高等数学（上下册）PPT完整全套教学课件

第一章集合与函数

集合1.1映射与函数1.2

建立函数关系式1.3第1章集合与函数第2章函数的极限与连续第3章函数的导数与微分第4章微分中值定理与导数的应用第5章不定积分第6章定积分第7章空间解析几何与向量代数第8章多元函数微分学第9章多元函数积分学第10章曲线积分与曲面积分第11章无穷级数第12章常微分方程1.1.1集合的概念所谓集合，按集合论的奠基者康托尔（Cantor）所述：“集合”为我们的感觉或思维中确定的个别对象的汇总。通俗地说，集合就是指具有某种属性的对象的全体，所确定的每一个对象称为集合的“元素”。

集合（简称集）的例子很多.例如，自然数的全体构成一个集合；整数的全体构成一个集合；实数的全体也构成一个集合.通常我们把自然数的全体构成的集合记作N={0，1，2，3，…}，整数的全体构成的集合记作Z={0，±1，±2，…}，实数的全体构成的集合记作R.

习惯上，我们用大写字母A，B，C…表示集合，而用小写字母a，b，c，…表示元素.

通常我们用列举法或性质描述法来表示一个集合.列举法表示一个集合的形式为A={a，b，c，…}.

用性质描述法表示一个集合的形式为A={x|x具有的性质}.

例如，上面的自然数集N={0，1，2，3，…}，整数集Z={0，±1，±2，…}等都是用列举法表示的集合；而对于X={xx<0，x∈R}，A={xx3-1=0}等都是用性质描述法表示的集合.

集合的表示方法便于我们表示一个具有某种性质的集合.例如，为了表示以正实数为元素的集合，我们可记为X={x|x>0}.

为了表示介于a与b之间的所有实数为元素的集合，我们可记为Y={xa<x<b}.

同样，为了表示以圆x^2+y^2=1上的点为元素的集合可表示为A={（x，y）x^2+y^2=1}.注集合的元素不仅可以是抽象的数，也可以是一些具体的实物.例如，将某班级看作一个集合，其元素可取为该班的学生；若将某公司看作一个集合，它所属的工厂就可作为元素.

如果a是集合A的元素，则记作a∈A，读作a属于A；如果a不是A的元素，则记作aA，读作a不属于A.一个集合，若它只含有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集.

不包含任何元素的集合，称为空集，记作.

例如：若A={x|x>0且x<0}，则A是空集，于是记为A=.【例1】用集合符号表示下列集合：（1）方程x^2-3x+2=0的根的集合；（2）小于10的全体正整数的集合；（3）直线x+y=1上的点的集合.

解（1）A={1，2}；

（2）A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}；

（3）A={（x，y）x+y=1}.1.1.2集合的运算1集合的并

设集合A和B，由A和B的所有元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作A并B即A∪B={x|x∈A或x∈B}.显然有（1）A包含于（A∪B）（2）B包含于（A∪B）（3）A∪A=A（4）A∪U=U（5）A∪○=A.2集合的交

设集合A和B，由A和B的所有公共元素构成的集合称为A与B的交集，记作A∩B，读作A交B即A∩B={x|x∈A且x∈B}.显然有（1（A∩B包含于A（2）（A∩B）包含于B（3）A∩U=A（4）A∩A=A（5）A∩=.3集合的补

设全集U中所有不属于A的元素构成的集合，称为A的补集，记作A，读作A的补集即A={xx∈U且xA}.4集合的差

设集合A和B，由属于A，而不属于B的所有元素构成的集合称为A与B的差集，记为A-B，读作A与B的差集即A-B={xIx∈A且xB}.【例2】利用集合的运算表示下列集合，并求出集合的元素的个数.

设某班有100名学生，有70名学生会讲汉语，以集合A表示这些学生；有75名学生会讲英语，以集合B表示这些学生；有50名学生两种语言都会讲，以集合C表示这些学生.求：（1）只会讲汉语的学生的集合及人数；（2）只会讲英语的学生的集合及人数；（3）两种语言中至少会其中一种的学生的集合及人数；（4）两种语言都不会讲的学生的集合及人数.解（1）只会讲汉语的学生的集合A-C.人数为70-50=20（人）.

（2）只会讲英语的学生的集合B-C,人数为75-50=25（人）.

（3）两种语言中至少会其中一种的学生的集合A∪B,人数为20+25+50=95（人）.

（4）两种语言都不会讲的学生的集合A∪B,人数为1００－９５＝５（人）.【例3】如果A={x|0<x<5}，B={x|3<x<6}，求：（1）A∪B；（2）A∩B；（3）A-B；（4）B-A.解（1）A∪B={x|0<x<6};（2）A∩B={x|3<x<5};（3）A-B={x|0<x≤3};（4）B-A={x|5≤x<6}.1．1．3区间和邻域

上面我们给出了集合的定义及其一些运算规律，下面我们再来认识实数集R中两类重要的数集：区间和邻域.1区间

通俗地讲，区间就是介于两实数a与b之间的一切实数，其中a，b称为区间的两个端点；当a<b时，则称a为左端点，b为右端点.区间可分为有限区间和无限区间.有限区间设a，b∈R且a<b,（1）闭区间：若A={xa≤x≤b}，则集合A称为以a，b为端点的闭区间，记为［a，b］，即［a，b］={xa≤x≤b}.（2）开区间：若A={xa<x<b}，则集合A称为以a，b为端点的开区间，记为（a，b），即（a，b）={xa<x<b}.

（3）左半开区间：若A={xa<x≤b}，则集合A称为以a，b为端点的左半开区间，记为（a，b］，即（a，b］={xa<x≤b}.（4）右半开区间：若A={xa≤x<b}，则集合A称为以a，b为端点的右半开区间，记为［a，b），即［a，b）={xa≤x<b}.无限区间就是a与b两端点中至少有一个端点是负无穷大或正无穷大.

为了表示正无穷大或负无穷大，我们引入记号“+∞”表示正无穷大，“-∞”表示负无穷大，则无限区间可分为：（1）（a，+∞）={xx>a};

（2）［a，+∞）={xx≥a};

（3）（-∞，b）={xx<b};

（4）（-∞，b］={xx≤b};

（5）（-∞，+∞）={x-∞<x<+∞}=R.1.2映射与函数1．2．1映射的概念定义1.2设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称f为从X到Y

的映射，记作f：X→Y,其中y称为元素x的像，并记作f（x），即：y=f（x），而元素x称为元素y的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作Df，即Df=X；X中所有元素的像组成的集合称为映射的值域，记作Rf，即Rf=f（X）={f（x）|x∈X}.

从上述映射的定义中，需要注意的是：（1）构成映射必须具备以下三个要素：集合X，集合Y，对应法则f，使对每个x∈X，有唯一确定的y=f（x）与之对应.（2）对每个x∈X，元素x的像y是唯一的；而对每个y∈Rf，元素y的原像不一定是唯一的；映射f的值域Rf是Y的一个子集RfY，即，不一定Rf=Y.5两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分；6分段函数的定义域是各段定义域的并集；7

求复合函数的定义域时，一般是由外层向里层逐步求.1．2．3函数的几种特性下面所讨论的函数的定义域都假设为D.1奇偶性

如果函数f（x）的定义域D关于原点对称，对于任意x∈D都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数；

如果函数f（x）的定义域D关于原点对称，对于任意x∈D都有f（-x）=-f（x），则称函数f（x）为奇函数.1.3建立函数关系式第二章函数的极限与连续

函数的极限2.1函数的连续性2.5极限的运算法则2.3两个重要极限2.4无穷小量与无穷大量2.22.1函数的极限

函数概念刻画了变量之间的关系，而极限概念着重刻画了变量的变化趋势.极限是学习微积分的基础和工具.2．1．1数列的极限

先说明数列的概念.如果按照某一法则，对每个n∈N+，对应着一个确定的实数xn，这些实数xn按照下标n从小到大排列得到的一个序列x1，x2，x3，…，xn，…,就叫做数列，简记为数列{xn}.

数列中的每一个数叫做数列的项，第n项xn叫做数列的一般项.数列x1，x2，…，xn…,可以看作自变量为正整数的函数f（n），其中f（n）=xn，因此，数列的极限是一类特殊函数的极限，为了便于学习函数极限，我们先给出数列极限的定义.2.2无穷小量与无穷大量2．2．1无穷小量1无穷小量的定义定义2.5极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小.特别地，以零为极限的数列{xn}称为n→∞时的无穷小.由定义可知当x→0时，x、tanx等，都是无穷小；当x→∞时，1/x、1/x^2等也是无穷小.注（1）零是唯一的可以看作是无穷小的常数.（2）不要把无穷小与很小的数混为一谈.因为无穷小是这样的函数，在x→x0（或x→∞）的过程中，这函数的绝对值能小于任意给定的正数ε，而很小的数如百万分之一，就不能小于给定的正数ε（可以取千万分之一）.(3）一般来说，无穷小是相对于自变量的某个变化趋势而言的.2.3极限的运算法则2.4两个重要极限

通过上面三节的学习，我们知道了一些求极限的方法，如运用极限的定义和运算法则.除此之外，我们还经常遇到下面要讨论的两个重要极限.本节给出判定极限存在的两个准则，并依据它们给出两个重要极限.2．4．1判定极限存在的两个准则准则1（夹逼准则）如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件：（1）从某项起，即n0∈N，当n＞n0时，有yn≤xn≤zn，（2）limn→∞yn=a，limn→∞zn=a，

那么数列{xn}的极限存在，且limn→∞xn=a.准则2单调有界数列必有极限.

在本章2.1节中，我们已经看到有界数列不一定有极限，但准则2指出，单调且有界的数列必有极限.2．4．2两个重要极限公式2.5函数的连续性

连续性是函数的重要性态之一，它反映了自然界中的许多现象，例如气温，物体运动的路程等都随着时间的改变而发生连续变化，当时间的改变量很小时，则该时刻气温的温度，物体运动的路程的改变量也很小.在数学上，我们就可以用函数的连续性来表达这一性质.

下面我们先给出变量的增量（或称改变量）的概念，再引入函数连续的概念.

设y=f（x）在x0的某个邻域内有定义，当自变量从x0变动到x时，称Δx=x-x0为自变量的增量（或改变量），对应函数值从f（x0）变动到f（x0+Δx），称Δy=f（x0+Δx）-f（x0）为函数的增量（或改变量）.变量的增量可以是正数、负数或零.

关于函数的左连续和右连续有下面的一个定理：定理2.8函数f（x）在点x0处连续的充分必要条件是函数f（x）在该点左连续且右连续.

如果函数f（x）在（a，b）内每一点都连续，则称函数y=f（x）在（a，b）内连续，区间（a，b）称为连续区间.如果函数y=f（x）在（a，b）内连续，且该函数在左端点处右连续，在右端点处左连续，则称函数f（x）在闭区间［a，b］上连续.函数f（x）在它的定义域内的每一点都连续，则称f（x）为连续函数.

从几何直观上，区间上的连续函数的图象是一条不间断的曲线.2.5.4闭区间上连续函数的性质

闭区间上的连续函数有一些非常重要的性质，下面仅给出定理的叙述，不做证明.定理2.13（最值存在定理）闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值.即若f（x）在［a，b］上连续，则在［a，b］上至少存在一点ξ1和一点ξ2，对于［a，b］上任一点x，均满足：f（ξ1）≤f（x）≤f（ξ2），称f（ξ1）为f（x）在［a，b］上的最小值，f（ξ2）为f（x）在［a，b］上的最大值.

注:如果定理2.13中“闭区间”和“连续”的条件不具备时，结论可能不成立.如函数y=x在开区间（0，1）内连续，但它既无最大值也无最小值.推论1（有界定理）闭区间上的连续函数有界.定理2.14（介值定理）闭区间上的连续函数必能取到介于最大值和最小值之间的一切值，即函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，c是介于f（x）的最大值M和最小值m之间的一个值，则至少存在一点ξ∈［a，b］，使得f（ξ）=c.

推论2（零点存在定理）若f（x）在闭区间［a，b］上连续，且f（a）·f（b）<0，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0.这个定理也叫做根的存在定理，常用来判断方程是否存有根.【例14】证明方程x^5-3x^3+1=0在区间（0，1）内至少有一个根.

证明:令f（x）=x^5-3x^3+1，则f（x）显然在［0，1］上连续，并且有f（0）=1>0；f（1）=-1<0,则由零点存在定理可知，在（0，1）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=0，即ξ^5-3ξ^3+1=0，ξ∈（0，1）,这说明方程x^5-3x^3+1=0在（0，1）内至少有一个根.第三章函数的导数与微分导数的概念3.1反函数及复合函数求导法则3.3函数和、差、积、商求导3.2隐函数的求导3.4函数的微分3.6高阶导数3.53.1导数的概念

微分学是微积分学的两大部分之一，它又分一元函数微分学和多元函数微分学两个部分.本章讨论的是一元函数微分学，多元函数微分学我们将会在本书（下册）第8章中学习.

一元函数微分学中最基本的概念是导数和微分，导数反映了函数相对于自变量的变化快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少.3.1导数的概念3.1.1引例

在历史上，导数的概念主要起源于两个著名的问题：一个是求非匀变速直线运动的瞬时速度问题；另一个是求曲线的切线问题.1变速直线运动的瞬时速度问题3.2函数和、差、积、商求导法则3.3反函数及复合函数求导法则3.4隐函数以及参数方程的求导3.4.1隐函数的求导方法

以前我们所遇到的函数如y=x^2+1，y=sinx+ln（x+cosx）等都是显函数，其特点是式子左端是因变量，右端是仅关于自变量的表达式.而一个函数的对应法则可以有多种多样的表达方式，所谓隐函数是指给定方程F（x，y）=0中每当x取某一区间内任一值时，按照方程F（x，y）=0总可以解得唯一的y值与其对应，这样就称F（x，y）=0在该区间内确定了一个关于x的隐函数.

前面我们已经知道，把一个隐函数化为显函数，叫作隐函数的显化.另外我们还知道有一些隐函数不易显化或很难显化，这样我们就需考虑直接由方程入手来计算其所决定的隐函数导数的方法.下面由几个具体的例子来说明它的求法.3.5高阶导数3.6函数的微分

在自然科学与工程技术中，常遇到这样一类问题：在运动变化过程中，当自变量有微小增量Δx时，需要计算相应的函数改变量Δy.

对于一个一般的函数y=f（x），Δy与Δx之间的关系比较复杂，这一点不利于计算Δy相应于自变量Δx的增量.能否有较简单的关于Δx的线性关系去近似代替Δy的复杂关系呢？近似后所产生的误差又是怎样的呢？现在我们以可导函数y=f（x）来研究这个问题.3.6.1微分的概念第四章微分中值定理及导数应用微分中值定理4.1图像的描绘4.5函数的极值与最值4.3曲线的凹凸性与拐点4.4函数的单调性4.2曲率4.64.1微分中值定理

导数反映的是函数在某一点处的局部性质，本章我们将学习微分学基本定理，在微分中值定理的基础上进一步从局部性质去推断函数在某个区间上的整体性态.4.1.1微分中值定理

引理（费马定理）设函数y=f（x）在（a，b）内有定义，且在（a，b）内的点ξ处取得最大（小）值；另外y=f（x）在ξ处可导，则必有f′（ξ）=0.1罗尔定理定理4.1设函数f（x）满足：（1）在闭区间［a，b］上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）f（a）=f（b）.则至少存在一点ξ∈（a,b），使得f′（ξ）=0.证明：由条件（1）知，f（x）在［a，b］上存在最大值M和最小值m.

特殊地，若M=m时，则f（x）为常值函数，此时结论总成立；一般地，若M>m时，则由条件（3）f（a）=f（b）知，M和m中至少有一个在区间（a，b）内部取得（不妨设为M），根据费马定理得，至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=0.【例1】设f（x）=（x－1）（x－2）（x－3）（x－4），不求导数证明f′（x）=0有且仅有三个实根.证明：显见f（x）=0有四个实根x=1，2，3，4.考察区间［1，2］，［2，3］，［3，4］，这三个区间显然满足罗尔定理的三个条件，于是得f′（x）=0在其内各至少有一个实根，所以方程f′（x）=0至少有三个实根；另一方面，f′（x）是一个三次多项式，在实数范围内至多有三个实根.

综上可知，f′（x）=0有且仅有三个实根.4.2函数的单调性

单调性是函数的重要特性，这一节将讨论怎样用导数这一工具来判断函数的单调性.首先观察下面的两图（见图4.5），注意观察曲线的单调性与其上切线的走向和切线斜率的符号.

容易看出，曲线的单调性跟其上任一点处的切线走向密切相关，直观上不难理解如下的函数单调性判定定理.定理4.6设函数f（x）在区间I上可导，如果在区间I上满足：（1）在I上f′（x）>0，那么函数f（x）在I上单调增加；（2）在I上f′（x）<0，那么函数f（x）在I上单调减少.证明：在区间I上任意取两点x1，x2（x1<x2），考察区间［x1，x2］满足拉格朗日中值定理，所以在（x1，x2）内至少存在一点ξ，使得f（x2）－f（x1）=f′（ξ）（x2－x1）（x1<ξ<x2），因为x1<x2，所以在区间I上f′（x）>0时，f（x2）－f（x1）>0，函数f（x）在I上单调增加；同理f′（x）<0时，函数f（x）在I上单调减少.【例1】证明函数f（x）=sinx－x+x36在区间［0，+∞）上是单调增加的.

证明：函数f（x）的一阶导数是f′（x）=cosx－1+x22，因为二阶导数f″（x）=x－sinx>0（x>0），所以f′（x）单调增加.即f′（x）>f′（0），又因f′（0）=0，所以f′（x）>0（x>0），从而得f（x）在区间［0，+∞）上是单调增加.4.3函数的极值与最值4.3.1极值定义4.1设f（x）在U（x0）内有定义，则对于U（x0）内异于x0的点x都满足：f（x）<f（x0）

则称函数f（x）在x0处取得极大值，x0称作极大值点；反之，若有f（x）>f（x0）都成立，则称f（x）在x0处取得极小值，x0称作极小值点.函数的极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点称作极值点.

关于函数极值应注意如下几点：（1）函数极值的概念是局部性的，函数的极大值和极小值之间并无确定的大小关系；（2）由极值的定义知，函数的极值只能在区间内部取得，不能取在区间端点上.下面来讨论函数极值的求法.

由费马定理知，对于可导函数，在函数的极值点处函数的导数为零.这就是函数极值存在的必要条件.今后我们称使得函数导数为零的点为函数的驻点.则函数极值存在的必要条件又可以叙述为：定理4.7（极值存在的必要条件）可导函数y=f（x）在x0点取得极值，则点x0一定是其驻点，即f′（x0）=0.据此定理，为我们寻求函数的极值点划定了一定的范围.但是，函数的驻点不一定是函数的极值点.例如，x=0是函数y=x3的驻点但不是极值点.那么驻点具备什么样的条件才是函数的极值点呢？

从几何直观上容易理解，如果曲线通过某点时先增后减，则对应于该点取得极大值；反之，如果先减后增，则对应于该点取得极小值.利用上节的结论容易得到判定函数极值点的方法.

极值存在的判定定理有多个，在这里我们只介绍两个常用的定理.定理4.8（极值存在的第一充分条件）设函数f（x）在x0处连续，在U（0）内可导，如果满足：（1）当x<x0时，f′（x0）>0；当x>x0时，f′（x0）<0，那么f（x）在x0处取得极大值；（2）当x<x0时，f′（x0）<0；当x>x0时，f′（x0）>0，那么f（x）在x0处取得极小值；（3）当f′（x）的符号不发生改变时，则f（x）在点x0处不取得极值.

以上的讨论仅限于可导函数，对于含有不可导点的函数来说，不可导点也可能成为函数的极值点，例如，函数y=|x|在x=0处取得极小值，但却不可导.我们有时称导数不存在的点为可能极值点.

综合以上讨论，我们可按如下步骤求函数的极值：

（1）确定函数的定义域；

（2）求出函数的驻点和不可导的点；

（3）利用充分条件依次判断这些点是否是函数的极值点.4.3.2最值

在生产实践和工程技术中经常会遇到最值问题：在一定条件下，怎样才能使得成本最低、利润最高、原材料最省等等.这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值最小值问题，在这一段中，我们就来讨论函数的最值问题.

设函数f（x）在闭区间［a，b］上连续、（a，b）内可导，且至多有有限个极值点.根据闭区间上连续函数的性质，f（x）在［a，b］上一定存在最值，而且，如果函数的最值是在区间内部取得，那么其最值点也一定是函数的极值点，因而也一定是函数的驻点（由假设）.当然，函数的最值点也可能取在区间的端点上.因此，我们可以按照如下的步骤来求函数的最值：4.4曲线的凹凸性与拐点

在前面两节，我们讨论学习了函数单调性和极值的判定方法，这些对于我们研究函数性态作出函数图形有很大的帮助，在本节中我们就函数的单调性作更细致的研究.

我们首先还是来观察下面的两条曲线，如图4.6所示，看一看它们单调增加的方式有什么不同.

一个很明显的区别是：虽然它们都是单调递增的，但是一个是向上“鼓鼓”地增；另一个是向下“鼓鼓”地增，它们递增的方式是不同的.那么如何判定函数的单调变化方式呢？我们先引入如下定义.4.5图像的描绘4.6曲率第五章不定积分不定积分的概念和性质5.1有理数积分法5.5换元积分法5.3分部积分法5.4不定积分基本公式5.2积分表的使用方法5.65.1不定积分的概念和性质

在前面第3章中，我们经常会遇到求已知函数的导数（或微分）问题.同样在问题研究中有时也会遇到与此相反的问题，即知道了一个函数的导数（或微分），如何求出这个函数.该问题的解决就需要用到积分学的一个基本知识：不定积分.

在微分学中研究的一个基本问题是：已知一个函数怎么样将它的导数（或微分）求出来；而在我们将要学习的积分学中的基本问题是：根据所给函数的导数（或微分）如何来求它原来的函数，这就是“原函数”的概念.5.1.1原函数首先，我们给出原函数的定义.定义5.1设函数F（x）是定义在区间I上的可导函数，如果满足F′（x）=f（x），则我们称在区间I上，F（x）是f（x）的一个原函数.

例如，在（-∞，+∞）上，因为（sinx）′=cosx，所以在（-∞，+∞）内sinx是cosx的一个原函数.另外，我们还会发现，像sinx+1、sinx-3等等，同样也是cosx的原函数，由此可见，一个函数的原函数并不唯一.

那么如何去寻找一个函数的所有原函数呢？它们之间是否存在着某些联系呢？这是我们下面需要讨论的问题.5.2不定积分基本公式5.3换元积分法5.4分部积分法5.5有理函数的积分5.6积分表的使用方法

在前几节里，我们主要讨论了一些简单函数的不定积分求法.而在实际应用或实践工作中，我们也许会遇到一些比较繁杂函数的不定积分求解问题，为了迅速而准确的计算它们，我们对一些常见函数的积分汇编成表格：不定积分表，供大家在实际计算中应用.

此表共分15大类，共计153个公式（见教材后附“积分表”）.当我们需要计算某个不定积分时，可以找到相应的类型，将被积函数与表中的被积函数相对照，确定出公式中的各个系数，然后将各系数代到结果中去即可.但要注意的一点是：有时被积函数在系数不同的条件下有不同的结果，这就要求我们需要验证系数满足的条件后，再代到相应的公式中去.第六章定积分

定积分的概念6.1反常积分的审敛法γ函数6.5定积分的计算6.3广义积分6.4微积分基本公式6.2定积分的应用6.66.1定积分的概念

在积分学中，定积分是另一个基本问题.我们从几何与力学问题引出定积分的定义，然后讨论它的性质与计算方法.可以说，只有定积分才能将微积分思想得以真正的完整的体现.

为了便于理解，我们首先从这样两个例子讲起.6.1.1引例引例1面积问题.设函数y=f（x）≥0在区间［a，b］上是连续的，如图6.1所示，求由曲线y=f（x），x=a，x=b以及x轴所围成图形（该图形称为曲边梯形）的面积A.分析该图形的面积没有现成的计算公式，如果用传统的计算思想和方法去求解显然是行不通的.微积分却突破了原先的思维，

提出了一种全新的思维方式：化整为零取近似；聚零为整求极限.

下面，运用这种思想和方法来求曲边梯形的面积.6.1.4定积分的性质

为了计算和理论上的需要，我们在此介绍一下定积分的性质.这些性质都可以利用定积分的定义、极限的性质和运算法则推导得出.另外，下列性质中的函数在其积分区间上都假定是可积的，积分上下限在没有特别指明的情况下，下限不一定比上限小.6.2微积分基本公式

从上节的例子可以看出，若利用定义去计算定积分是比较烦琐的；若利用它的几何意义来计算定积分，虽然简单但是却很有限.那么，对于一般的定积分而言，有没有一种简单而有效的方法呢？微积分基本公式就是求定积分最简练的方法.6.2.1积分上限函数定义6.2设函数y=f（x）在区间［a，b］上可积，对任意x∈［a，b］，y=f（x）在［a，x］上可积，且它的值与x构成一种对应关系，记作6.3定积分的计算

微积分基本公式将定积分的计算与不定积分联系起来，于是定积分的计算也有换元和分部积分两种基本方法.6.3.1换元积分法定理6.3如果两定积分∫baf（x）dx和∫βαf（φ（t））φ′（t）dt满足下列条件：（1）f（x）在区间［a，b］上连续；（2）φ（t）在区间［α，β］上有连续的导数，且φ（α）=a，φ（β）=b；（3）f（φ（t））在区间［α，β］上连续，则∫baf（x）dx=∫βαf（φ（t））φ′（t）dt.

对上述定理的说明：

定理中的三个条件是为了保证函数f（x）和f（φ（t））在相应区间上连续，从而使得它们的积分存在.另外，定理还指出，定积分在换元的同时要换限，即原来的上限对应现在的上限，原来的下限要对应现在的下限.

下面通过几个例子，熟悉换元积分法的用法.6.4广义积分

在前面讨论定积分时，被积函数要么在闭区间上是连续的，要么在区间上只有有限个间断点且是有界的函数.而在实际问题中，如果当被积函数不满足这些条件时，我们又如何去研究类似积分问题呢？本节将介绍两类类似于定积分的情况：无穷区间上的积分和无界函数的积分，这两种情况下的积分称为广义积分，相应的前面所讨论的定积分通常称为常义积分.6.4.1无穷区间上的广义积分

先看这样一个例子：

引例：求由x轴，y轴以及曲线y=e-x所围的，延伸到无穷远处的图形的面积A，如图6.11所示.6.5反常积分的审敛法6.6定积分的应用

在本节中，我们主要利用微元法讨论定积分在几何和物理上的一些应用.6.6.1微元法

在利用定积分的定义计算量F=f（x）在区间［a，b］上的值时，根据定积分的定义，我们一般会从四个步骤来进行分析计算：分割、近似表示、求和式、取极限.其中第二步是关键的一步，因为最后的被积表达式的形式就是在这一步中被确定的，第三、四步只不过是对被积函数在区间［a，b］上的无限累加.于是，求量F可以简化成二步：（1）在区间［a，b］上任取一代表区间［x，x+Δx］，然后定出在该代表区间上量F的微元dF=f（x）dx.（2）将量微元dF在区间［a，b］上积分（即对dF无限累加），从而得到F=∫baf（x）dx，

以上求量F的方法称为微元法.对微元法的应用需注意如下两点：（1）在代表区间［x，x+Δx］上确定微元时，一般本着“以常代变”、“以直代曲”、“以匀代不匀”的思路来分析问题中的数量关系，从而得到dF=f（x）dx的关系式.（2）微元dF=f（x）dx的表达一定要准确，即dF与实际函数的改变量ΔF的误差是关于Δx的高阶无穷小（ΔF-dF=o（Δx）），否则积分求得的值不是量F.下面就利用微元法来讨论定积分在几何和物理上的一些应用.第七章空间解析几何与向量代数空间直角坐标系7.1曲面与空间曲线7.5向量的数量积和向量积7.3平面与空间直线7.4向量代数7.27.1空间直角坐标系

在平面解析几何中，通过建立平面直角坐标系把平面上的点与有序实数对建立了一一对应关系，从而将平面上的图形与代数方程联系起来，进而用代数的方法研究几何问题.空间解析几何也是依照类似的方法建立起空间中的点与有序数组间的一一对应关系，从而将空间图形与代数方程联系起来，并用代数的方法研究空间几何问题.定义7.1在空间中任取一点O，过点O作三条两两垂直的数轴，其中点O称为坐标原点.三条数轴分别是x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），它们三者间的方向符合右手定则，即右手握住z轴，并拢的四指由x轴的正方向自然弯曲指向y轴的正方向，这时拇指所指的方向就是z轴的正方向，

如图7.1所示.把这三条数轴统称为坐标轴.我们把由坐标原点O及符合右手定则的这三条坐标轴，称为一个空间坐标系.如图7.2所示.

将平面xOy，yOz，zOx称为坐标平面.三个坐标面将整个空间分成了八个部分，每一部分称为一个卦限.由x轴、y轴、z轴的正向所围成的空间称为第Ⅰ卦限；在xOy面上方其余三个卦限按逆时针方向依次规定为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限；在xOy面下方与第Ⅰ卦限所对的是第Ⅴ卦限；其余仍按逆时针方向依次规定为第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.如图7.3所示.

建立坐标系之后，我们就可以将空间中的点与数对应起来了.7.1.2空间中点的坐标7.2向量代数

向量是解决数学、物理及工程技术等问题的有力工具，本节主要向大家介绍向量的相关概念及向量的线性运算.7.2.1向量的概念

在日常生活中，我们常会遇到两种类型的量，一类是只有大小的量，如长度、面积、温度、质量等；另一类是不仅有大小而且有方向，如力、速度、位移等，我们把前者的量称为数量或标量；后者的量称为向量或失量.在几何上我们曾经学习过有向线段，它是一条既有长度又有方向的线段，于是，我们可以用有向线段来表示向量：即用有向线段的长度表示向量的大小；有向线段的方向表示向量的方向.

例如，以A为起点，B为终点的向量可记为AB.同时，向量也可以用黑体或粗体字母来表示，例如，向量a，b，c等；另外，在书写上，我们还可以用在字母上方标注向右的箭头的形式表示向量，例如，向量a，b，c等.

在数学上我们所讨论的向量一般指的是自由向量，即只考虑其大小和方向，忽略向量所在的位置的向量.如果两向量a，b的大小和方向相等，则称两向量是相等或相同的向量，记为a=b.

向量的大小称为向量的模，例如，向量AB的模可记为|AB|，向量a的模记为|a|.其中模等于1的向量，称为单位向量，记为a0；模等于0的向量，称为零向量，记为0或0，零向量的方向是任意的.

当两向量a与b所在的直线平行或垂直时，称两向量平行或垂直，记为a∥b和a⊥b.

最后,给出两向量的夹角的定义.定义7.2设给定的两个向量a和b，将向量a或者b平移，使之有共同的起点，由一向量的正方向转到另一向量的正方向所转过的最小正角，称为两向量的夹角，记为（a，b）或（b，a），如图76所示.可见，两向量的夹角范围是0≤（a，b）≤π.7.2.2向量的线性运算1向量的和

我们曾经在物理上学习过力的合成与分解，其实运用的就是有关向量的和或差运算，在此基础上，我们给出向量的加法法则.定义7.3（向量加法的平行四边形法则）设两个不平行的非零向量a和b，在平面上任取一点O，作OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则向量OC称为向量a和b的和向量，记为a+b，如图77所示.称这种求两向量和的方法为平行四边形法则.

由图7.7可见，OA=BC，如果将向量a直接平移到BC的位置，我们同样也能求得OC这个向量.定义7.4（向量加法的三角形法则）在平面上取一点O，作OB=b，作BC=a，以OB，BC为邻边作三角形OBC，则向量OC称为向量a和b的和向量，如图78所示.我们称这种求两向量和的方法为三角形法则.【例1】计算AB+BC+CD+DE的和向量.解:AB+BC+CD+DE=AC+CD+DE=AD+DE=AE.

由此可见，利用向量的三角形法则来计算向量的和是非常方便的.

利用向量的加法法则，可以帮助我们来求向量的和，但向量的差如何来求呢？我们还是用向量的加法法则.只要规定向量的负向量即可.

如果某一向量与向量b的模相等，且方向与向量b的方向相反，那么称该向量为向量b的负向量，记为-b.

我们把向量a与向量-b的和向量称为两向量a和b的差向量，即a+（-b）=a-b，记为a-b，2数与向量的乘积

我们把数λ与向量a的乘积λa，称为数与向量的乘积.它是一个与向量a平行的向量，该向量的模等于向量a的模的|λ|倍，即|λa|=|λ||a|，

当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ=0时，λa就成了零向量，方向是任意的.另外，数与向量的乘积有下面一个重要的结论：定理7.1设有非零向量a和b，a∥b的充分必要条件是存在唯一一个实数λ，使得b=λa.证:充分性是显然的.

必要性设b∥a，取|λ|=|b||a|，当a和b同向时λ取正值；当a和b异向时λ取负值.于是有b=λa.

再证唯一性设b=λa，b=μa，两式相减得（λ-μ）a=0，

即|λ-μ||a|=0，因为a是非零向量，所以|λ-μ|=0，

即λ=μ.想一想，当定理中的“非零向量”的条件去掉，结论还成立吗？

我们把向量的和运算及数与向量的乘积运算，称为向量的线性运算.

向量的线性运算满足如下的运算律：

（1）交换律：a+b=b+a，

（2）结合律：（a+b）+c=a+（b+c），

λ（ka）=（λk）a（其中λ，k是常数），

（3）分配律：（λ+k）a=λa+ka，

λ（a+b）=λa+λb（其中λ，k是常数）.【例2】试用向量的线性运算证明：三角形的中位线平行且等于底边的一半.解:设M，N分别是AB，AC中点，如图7.10所示.根据向量的加法法则，知MN=MA+AN，BC=BA+AC，因M，N分别是AB，AC中点，于是有MA=12BA，AN=12AC，故MN=12（BA+AC）=12BC，所以由数与向量乘法，得MN∥BC，且|MN|=12|BC|，即命题成立.7.2.3向量的坐标表示1向量在轴上的投影

为了便于理解，我们首先给出空间一点在轴u上的投影的概念.定义7.5已知空间中的点A和轴u，过点A作一平面垂直相交轴u于点A′，称点A′为点A在轴u上的投影，如图7.11所示.

于是，向量在轴上的投影可以表述为：定义7.6已知向量AB的起点A和终点B在轴u上投影分别为A′和B′，我们把A′B′在轴u上的数量称为向量AB在轴u上的投影，如图712所示.记为PrjuAB=A′B′.如果轴u是数轴，设A′，B′在数轴上的坐标分别为u1和u2，那么，A′B′的数量应是A′B′=u2-u1，即PrjuAB=u2-u1.

向量在轴上的投影有下面的性质：性质1向量AB在轴u上的投影等于向量的模与向量和轴u夹角θ余弦的乘积，即PrjuAB=|AB|cosθ.性质2两个向量的和向量在轴u上的投影等于各个向量在轴u上投影的和，即Prju（a+b）=Prjua+Prjub.此性质还可以推广到任意有限个的情况，即Prju（a1+a2+…+an）=Prjua1+Prjua2+…+Prjuan.性质3数与向量乘积在轴u上的投影等于数乘以向量在轴u上的投影，即Prju（λa）=λPrjua（其中λ是常数.2向量的坐标表示

前面我们学习了用向量的平行四边形法则或三角形法则来表示向量的和、差运算，但要更深入地图7.13

研究向量以及用向量解决实际问题的话，还须借助于代数的方法.为此，我们要引入向量的坐标概念，并用向量的坐标表示向量的各种运算.

在空间直角坐标系中，分别引进x轴、y轴、z轴正方向上的三个单位向量i，j，k，称此三个单位向量为基本单位向量，这样就建立了一个空间直角向量坐标系，如图7.13所示.

设空间中有一任意向量a，将a平移后，使得a的起点与坐标原点O重合，如图714所示.图7.14

若点M的坐标为（ax，ay，az），即a=OM，由点在轴上的投影知，点M在x轴、y轴、z轴上的投影分别为A（ax，0，0）、B（0，ay，0）、C（0，0，az），由向量的加法法则，得a=OM=ON+NM=OA+AN+NM=OA+OB+OC，

又因为OA=axi，OB=ayj，OC=azk，于是a=axi+ayj+azk.

上式称为向量a按基本单位向量的分解式；向量axi、ayj、azk分别称为向量a在x轴、y轴、z轴上的分向量.根据向量在轴上投影的定义，有Prjxa=OA=ax，Prjya=OB=ay，Prjza=OC=az，即ax，ay，az是向量a分别在x轴、y轴、z轴上的投影.由此看来，向量a与一组有序数ax，ay，az相对应；反之，给定一组有序数ax，ay，az按照上述相反的过程，同样能确定一个向量a，这样，向量a就与一组有序数ax，ay，az建立了一一对应关系.从而有下面的定义：定义7.7设向量a在x轴、y轴、z轴上的投影分别为ax，ay，az，于是有a=axi+ayj+azk成立，这时称ax，ay，az为向量a的坐标，记为a={ax，ay，az}.另外，上式a={ax，ay，az}又称为向量的坐标表达式.显然，a={ax，ay，az}与a=axi+ayj+azk是同一向量的两种不同表达形式，两种形式是等价的【例3】已知两点M（x1，y1，z1）、N（x2，y2，z2），a=MN，求：（1）向量a在三坐标轴上的投影；（2）向量a的坐标.

解（1）因为M，N的横坐标分别是x1，x2，所以Prjxa=x2-x1，同理，可得Prjya=y2-y1，Prjza=z2-z1.（2）由向量的坐标定义知a=（x2-x1）i+（y2-y1）j+（z2-z1）k，所以，向量a的坐标为{x2-x1，y2-y1，z2-z1}.可见，任一向量的坐标等于其终点与起点相应坐标的差.同时，若向量a={ax，ay，az}，b={bx，by，bz}及数λ，则两向量之间的线性运算可以表示为：a±λb={ax±λbx，ay±λby，az±λbz}.3向量的模与方向角（1）向量模的坐标表示

设向量a={ax，ay，az}，把向量a平移，使得向量a的起点与坐标原点O重合，同时设这时的终点为M，如图715所示，则M的坐标为M（ax，ay，az），由两点间的距离公式，得|a|=|OM|=（ax-0）^2+（ay-0）^2+（az-0）^2=a^2x+a^2y+a^2z，上式即为向量的模的坐标表达式.同理，我们还可以得到：当起点是M（x1，y1，z1），终点是N（x2，y2，z2）的向量MN的模为|MN|=（x2-x1）^2+（y2-y1）^2+（z2-z1）^2.（2）向量的方向角与方向余弦

设向量a为非零向量，则向量a的方向可由它与三条坐标轴正向的夹角α，β，γ来唯一确定，称角α，β，γ为向量a的方向角.

下面讨论方向角的有关表示和性质.

设非零向量a={ax，ay，az}，α，β，γ是它关于x轴、y轴、z轴的方向角.由向量在轴上的投影性质1，知Prjxa=ax=|a|cosα，即cosα=ax|a|=axa2x+a2y+a2z，同理，可得cosβ=ay|a|=aya2x+a2y+a2z，cosγ=az|a|=aza2x+a2y+a2z.这时称cosα，cosβ，cosγ为向量a的方向余弦或向量a的方向数.显然，一个向量的方向余弦满足：cos2α+cos2β+cos2γ=1.

且a0={cosα，cosβ，cosγ}是a的同方向上的单位向量.【例4】设有两点A（1，2，-3），B（-1，1，2），求向量AB的模和方向余弦.解:AB={-1-1，1-2，2-（-3）}={-2，-1，5}，所以该向量的模为|AB|=（-2）2+（-1）2+52=30，于是，向量AB的方向余弦分别为cosα=-230，cosβ=-130，cosγ=530.7.3向量的数量积与向量积

两向量间的乘法运算分：数量积和向量积两种，下面分别讨论它们的定义、运算及性质.首先，我们从物理中功的求法，引入两向量的数量积的概念.7.3.1两向量的数量积引例1如图7.16所示，一个物体在恒力F作用下，沿直线从A点运动到了B点，其中A到B的位移是s，力F与位移s的夹角为θ，问在该过程上力F对物体所做的功是多少？

分析由物理知识，容易得到W=|F||s|cosθ，F，s是两个向量（矢量），而W是一个数量（标量）.在实际问题中，我们时常也会遇到类似于计算功的这种情况，为此，引入两向量的数量积的概念.1．数量积的定义及性质定义7.8设两个向量a和b，它们的模及夹角余弦的乘积称为向量a与b的数量积（又称点积或内积），记为a·b，即a·b=|a||b|cos（a，b），依照此定义，力F对物体所做的功W可以简记为W=F·s.再利用向量在轴上的投影性质1，得Prjab=|b|cos（a，b），Prjba=|a|cos（a，b），

所以a·b=|a||b|cos（a，b）=|a|Prjab=|b|Prjba.另外，由数量积的定义，我们还能得到数量积具有下面的性质：（1）a·a=|a||a|=|a|^2，（2）a·0=0，（3）交换律：a·b=b·a，（4）分配律：（a+b）·c=a·c+b·c，（5）结合律：（λa）·b=λ（a·b）（其中λ是常数）.7.4平面与空间直线7.5曲面与空间曲线第八章多元函数微分学多元函数的概念8.1偏导数在几何上的应用8.5全微分8.3多元复合函数求导法则8.4偏导数8.2方向导数与梯度8.6多元函数的极值与最值8.78.1多元函数的概念和二元函数的极限与连续

在前面我们所讨论的函数，自变量的个数只有一个（称一元函数）.但在许多的实际问题中，常常会遇到自变量的个数不止一个的情况，我们把这样的函数称为多元函数.

从一元函数到多元函数，其结论或定理有时会出现质的差别，而从二元函数再到多元函数，绝大多数的概念和结论都可以通过类推就能得到.所以，本章主要以二元函数为例，讲解有关多元函数微分学的一些基础知识.8.1.1多元函数的概念1.区域

在一元函数中，自变量只有一个，所以我们把自变量看做是数轴上的点，并且有相应的点的邻域的概念.当自变量的个数增加到多个时，自变量就不能只局限在数轴上取值了，而是拓展到平面或空间上了.因此，邻域的概念也相应地“拓展”了，即由原来的一维空间R1，推广到了二维空间R2，进而到n维空间Rn.下面主要以二维空间R2为例讲解邻域的概念.（1）邻域定义8.1设P0（x0，y0）是坐标面xOy上的一点，δ是某一正数，在xOy面上到P0的距离小于δ的点的集合称为点P0的δ邻域，记为U（P0，δ），即U（P0，δ）={（x，y）|（x-x0）2+（y-y0）2<δ}，其中点P0（x0，y0）称为该邻域的中心，δ为该邻域的半径.

点P0的δ邻域，在几何上我们可以理解为，以点P0为圆心，以δ为半径的圆的内部点的集合.如图8.1所示.

当U（P0，δ）内不包含中心点P0时，我们称此邻域为P0的空心（或去心）δ邻域，记为（P0，δ），即（P0，δ）={（x，y）|0<（x-x0）2+（y-y0）2<δ}.在几何上，（P0，δ）比U（P0，δ）只少了一个点P0（x0，y0）.

另外，在讨论问题时，若不需要强调邻域半径，则点P0的邻域可简记为U（P0），它表示点P0的某邻域.（2）区域的概念

设平面上有一个点集（以点为元素构成的集合）A，如果对于A内的任意两点P1和P2，能用只属于A内的一条折线连结起来，则称点集A是连通的.如图8.2所示.

设E是平面上的一个点集，点P是E内的一点（记P∈E），如果存在P的某邻域U（P），使得U（P）也在E内，即U（P）E，如图8.3所示，那么称点P为点集E的内点；如果U（P）既含有E内的点，又含有E外的点，那么称点P为区域E的边界点；所有边界点构成的集合，称为区域E的边界.如果E内的点都是E的内点，那么点集E称为开集；如果点集E的边界点也属于点集E，则称E为闭集.定义8.2连通的开集称为开区域，简称区域；开区域连同它的边界点构成的点集，称为闭区域.例如，点集A={（x，y）|x2+y2≤a2}表示图84(1)所示的一闭区域；点集B={（x，y）|x+y>0}表示图8.4(2)所示的一开区域.

由此我们得到，E的内点必属于E；E的外点必不属于E；E的边界点有可能属于E，也有可能不属于E.另外，还有一类称为聚点的点.定义8.3如果对于任意给定的δ>0，点P的去心邻域（P0，δ）内总有E中的点，则称P是E的聚点.

如果一个区域D内的任意两个点之间的距离都不会超过某一正数M，则称区域D为有界区域；否则称为无界区域.例如，图8.4(1)是一个有界区域；图8.4(2)是一个无界区域.3多元函数的概念（1）二元函数的概念

在几何上，我们都知道圆柱体的体积V与它的半径r和高h存在着V=πr2h的关系；在物理上，对于一个纯电阻电路来讲，在电阻R上消耗的功率P与电阻R和电流I存在着P=I2R的关系.它们虽然分属不同的学科，但它们却表明同样一种关系：那就是将一个量与另外两个量形成了某种对应，在数学上将其抽象概括，即得到：定义8.4设有两个变量x，y，如果当自变量x，y在某一区域D内取一确定的值x，y时，通过对应法则f，总有唯一一个数值z与之对应，那么称对应法则f是自变量x，y到z的二元函数.记为z=f（x，y），其中称x，y为自变量；z为因变量；区域D称为定义域；所有函数值构成的集合称为值域.（2）多元函数的概念

类似地，我们可定义三元函数u=f（x，y，z），以及三元以上的函数u=f（x1，x2，…，xk）（k=4，5，…，n），我们把二元或二元以上的函数称为多元函数.

同一元函数一样，多元函数也有两要素：对应法则和定义域.

一元函数和二元函数在定义域和所代表的图形上也是有差别的：一元函数的定义域是数轴上的点的集合，二元函数的定义域是平面上点的集合；一元函数的图形是平面上的曲线，而二元函数代表的图形一般是空间上的曲面，如图8.5所示.2.二元函数的连续性

与一元函数的连续类似，我们可得到二元函数的连续的定义：定义8.6设二元函数z=f（x，y）的定义域为D，点P（x0，y0）是D的聚点，且P∈D.如果有limx→x0y→y0f（x，y）=f（x0，y0）,则称函数z=f（x，y）在（x0，y0）点连续,称（x0，y0）是函数的连续点.另外，我们还可以通过函数的自变量和因变量的增量来定义二元函数的连续：

定义8.7设Δx=x-x0，Δy=y-y0是函数z=f（x，y）的自变量（x，y）在（x0，y0）处的增量，相应地，Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）是函数在（x0，y0）处的全增量.如果有limΔx→0Δy→0Δz=0,则称二元函数z=f（x，y）在（x0，y0）处连续.设函数z=f（x，y）在D上有定义，D内的每一点都是函数定义域的聚点.如果函数z=f（x，y）在D内每一点处都连续，那么称函数z=f（x，y）在D上是连续，或者说函数z=f（x，y）在D上是连续函数.【例3】设函数f（x，y）=cosx，证明函数f（x，y）在R2上是连续函数.

解:设P0（x0，y0）∈R2.对任意ε>0，由于cosx在x0处是连续的，故存在δ>0，当|x-x0|<δ时，恒有|cosx-cosx0|<ε，上述的δ作为P0（x0，y0）的邻域U（P0，δ）中的δ，则当P（x，y）U（P0，δ）时，显然有|x-x0|≤ρ（P，P0）<δ，从而|f（x，y）-f（x0，y0）|=|cosx-cosx0|<ε，即函数f（x，y）=cosx在P0（x0，y0）点是连续的，根据P0（x0，y0）的任意性知，f（x，y）=cosx在R2上是连续函数.

如果函数z=f（x，y）在（x0，y0）处不连续，则称点（x0，y0）是函数的一个间断点.对于连续函数，我们仍可得到与一元函数类似的一些结论：（1）有限个连续函数进行四则运算（作商时分母不为零）后得到的函数仍是连续的；2）连续函数进行有限次复合后得到的函数仍是连续的.

由于多元基本初等函数是经过有限次的四则运算或有限次的复合运算而形成的，且可以由一个式子表达的函数称为多元初等函数.像z=ln（x2+y2），z=xyx2+y2等，都是二元初等函数.（显然，所有的多元初等函数在其定义域区域内都是连续的.对于