旧教材适用2023高考数学一轮总复习高考大题研究三数列综合问题

高考大题专题研究三

命题动向：从近五年高考试题分析来看，等差、等比数列是重要的数列类型，高考考查

的主要知识点有：等差、等比数列的概念、性质、前〃项和公式.由于数列的渗透力很强，

它和函数、方程、向量、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的

力度.解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有较深的理解.

专题研究数列综合问题

题型一等差、等比数列的综合运算

例1(2022•陕西千阳中学高三模拟(一))已知｛&｝是公差为3的等差数列，数列｛〃,｝

=

7两足=1,&=鼻，&e+1+bn+1nbti,

(1)求数列｛&｝的通项公式；

⑵求数列的｝的前〃项和.

解(1)由已知，得a也+友=4,又5=1,庆=；，所以a=2,所以数列｛a｝是首项为

2,公差为3的等差数列，通项公式为&=3〃-1.

(2)由⑴及a11bli+1+b„+1=nb„,得b„+1=?,

因此数列｛4｝是首项为1.公比为1的等比数列.记数列｛4｝的前〃项和为S”

则S13.

人J5L］--2X3"f

1-3

［解题策略］解决由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要根据两数列的概念，

设出相应的基本量，然后充分使用通项公式、求和公式、数列的性质等确定基本量.解综合

题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件.

变式训练1(2021•南昌模拟)已知等差数列｛a｝的前〃项和为$，且S=9,a,a,

功成等比数列.

(1)求数列｛&｝的通项公式；

(2)若数列｛a,,｝是递增数列，数列d｝满足儿=2a0，北是数列｛®e｝的前〃项和，求方并

求使©1000成立的n的最小值.

解设等差数列｛&｝的公差为d

(1)'.,&=9,艮［尸=3a2=9,.*.a2=3,

"+d=3.①

2

•3\fctsf4成等比数列，••日3=国4，

；・(劭+2#2=国(&+6中,②

d=0,(d=l,

由①②得°或C

当《c时，&=3,当｛c时，4=刀+1.

[<31=3向=2

(2),・•数列｛a｝是递增数列，J将0,

an=〃+1,bn=2"",

从而&〃,=(〃+1)2.，

7；=2X22+3X23+4X2,+—+(/?+1)X2叫③

2T；=2X23+3X24+4X25+-+(/7+l)X2，i+2,④

931[_(\n-\x

由③一④，得一7；,=8+23+2"H----F2,,+1-(n+l)X2'7-2=8H----:~~;-------5+1)X2"

1-，

+2=_〃X2-2,

AT„=nX2"+2,易知数列｛着是递增数列，又-=640,2=1536,...使。>1000成立的〃

的最小值为6.

题型二数列与函数的综合

例2已知数列｛&｝的前〃项和为S”对一切正整数〃，点8(〃，S)都在函数/Xx)=f

+2x的图象上，且过点只(力，£)的切线的斜率为匕.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设g｛x|x=/r”neN*｝,R=｛x\x—2a„,〃eN,｝,等差数列｛c,,｝的任一项c,,G(。。而，

其中c是。0月中的最小数，110。水115,求数列｛&｝的通项公式.

解⑴因为点PKn,S”)都在函数F(x)=x2+2x的图象上,所以S,尸r?+2n(neN*).

所以当时，a„=S„—S„-i=2n+l.

而当〃=1时，国=S=3,满足上式，

所以数列｛&｝的通项公式为a=2/7+1.

(2)对Ax)=f+2x求导可得f(x)=2x+2.

因为过点叫,S)的切线的斜率为k„,

所以k„=2n+2,

所以g｛x|x=2〃+2,〃WN*｝,

7?=｛x|*=4〃+2,z?eN,｝.

所以QCR=R.

又因为c〃G(QCQ,其中。是007?中的最小数，所以口=6,

则匕,｝的公差是4的倍数，

所以CIO=4/H-6(/Z7EN*).

又因为11O<CIO<115,

110<4ZZ7+6<115,

所以

mWN*,

解得加=27,所以GO=114.

设等差数列｛以的公差为d,则仁若二?=吟3=12,

10—1y

所以c„=6+(/?-l)X12=12/7-6,

所以数列｛扁的通项公式为c„=12/7-6.

［解题策略］(1)数列与函数的综合问题一般是以函数作为背景，给出数列所满足的条

件.解决这类问题的关键是利用函数知识，将条件进行准确转化.

(2)此类问题多考查函数思想及性质(多为单调性)，注意题中的限制条件，如定义域.

变式训练2(2022•四川三台中学模拟)数列｛a｝的前〃项和为5,,2£=&+|-2"'+1,

〃CN*,且a”条+5,19成等差数列.

(1)求国的值；

(2)证明｛关+1)为等比数列，并求数列｛a｝的通项公式；

(3)设b〃=log3(a+2'),若对任意的〃WN*,不等式4(1+〃)一人〃(4+2)—6<0恒成立,

试求实数X的取值范围.

解⑴在2s=品+1—2""+1,z?£N*中,

令〃=1,得2s=出-2?+1,

即a=2功+3,①

又国，念+5,19成等差数列，

所以2(4+5)=@+19,②

则由①解得劭=1.

(2)由2£=a+】一2""+1,③

得空一产丛-2〃+1(〃22),④

③一④，得24=&+1—2"(〃22),

则>T+1=沏;+1y

又愚=2&+3=2X1+3=5,

所以票+1=条票+1).

所以数歹是以I为首项，I为公比的等比数歹IJ,

所以及+1=|义(|

，即a.=3"-2".

⑶由⑵可知,b〃=log3(&+2")=〃.

Z?n(l+/7)—4八(4+2)—6<0恒成立，

即(1—4)//+(1—2A)n—6<0(〃£N*)恒成立.

设F(〃)=(1—4)6+(1—24)〃一6(/?eN*),

当4=1时，1(〃)=一〃一6<0恒成立,

则4=1满足条件；

当4。时，由二次函数性质知不恒成立，

1—9A

当4>1时，由于对称轴〃=-7711-p-<0,

z(1一人)

则/X。)在［1,+8)上单调递减，

A/7)WF(1)=-34-4<o恒成立，

则满足条件.

综上所述，实数A的取值范围是［1,+8).

题型三数列与不等式的综合

例3己知数列｛a｝的前〃项和为S”且0=2,a„+i=S,+2.

(1)求数列仿“｝的前〃项和$；

⑵设6“=log2(S〃+2),数歹一(的前〃项和为北，求证：达4Z,V；.

解(1)因为a+i=S+2,①

所以当刀22时，a=Si+2,②

由①一②得，an+1—an—S,—Sn-1,

即a〃+i=2d〃(7?22),又因为<32=&+2=4,

即色=2&,所以a?+i=2a〃(/?21),

即数列｛a｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以a=2・2〃—=2〃，

则S=a”+i—2=2*1—2.

(2)证明：由(1)得%=2*1—2,

11

所以新+2=23"、则"=log223f=3〃+l,则

bnbz\(3〃+l)(3/?+4)3

11

X

3〃+13/7+4/

11111Oli

所以Tn=X

b\bzbibsbnbn+13IHMA卦•••+13〃+l3/?+4/J3

(04一一3nM+4J」12__3_(3i—〃+4)，

因为3(33)>。，所以刀令

又因为-=4(3黑4)=7^，

也+/

当〃=1时，北取得最小值为白，

所以即

Z/O1L>IJ

［解题策略］数列中不等式的处理方法

(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过

对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式.

(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.一般地，数

列求和中的放缩的“目标数列”为“可求和数列”，如等比数列、可裂项相消求和的数列等.

(3)比较方法：作差比较或作商比较.

变式训练3(2021•全国乙卷)设｛a｝是首项为1的等比数列，数列也,｝满足&,=子.已

知a”3色，9a：,成等差数歹ij.

⑴求｛a｝和依｝的通项公式;

⑵记S,和7,分别为｛4｝和｛&,｝的前"项和.证明：吟.

解⑴设瓜｝的公比为q,则a=gi

因为a”3a2,9a成等差数列，所以&+9a3=2X3a?,即l+9q2=2X3q,解得g=:,

n~\

nann

故，b尸3=即

1

1—77

(2)证明：由(1)知，S,=―-

1-3

n[23n]n

又b尸飞,则Z,=要+1?+不■!----①

11,2,3,/?—1.n

②

3"3〃+”

2]]]]]3')

①一②，得可/尸三+不+百---1-击一备=----；----

O«JO0OOO1

1-§

整理，得.=彳(1―勺)—：x3"=彳_4X3”'

…<32〃+3、3/1、n.S

则2T—S„—2(J-4X3")一矣—37—―]<0>故Tn<~-

题型四数列中的探索性问题

例4(2022•天津新华中学模拟)已知数列｛a｝中，4=1,&=3,其前〃项和为S,且

｛£｝为等比数列.

(1)求数列｛&｝的通项公式；

Qo

⑵若以=―二记数列｛4｝的前〃项和为北,设义是整数，问是否存

，(品十3)(国rH十3)

R47

在正整数〃，使等式L+--=[成立？若存在，求出〃和相应的A值；若不存在，请说明

5a+i8

理由.

解(1)由题意，得S=&=1,£=团+生=4,由收｝为等比数列，所以S=4”T,当杉2

[1,/?=1,

时，an=Sn—ST=4"1—42=3X4"故a=｛2

|3X4T〃22.

(2)当〃22时，

_9a”

bn=

(a,+3)(a„+I+3)

_________9X3X4'L2________

=(3X4=3)(3X4"T+3)

3X4T____________1_______1

(4n-2+l)(4"-,+l)=4,,-2+l-4，,-,+r

9a

而61=

(+3)(全+3)

3

当〃=1时，T\=b\=^,

3A7,3.£_7

则当n=1时，等式ZT7-=6n即r1为>g+

5a〃+i88~5=89

5

解得a=],它不是整数，不符合题意.

当"?2时,

1

T„—bi+bi-\-----1-4='1+42-,+J+-，，+Un-2+l_4^l+J=8

O14"-'+「

则等式叶及4即为F—+谷4解得，=5—号?

由才是整数，得4"-'+1是5的因数.

5

而当且仅当〃=2时，户百是整数，

由此4=4.

Q17

综上所述，当且仅当4=4时，存在正整数〃=2,使等式成立.

5a+i8

［解题策略］探索性问题的类型及解法

(1)条件探索性问题：一般采用分析法，从结论或部分条件入手，执果索因，导出所需条

件，注意这类问题往往要求的是问题的充分条件，不一定是充要条件.

(2)存在性探索问题：一般假定存在，在这个前提下推理，若由此推出矛盾，则否定假设,

否则给出肯定结论.

(3)结论探索性问题，由给定的已知条件进行猜想透彻分析，发现规律，获取结论.

变式训练4(2021•贵阳模拟)已知｛a“｝是公差不为0的等差数列，｛4｝是等比数列，且

4=61=1,a2=bi,a$=bs.

(1)求数列｛a｝,也,｝的通项公式；

(2)记$=?+W+…+与，是否存在/隹N',使得£23成立？若存在，求出如若不存

bi戾bt,

在，请说明理由.

解(1)设数列｛4｝的公差为小杼0)，数列｛4｝的公比为g,

l+d=l-q,

则由题意知彳2，"=0或"=2.

［l+4d=l-q,

!1

♦:拄0,:.d=2,q=3,，&=2〃-1,bn=3~\

/小〜/八一.an1,35,,2刀-3.277-1

(2)由(1)可知，S=Y+T~^----匕7=；+3+&^----卜赤+2,

flb\biOn1o333

2〃一32/7-1两式相减得，鼠=1+'+各…+白一^1=1

T-+3”

OOOOO

2/7-1c2〃+2小

+|x^7-=2-7~."〈2,・•・5X3.

故不存在meN*,使得£23成立.

课时作业I

1.(2021•四川成都七中模拟)在正项等比数列｛a｝中，已知a=4,a,=&+6.

(1)求｛a｝的通项公式；

⑵设£为｛a0｝的前〃项和，4=log,(S+S)("GN*),求庆+&+&+…+凝.

4

解(1)设正项等比数列｛&｝的公比为g(g>0),则由&=4及a=例+6得4q=-+6,

(7

化简得2q—3q—2=0,解得q=2或<?=一3舍去).

所以等比数列｛a｝的通项公式为

an—a-sq^—T'(/?GN,).

1—2n

(2)由(1)可得S,=TF=2"-1,

1-2

所以b„=logi(S+S)=log2=/

117

所以另+L+F+・・・+-=5义(2+5+8+-+50)=—X(2+50)=221.

2.已知等差数列｛aj的公差漆0,其前〃项和为S”且W=20,孙氏,a成等比数列.

(1)求数列｛a｝的通项公式；

⑵令bn=—一+〃，求数列｛6〃｝的前n项和Tn.

&>@口+1

5-5(国+拓)cc

解(1)因为W=-------------=20,

所以句+a=8,a=4,即句+2d=4.①

2

因为徐，央,2成等比数列，即名=会冬，

所以(a+4近2=(鼻+24(8+74,

化简得a=24②

联立①②，得4=2,d=l,所以a=〃+L

(2)由(1)及b—+n,

n4a+1

可知b"=(〃+i)(〃+2)+〃=(行?—/)+力

n,n(n+1)

2(〃+2)+~

所以数列｛£“｝的前〃项和T^—-——+---.

，(〃十2)2

3.(2022•贵阳模拟)已知函数f(x)=log3(ax+6)的图象经过点4(2,1)和3(5,2),

an=an+b,〃eN*.

⑴求3fl；

(2)设数列｛&｝的前〃项和为S,b.=2n+2m,求数列｛4｝的前n项和T„.

解⑴由函数=loga(ax+6)的图象经过点4(2,1)和8(5,2),得

log3(2a+6)=1,

Jog3(5a+b)=2,

a^-2

｛,所以a=2〃-L

(2)由(1)知数列｛a,J是以1为首项，2为公差的等差数列，所以S,=〃+"("J)X2=

ri,则b„=2n+2y[s„=2n+2".

所以T.=(2X1+21)+(2X2+2?)+(2X3+2，)+…+(2X〃+2")=2X(1+2+3+-+

")+(2'+22+2：'+…+2")=2X”+?(厂：)=2"+'+//+〃-2.

Z1—2

4.设等差数列｛&J的前〃项和为S”已知a=3,S=58.

(1)求数列｛a｝的通项公式；

2

(2)设4=1+3数列也)的前〃项和为北，定义卬为不超过x的最大整数，例如[0.3]

=0,=1.当[%+[为+…+[匍=63时,求〃的值.

解(1)设等差数列｛aj的公差为4因为&=3,

所以W=3a+3rf=9+3a

又W=5&=15,所以9+34=15,得d=2.

所以数列｛品｝的通项公式是a,=3+2(〃一l)=2〃+l.

(2)因为X2=//+2A,

2211

所以〃尸1+&=1+〃(〃+2)=1+二不•

所以^=^+^4)+0+(ri)+…+(占一备)+([—曰=〃+1+

a_-J---q

(2n+1n+2/

当〃W2时，因为一Jr--T7<°«

32/?+1n+2

所以"]=n.

当后3时，因为。〈尹系一力§

所以［北］=〃+1.

因为［布+［我］+・・・+［叩=63,

所以1+2+4+5+…+(〃+1)=63,

(〃一2)(4+〃+1)

即3T=63,

2

即〃2+3〃—130=0,即(〃-10)(/?+13)=0.

因为〃WN*,所以77=10.

5.已知数列｛品｝满足团=1,2&a+1+&+1-a=0,数列伉｝满足力=不」.

2•3.n

(1)求数列｛a｝的通项公式；

⑵记数列㈤的前〃项和为S,问：是否存在〃，使得S,的值是3?

O

解⑴因为2aa1+品+1—&=0,

又功=1,所以所以^——=2,

H"+1Qn

由等差数列的定义可得是首项为1,公差为2的等差数列.

故工=1+2(〃-1)=2/7—1,

所以ai=7

t2〃一1

(2)由(1)得6,,9=/7"—一1，

所以$=/+最H---J，；,I

两边同乘以)得，Js,=J+W+…+与

乙乙乙乙乙乙

两式相减得/=2+2$+31---瑁―；+」,

if—］

114\272n-132〃+32〃+3

即5$=］+2X------j-----pH-=2一~^+i~>所以S=3-.

与挈一券拄=孥n>0,所以数列｛£｝是关于项数〃的递增数列，所以

因为SrH-S尸'

1713

S2S=5