延长AO到E，使得DE=AD，连接CE,易证AABD三AECD，得AB=

在A4CE中，AC+CE>,AB+AC>2AD.

A

/✓

EJ'

图(2)

【问题解决】

(1)如图(3),在AA8C中，AD是8c边上的中线，E是A£＞上一点，且BE=AC,延长BE交AC于尸,

求证：AF=EF.

图(3)

(2)如图(4),在A4BC中，4=90。,。是8c边的中点，E、尸分别在边AB、AC上，DE1DF,若

BE=3,CF=4,求E尸的长.

图(4)

(3)如图(5),AO是AABC的中线，AB=AE,AC-AF,且NBAE=NE4C=90。，请直接写出与EF

的数量关系及位置关系.

E,

图(5)

18.（2023春•全国•八年级专题练习）阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三角形和

全等解决问题.

如图1,B、C、力三点在同一条直线上，等边三角形48c和等边三角形EC。具有共同的顶点C,我们容易

证明ABCE好△AC。，从而得至；

理解：如图2,已知点。在等边三角形ABC内，AD=5,BD=4,8=3,以CD为边在它的下方作等边三角

形COE,求N2OC的度数；

应用：如图3,在△ABC中，AC=10,BC=12,点。在AABC外，位于8c下方，△ABC为等边三角形，当

NAC£>=30。时，CD2=.

图1图2图3

19.（2023秋•吉林长春•九年级校考期末）【感知】如图①，在正方形ABC。的内部，作

NDAE=ZABF=NBCG=NCDH,且点、E、F、G、”分别在。〃、AE,BF、CG上，根据三角形全等

的判定方法，易证：MBF名MCG会ACDH名ADAE.（不需证明）

【类比】如图②，在等边三角形A8C的内部，作NABE=N8CE=NC43,AD.CE、BF两两相交于。、

E、Z7三点.

（2）判断：ADE尸的形状为

【拓展】在图②中，若AB=3,CE=2,则。尸的长为

20.（2022秋•全国•八年级期中）如图（1）,是两个全等的直角三角形（直角边分别为a,b,斜边为c）

（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a?+b2=c2；

（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出

证明过程；

（3）当a=3,b=4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角

边a,b分别与x轴、y轴重合（如图4中RtAAOB的位置）.点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线

BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处.

①请写出C、D两点的坐标；

②若ACMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标.

A

BaEbC

21.（2021秋・浙江•八年级期末）如图，点A是射线。£y=x（后0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线,

垂足为B,过点B作OA的平行线交NAOB的平分线于点C.

（2）如图2,过点C作CG_LAB于点G,CHLOE于点、H,求证：CG=CH.

（3）①若点A的坐标为（2,2）,射线OC与AB交于点D,在射线BC上是否存在一点P使得△4cp与^BDC

全等，若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

②在⑶①的条件下，在平面内另有三点P/（后，应），P2（2,2夜），P3（2+72,2-叵）,请你判

断也满足AAC尸与ASOC全等的点是.（写出你认为正确的点）

22.（2022秋・江苏•八年级期中）如图1,长方形ABC。中，AB=5,A£>=12,E为AO边上一点，DE=4,

动点P从点B出发，沿以2个单位/s作匀速运动，设运动时间为人

（1）当f为s时，&ABP与4CDE全等;

⑵如图2,E尸为AAEP的高，当点P在BC边上运动时，E尸的最小值是；

⑶当点P在EC的垂直平分线上时，求出f的值.

23.（2021秋・河南郑州•八年级校考期中）（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成

四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形（如图1）,这个矩形称为赵爽弦

图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边。、6与斜边c满足关系式。2+〃=/,称为勾

股定理.

证明：•••大正方形面积表示为5=/,,又可表示为S=4xg曲+S—〃）2,

.'.4x^ah+（b—a）2—c2.

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2）,也能验证这个结论，请你

帮助小明完成验证的过程.

（3）如图3所示，NABC=/ACE=90。，请你添加适当的辅助线，证明结论/+/=/.

24.（2021春•广东深圳•八年级深圳第二实验学校校考期中）已知AfiC是等边三角形，点。是BC边上一

动点，连结

⑴如图I,若BD=2,0c=4,求AO的长；

（2）如图2,以4。为边作N4Z）E=ZA£）F=60,分别交A8,AC于点E,F.

①小明通过观察、实验，提出猜想：在点。运动的过程中，始终有=小明把这个猜想与同学们进

行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法

想法1：利用AO是NEE厂的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关

知识获证.

想法2：利用是的角平分线，构造二ADF的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证.

请你参考上面的想法，帮助小明证明AE=AF.（一种方法即可）

②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形尸的面积与A。长存在很好的关系•若用S表示四

边形AEDF的面积，x表示AO的长，请你直接写出S与尤之间的关系式.

图1图2

25.（2022秋・河北石家庄•八年级石家庄市第四十中学校考期末）阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全

等的等腰直角三角形图形变化问题

如图1,/\ABC^/\ADE,其中ZB=ZD=90。，AB=BC=AD=DE=2此时，点C与点E重合.

（1）操作探究1：小凡将图1中的两个全等的ABC和VADE按图2方式摆放，点B落在AE上，C8所在直线

交OE所在直线于点M,连结AM,求证：BM=DM.

⑵操作探究2：小彬将图1中的ABC绕点A按逆时针方向旋转角度a（0°<c<90。），然后，分别延长8C、

DE,它们相交于点尸.如图3,在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：

①a=30。时，求证：ACEF为等边三角形;

②当a=时，AC//FE.（直接回答即可）

（3）操作探究3：小颖将图1中的..他C绕点A按顺时针方向旋转角度〃（0。〈/<90。），线段BC和。E相交

于点尸，当旋转到点F是边OE的中点时（可利用图4画图），直接写出线段CE的长为.

26.（2022秋•浙江•八年级期中）如图，AB1BC,CDLBC,且BC=3c«t,C£>=5c加，点尸

以每秒lc〃?的速度从点B开始沿射线BC运动，同时点Q在线段C£>上由点C向终点。运动.设运动时间

为f秒.点。的速度为X.

(1)P在线段BC上时，BP=cm,CP=cm.(用含，的代数式表示)

(2)如图①，当点P与点。经过几秒时，使得△A8P与△PCQ全等？此时，点。的速度x是多少？(写出求

解过程)

(3)如图②，是否存在点P,使得AAOP是等腰三角形？若存在，请直接写出，的值，若不存在，请说明理由.

27.(2020秋•江苏南通•八年级校考阶段练习)初识模型：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相

重合，则称此图形为“手拉手全等模型因为顶点相连的四边形，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手

拉手全等模型如图1,已知与都是等腰三角形，AB^AC,AD=AE,且N8AC=NZME,

显然AABDMAACE.

理解模型：如图2,在A/?C£＞中，ZCBD=ZCDB=45°,连接A。，若NC48=45。，AC=6,AB=8,求AO.

运用模型：如图3,已知AA6C,A8=AC,点G为3c上一点，点。为8c中点，GELAB于点E,GFYAC

于点尸，判断EQFD的数量关系，并说明理由.

迁移模型：如图3,等边AABC的边长为6,。是BC的中点，E是AC边上的一点，AABC内部作等边三角

形DEF,若4F=J7,直接写出线段CE的长.

A

DA

F

E

BGDD

图2图3图4

28.(2021秋•八年级单元测试)我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运

动前后的两个图形全等，翻折就是这样.如图1,将AABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C处，则

△ADC^AADC.

尝试解决：(1)如图2,AABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,将AABC沿AD翻折，使点C落在AB边上

的点C处，求CD的长.

(2)如图3,在长方形ABCD中，AB=8,AD=6,点P在边AD上，连接BP,将4ABP沿BP翻折，使点

A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F,且DG=EG.

①求证：PE=DF；

②求AP的长.

29.（2020秋•四川.八年级校考阶段练习）（1）观察猜想：如图①，点8、A、C在同一条直线上，

ECA.BC且ND4E=90°,AD^AE,则AAQB和AE4C是否全等？（填是或否），线段

AB,AC,瓦）,CE之间的数量关系为

（2）问题解决：如图②，在R/A4BC中，ZABC=9Q°,AC=6下,AB=6,以AC为直角边向外作

等腰Rr&MC,连接BO,求80的长。

（3）拓展延伸：如图③，在四边形43a＞中，ZABC=ZADC=90°,AB=5，AO=丑也,DC=DA,

2

CGJ.BD于点G.求CG的长.

30.（2022秋・江苏扬州•八年级统考期中）【问题背景】

小明遇到这样一个问题：如图1,在RtA8C中，4/=90。,4=60。，CD平分/ACB,试判断BC和

AC、AZ）之间的数量关系.

【初步探索】

小明发现，将ACD沿C。翻折，使点A落在BC边上的E处，展开后连接OE,则得到一对全等的三角形,

从而将问题解决(如图2)

(1)写出图2中全等的三角形；

(2)直接写出BC和AC、之间的数量关系；

【类比运用】

(3)如图3,在ABC中，ZC=2ZB,A。平分NCL9,AB=3,AD=2,求..AC。的周长.

小明的思路：借鉴上述方法，将ACD沿翻折，使点C落在AB边上的E处，展开后连接。E,这样可

以将问题解决(如图4)；

请帮小明写出解答过程:

【实践拓展】

(4)如图5,在一块形状为四边形A8CD的空地上,养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖

场，即图5中的ABC和ACD,若AC平分NB4DBC=CD=10m,AC=17m,AD=9m.请你帮丁师傅

算一下需要买多长的栅栏.

第一次月考重难点特训（二）之勾股定理与全等三角形结合的压轴题

国【重难点题型】

1.（2023•全国•九年级专题练习）综合与实践.

勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著

名的数学家，也有业余数学爱好者.

图1图2

（1）我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，

后人称之为“赵爽弦图在Rt/XABC中，NAC8=90。，若AC=方，BC=a,AB=c,请

你利用这个图形说明储+〃=c2.

（2）业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的RtZ\A8C和

RtD4E按如图2所示的方式放置，ND4B=NB=9O。，AB=AD=c,BC=AE=a,

AC=£>E=6.请你利用这个图形说明02+/=6.（提示：连接EC,CD）

【答案】（1）说明见解析

（2）说明见解析

【分析】（I）根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积即可得出

结论；

2

（2）连接EC,CD,根据四边形ABCD的面积=g（BC+AD）x"="/，又四边形

AECD的面积=SAEC+SACD,根据ABEC的面积=四边形ABCD的面积-四边形AECD的面

积，得出等量关系，进而得证.

【详解】（1）•大正方形面积为c?,直角三角形面积为（外，小正方形面积为（A-。），

c2=4x^ah+（a-h'）2=lab+a1-2ab+b',

即C?=/十82；

(2)连接£C,CD、

BC

图2

RtAABC^RtAZME,

・・.NACB=/AED,ZABC=ZBAD=9G°.

ZBAC+ZACB=90。=/R4C+ZAED,

:.ZAFE=90°t

・•.AC1.DE,

2

•••四边形ABC。的面积=3(8C+AD)xAB=,

四边形A£CE＞的面积=Sa*+S.co=gACXDE=Ib1,

BEC的面积=四边形ABC。的面积-四边形AECD的面积=丝上二-；b2=-ac--a2,

2222

•*-c2+a2-b2■

【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键.

2.(2023春•八年级课时练习)如图(1)"C和")所为两个全等的等边三角形，边BC和

EF的中点重合与点。，直线C尸交直线AO于点G.

备用图

(1)求证：AGLCG；

(2)若AG=CG,是判断。4、OG、OC的数量关系;

(3)若AB=2,请直接写出8G的最小值.

【答案】(1)见解析

(2)OC+O4=&OG，见解析

⑶6-1

【分析】（1）连接4。和£>。，由AO=ODOC=OF,ZAOC=ZDOF=90°,得到

NOA£>=NOZM=NOCF,再由NOCF+NOCG=180。得至UZAOC+ZAGC=180。，从而得

到ZAGC=90P即可得到答案；

（2）连接GO,作GMLGO交OA延长线于点M,由（1）可知/。4。+/0。6=180。，

再通过证明M4GWOCG,得到OC=M4,GM=GO,从而得到、MOG为等腰直角三角形,

即可得到答案；

（3）当G点在4ABe内部，且BG平分/ABC时，BG的值最小，延长BG交AC于H,此

时BG=BH-GH,由等边三角形三线合一得出8"，AC,AH=CH=^AB=},由勾股定

理得出BH=^AB2-AH2=G，通过证明ABG^BCG可得到NBCF=ZBAG,AG=CG,

连接40和。O,通过证明，再通过角度的转化，从而得到AGLCG,进而得到

GH=AH=CH=l,最后得出了8G的最小值.

【详解】（1）证明：连接A。和£>O,

ZOAD=NODA=ZOCF,

NOCF+NOCG=180°,

.-.ZOAD+ZOCG=180°,

ZAOC+ZAGC=180°,

.-.ZAGC=90°,即AG_LCG.

(2)解：连接G。，作GM，GO交04延长线于点",

M

由(1)可知N0LD+NOCG=18O。，

ZMAG+ZOAD=\SO0,

・•.ZMAG=ZOCGf

ZMGO=ZAGC=90°,

即ZMGA+ZAGO=ZAGO+AOCG,

:.ZMGA=ZOGC,

AG=CG,

MAG9OCG(ASA),

OC=MA,GM=GO,

MOG为等腰直角三角形，

OC+OA=MA=y[2OG-

(3)解：如图所示，当G点在JIBC内部，且5G平分NABC时，3G的值最小，延长5G

交AC于“，此时3G=3”—GH,

BG平分/ABC,ABC为等边三.角形,

:.BH±AC.AH=CH=-AB=K

2

BH=yjAB2-AH2=73，

二边BC和EF的中点重合与点。，

:.OF=OC,

:./OFC=/OCF,

在/ABG和5CG中，

AB=BC

,ZABG=NCBG,

BG=BG

ABGWBCG(SAS),

.•.NBCF=NBAG,AG=CG,

NOFC=BAG,

连接AO和DO,

AO=OD,OC=OF,

：.ZOAD=ZODA,NOFC=/OCF,

•・•ZAOC=ZDOF=90°,

：.ZFOC=/DOA,

：.ZOAD=ZOCF

ZOWC=ZAWG,ZOWC+ZAOC+ZOCF=ZAWG+ZAGW+ZDAO=180°,

・•.ZAGW=ZAOC=90°,

・••AG1CG,

「.△AGC为等腰直角三角形，

.AH=CH,

；.GH=AH=CH=1,

・•.BG=BH-GH=6-1,

，BG最小值等于G-l.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质三角形全等的判定与性质，勾股定理，解题的关键是

作出适当的辅助线，熟练掌握等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质.

3.（2023秋・河南南阳•八年级统考期末）我们把“同一图形的面积，用两种不同的方法求出

的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法

⑴通过如图①中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：；

（2）“面积法”还可以作为几何证明的工具，当两个全等的直角三角形摆放成如图②所示时，

其中NDW=90。，借助图中辅助线用两种不同方法表示四边形ADC8的面积，易得：

222

S&ACD+S^ABC=；S&ADB+SADCfl=,构建等式整理可得：a+b=c-,

（3）如图③，在A3c中，AB=AC=\3,8c=10,P为边5c上的任一点，过点P作尸AB,

PNLAC,垂足分别为M、N,连接AP,利用“面积法”求PM+PN的值.

【答案】（1）。2-2必+〃=（。一bp

(2)；b2,^c2+^a(b-a')

(3)PM+PN=^

【分析】(1)用两种不同的方法表示左上角正方形的面积，即可求解；

(2)根据三角形的面积公式表示即可；

(3)过A作AHJ.BC于点〃，由等腰三角形三线合一可得"8="C=gBC=5,根据勾股

定理可得=12,再由S&ABC=S/+S&ACP进行求解即可.

【详解】(1)解：左上角正方形的面积可以表示为+户，也可以表

示为：［_8)2

BPa2-2ah+h2=(〃-婿，

故答案为:a2-2ab+b2=(a-b^；

⑵解：S^CD+S^ABC=^ACDE+^ACBC=+,

2

S^ADB+S^IXB=^AD-AB+^BC-DF=^c+ga(b-a)

故答案为：-t>2+—ab,g<?+；a(b-a).

(3)解：如图，过A作于点”，

A

■：AB=AC=U,

：.HB=HC=-BC=5,

2

...由勾股定理得，AH=y/AB2-HB2=V132-52=12.

•S^ABC=S—BP+SAACP，

：.-BCAH=-ABPM+-ACPN,

222

-xlOxl2=-xl3xPM+-xl3x

222

/.PM+PN=—.

13

【点睛】本题考查了几何图形与整式乘法，三角形的面积的计算，等面积法的应用，等腰三

角形的性质以及勾股定理，解本题的关键在熟练掌握等面积法的应用.

4.（2023秋•河北石家庄•八年级石家庄市第二十二中学校考期末）【阅读材料】小高同学发

现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点的顶点，并把它们的底

角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小高把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

BD

【材料理解】

（1）如图1,在“手拉手”图形中，小高发现若N班C=/D4E,AB^AC,AD=AE,则

△A3Z运△ACE,请证明小高的发现.

【深入探究】

（2）如图2,ZBAC=ZDAE=9Q°,AB^AC,AD=AE,试探索线段CD,BD,之间

满足的等量关系，并证明结论；

【延伸应用】

（3）①如图3,在四边形ABC。中，BD=CD,AB=BE,ZABE=NBDC=60。,NA与NBED

的数量关系为：（直接写出答案，不需要说明理由）；

②如图4,在四边形中，ZABC=ZACB^ZADC=45°,若BD=3,CD=\,则A。

的长为（直接写出答案，不需要说明理由）.

【答案】（1）见详解

⑵瓦）2+。2=24）2,理由见详解

（3）①ZA+Zfi£D=180。；②2

【分析】（1）由题意易得NB4O=NC4E,然后可根据“SAS”判定三角形全等；

（2）连接CE,然后根据题意可判定△ABZ运△ACE,则有"CE=90。，进而根据勾股定

理及等腰直角三角形的性质可进行求解；

（3）①由题意易得△应）C是等边三角形，则有BD=BC,ZDBC=60。，然后可得

ABgEBC,进而根据全等三角形的性质可进行求解：②过点C作CH_LA£＞于点H,过

点8作8GLAD,交ZM的延长线于点G,然后可证,AS咨BAG,根据等腰直角三角形

的性质可得AG=CH=04=立，设A"=BG=x,则有。G=X+V5,进而根据勾股定理

2

建立方程进行求解即可.

【详解】（1）证明：VZBAC=ZDAE,

二ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,即ZBAD=ZCAE,

VAB=AC,AD=AE,

：.△AB*Z\ACE（SAS）:

（2）解：BD2+CD2=2AD2.理由如下：

连接CE,如图所示：

VZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,

：.ABAC-ACAD=ZDAE-ZCAD,ZB=ZACB=45°,DE=42AD，

：.ABAD=ZCAEf

：.AAB£>^AACE（SAS）,

.・・/B=/ACE=45。,BD=CE,

・•・NDCE=90。,

在RtVDCE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2,

JBD2+CD2=2AD2：

（3）解：①•；BD=CD,ZBDC=60。,

，，班心是等边三角形，

・,.BD=BC,/DBC=6。。,

VZABE=60°,

JZABD=/EBC,

・・•AB=BE,

・・・，AB£^£8C（SAS）,

:・ZA=ZBEC,

:ZBEC+ZBED=180。,

AZ4+ZB£D=180°：

故答案为NA+N8瓦）=180。；

②过点C作CHLAO丁点儿过点3作8GJ_A。，交D4的延长线于点G,如图所示:

■:ZABC=ZAC8=45。，

/.AB=AC.ZBAC=90°.

：.ZGAB+NGA"=Z.HCA+NCAH=90°,

/GAB=ZHCA,

：.^ACH^BAG(AAS),

/.CH=AG,BG=AH,

•/^ADC=45°,NCHD=90。,C