概率论与数理统计全套完整PPT教学课件

随机事件与概率《概率论与数理统计》01全套课件目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.1随机事件及其运算一、随机试验二、样本空间三、随机事件四、随机事件间的关系和运算一、随机试验随机现象——在个别试验中呈现不确定的结果,而在大量重复试验中结果呈现某种规律性的现象.这种规律性称为统计规律性.概率论是一门研究随机现象及其统计规律的学科.一、随机试验为了研究随机现象的统计规律性,就要对客观事物进行观察,这个过程叫做试验.概率论所讨论的试验称为随机试验,它具有以下三个特点:在相同的条件下试验可以重复进行;01OPTION02OPTION03OPTION每次试验的结果不止一个,但是试验之前可以明确每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.随机试验的例子例1一、随机试验抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；某快餐店一天内接到的订单量；航班起飞延误的时间；一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。二、样本空间

二、样本空间在前面的例子中:抛掷一枚均匀硬币的样本空间某快餐店一天内接到的订单量的样本空间航班起飞延误时间的样本空间01OPTION02OPTION03OPTION

这些在一次试验中可能出现，也可能不出现的一类结果称为随机事件，简称为事件.从集合的角度:一个随机试验所对应的样本空间的子集称为一个随机事件.

三、随机事件仅含一个样本点的随机事件称为基本事件.在事件的定义中，注意以下几个概念：01OPTION

02OPTION03OPTION

三、随机事件在事件的定义中，注意以下几个概念：

04OPTION05OPTION三、随机事件例

2

三、随机事件

（1）事件的包含1、随机事件之间的关系

四、随机事件之间的关系与运算

（2）事件的相等

（3）互不相容事件四、随机事件之间的关系与运算2、随机事件之间的运算（1）事件的并

事件的并

四、随机事件之间的关系与运算2、随机事件之间的运算（2）事件的交（积）

四、随机事件之间的关系与运算事件的交

2、随机事件之间的运算（3）事件的差

四、随机事件之间的关系与运算2、随机事件之间的运算（4）对立事件

四、随机事件之间的关系与运算

2、随机事件之间的运算从随机事件间的关系和运算可以看出，

01OPTION02OPTION03OPTION①交换律

②结合律

③分配律

④对偶律

3、事件的运算性质

例31234

3、事件的运算性质

例3567

3、事件的运算性质目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式

有

1.2概率的定义及其性质

由概率的三条公理，可以推导出概率的一些性质.

1.2概率的定义及其性质

1.2概率的定义及其性质

例4

1.2概率的定义及其性质目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.3等可能概型一、古典概型二、几何概型

一、古典概型古典概型的基本思路:随机试验的样本空间只有有限个样本点；每次试验中各个样本点发生的可能性相等.AB

解

（抽奖问题）例4

一、古典概型

这个结果和次序无关.因此,所求概率为一、古典概型

二、几何概型碰面问题例5甲、乙两人约定在中午的12时到13时在学校咖啡屋碰面，并约定先到者等候另一人10分钟，过时即可离去.求两人能碰面的概率.解

二、几何概型

二、几何概型目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.4条件概率与事件的相互独立性一、条件概率二、事件的相互独立性定义1

一、条件概率条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质,即:对可列无限个两两不相容事件可列可加性公理2公理3公理1

一、条件概率相仿可以得到如下性质:以及等类似七条性质.

一、条件概率

一、条件概率注意：相互独立与互不相容有何区别？独立性往往蕴含在事物的内部.

二、事件的相互独立性不难计算

例6证明

二、事件的相互独立性

也相互独立.即有相应可列出其它等式.定义2

二、事件的相互独立性三个等式都成立.定义3

二、事件的相互独立性

四个等式都成立.定义4

二、事件的相互独立性

二、事件的相互独立性一个产品或一个元件、一个系统的可靠性可以用可靠度来刻划.所谓可靠度指的是产品能正常工作的概率.

以下讨论中,假定一个系统中的各个元件能否正常工作是相互独立的.系统可靠性问题例7二、事件的相互独立性

二、事件的相互独立性两个基本模型:

二、事件的相互独立性两个基本模型:目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式

则称该事件组为完备事件组.完备事件组

全概率公式与贝叶斯公式

定理1全概率公式

全概率公式与贝叶斯公式定理2贝叶斯公式

贝叶斯公式是已知“结果”，推断该“结果”由某“原因”发生的概率。原因A1原因A2原因An结果B……

全概率公式与贝叶斯公式求

（1）取到白球的概率；

（2）已知取到的是白球，则这个白球属于第二个箱子的的概率。有三只箱子：例8第一个箱子中有四个黑球和一个白球；第二个箱子中有三个黑球和三个白球；第三个箱子中有三个黑球和五个白球。任取一箱,再从中任取一个球.全概率公式与贝叶斯公式解

全概率公式与贝叶斯公式例9某种疾病的患病率为0.1%，某项血液医学检查的误诊率为1%，即非患者中有1%的人验血结果为阳性.患者中有1%的人验血结果为阴性。现知某人验血结果是阳性,求他确实患有该种疾病的概率.

全概率公式与贝叶斯公式

解因此所求概率为

全概率公式与贝叶斯公式总结/summary两个概念：随机事件与概率基本理论：随机事件的性质与运算

随机事件的相互独立性与乘法公式几类概率模型：等可能概型（包括古典概型、

几何概率）

条件概率

全概率公式；贝叶斯公式谢谢观赏《概率论与数理统计》随机变量及其分布《概率论与数理统计》02目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分布常用的离散型随机变量常用的连续型随机变量随机变量函数的分布目录/Contents2.1随机变量及其分布一、随机变量的定义二、随机变量的分布函数三、离散型随机变量及其分布律四、连续型随机变量及其密度函数许多随机试验的结果与实数密切联系,也有些随机试验结果从表面上看并不与实数相联系.下面我们通过几个例子来引入随机变量的概念.一、随机变量的定义

例1抛掷一颗均匀的骰子，出现的点数X的取值样本空间={正面朝上,反面朝上}样本空间不是一个数集.但是我们可以人为地把试验结果和实数对应起来.令样本点X的取值正面朝上→1反面朝上→0一、随机变量的定义

引进随机变量后,随机事件及其概率可以通过随机变量来表达.定义1

一、随机变量的定义随机变量离散型随机变量连续型随机变量如果一个随机变量仅可能取有限或可列个值，则称其为离散型随机变量、AB如果一个随机变量的取值充满了数轴上的一个区间（或某几个区间的并），则称其为连续型随机变量。一、随机变量的定义随机变量的直观解释

随机变量X是样本点的函数，这个函数的自变量是样本点，可以是数，也可以不是数，定义域是样本空间，而因变量必须是实数。这个函数可以让不同的样本点对应不同的实数，也可以让多个样本点对应于一个实数。一、随机变量的定义

定义2

二、随机变量的分布函数例1设一盒子中装有10个球，其中5个球上标有数字1,3个球上标有数字2，2个球上标有数字3。

二、随机变量的分布函数

解二、随机变量的分布函数

二、随机变量的分布函数

二、随机变量的分布函数分布函数的性质

02

分布函数单调不减;

二、随机变量的分布函数（1）非负性定义3

（2）规范性

三、离散型随机变量及其分布律换句话说，如果一个随机变量只可能取有限个值或可列无限个值,那么称这个随机变量为（一维）离散型随机变量.一维离散型随机变量的分布律也可表示为：三、离散型随机变量及其分布律

例2

求三、离散型随机变量及其分布律解

三、离散型随机变量及其分布律

定义4四、连续型随机变量及其密度函数

概率密度函数满足下面两个条件:12

四、连续型随机变量及其密度函数

12

这两个条件同样刻划了密度函数的特征性质,即如果有实值函数具备这两条性质,那么它必定是某个连续型随机变量的概率密度函数.

四、连续型随机变量及其密度函数

分布函数和概率密度函数的关系在几何上的体现:

四、连续型随机变量及其密度函数

连续型随机变量的性质

1

2四、连续型随机变量及其密度函数连续型随机变量的性质

四、连续型随机变量及其密度函数

例3求解

四、连续型随机变量及其密度函数

解(2)四、连续型随机变量及其密度函数目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分布常用的离散型随机变量常用的连续型随机变量随机变量函数的分布目录/Contents2.2常见离散型随机变量一、二项分布二、泊松分布三、超几何分布四、几何分布与负二项分布

一、二项分布

在概率论中,二项分布是一个重要的分布.在许多独立重复试验中,都具有二项分布的形式.一、二项分布

一、二项分布

某人向同一目标重复独立射击5次，每次命中目标的概率为0.8，求（1）此人能命中3次的概率；（2）此人至少命中2次的概率。例412一、二项分布

二、泊松分布泊松分布也是一种常用的离散型分布，它常常与计数过程相联系，例如某一时段内某网站的点击量；早高峰时间段内驶入高架道路的车辆数；一本书上的印刷错误数。01OPTION02OPTION03OPTION二、泊松分布

例5解

二、泊松分布已知一购物网站每周销售的某款手表的数量X服从参数为6的泊松分布.问周初至少预备多少货源才能保证该周不脱销的概率不小于0.9.假定上周没有库存,且本周不再进货.例6二、泊松分布

二、泊松分布解

定理（泊松定理）

泊松定理告诉我们:二项概率可以用泊松分布的概率值来近似.二、泊松分布设某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个投保人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年中这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率．例7二、泊松分布

二、泊松分布解

三、超几何分布

三、超几何分布

四、几何分布与负二项分布几何分布也是一种常用的离散型分布，例如01OPTION02OPTION03OPTION

四、几何分布与负二项分布例8

证明

四、几何分布与负二项分布这个例题说明，几何分布具有无记忆性的性质.

四、几何分布与负二项分布目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分布常用的离散型随机变量常用的连续型随机变量随机变量函数的分布目录/Contents2.3常用的连续型随机变量一、均匀分布二、指数分布三、正态分布

一、均匀分布

一、均匀分布

一、均匀分布例9

一、均匀分布解

一、均匀分布解

一、均匀分布

二、指数分布

指数分布的密度函数图形如下:指数分布的分布函数图形如下:

二、指数分布证明

例10

二、指数分布

三、正态分布

正态分布的密度函数曲线图形

三、正态分布正态分布概率密度函数的曲线特征:

132

三、正态分布正态分布概率密度函数的曲线特征:4

三、正态分布

标准正态分布密度函数图形

三、正态分布关于标准正态分布有以下结果:

132三、正态分布

例11解三、正态分布

三、正态分布

查表并计算可得得

例12解三、正态分布三、正态分布

例13

解

▲▲▲右图为分位数的几何意义

标准正态分布的分位数概念:

三、正态分布

例14三、正态分布解

三、正态分布

综述所求，可知，在此次考试中，分数在88.384以上的，为等级A，分数在73至88.384之间的，为等级B，分数在57.616至73之间的，为等级C，分数在57.616以下的，为等级D。三、正态分布目录/Contents2.12.22.32.4随机变量及其分布常用的离散型随机变量常用的连续型随机变量随机变量函数的分布目录/Contents2.4随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布

……概率…………概率……

则Y=g(X)的分布律为一、离散型随机变量函数的分布

例151

2

一、离散型随机变量函数的分布

解

一、离散型随机变量函数的分布

例16解

二、连续型随机变量函数的分布

01OPTION02OPTION03OPTION

二、连续型随机变量函数的分布

1324

二、连续型随机变量函数的分布

例17解直接对上式求导有

二、连续型随机变量函数的分布

二、连续型随机变量函数的分布

例18解

定理1定理2

二、连续型随机变量函数的分布总结/summary随机变量分布函数离散型随机变量：分布律二项分布、泊松分布、几何分布连续型随机变量：密度函数均匀分布、指数分布、正态分布随机变量函数的分布谢谢观赏《概率论与数理统计》多维随机变量及其分布《概率论与数理统计》03目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.1多维随机变量及其联合分布一、多维随机变量二、联合分布函数三、二维离散型随机变量及其联合分布律四、二维连续型随机变量及其联合密度函数

定义1一、随机试验

例1解

一、随机试验

一、随机试验一、随机试验

定义2

二、联合分布函数定义3

二、联合分布函数定义4联合分布函数的性质:

定理1

二、联合分布函数123

联合分布函数的矩形公式

二、联合分布函数45

定义5定义6三、二维离散型随机变量及其联合分布律

三、二维离散型随机变量及其联合分布律

例2

三、二维离散型随机变量及其联合分布律解

三、二维离散型随机变量及其联合分布律

三、二维离散型随机变量及其联合分布律联合概率密度函数两个常见二维连续型分布边缘概率密度函数四、二维连续型随机变量及其联合密度函数

定义7四、二维连续型随机变量及其联合密度函数四、二维连续型随机变量及其联合密度函数

定义8

（联合密度函数的性质）定理2四、二维连续型随机变量及其联合密度函数

（二维连续型随机变量的性质）定理3四、二维连续型随机变量及其联合密度函数123

例3

01OPTION02OPTION03OPTION求

四、二维连续型随机变量及其联合密度函数

解

四、二维连续型随机变量及其联合密度函数解

四、二维连续型随机变量及其联合密度函数12345

四、二维连续型随机变量及其联合密度函数

四、二维连续型随机变量及其联合密度函数解

目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.2常用的多维随机变量一、二维均匀分布二、二维正态分布

定义1一、二维均匀分布

例11

一、二维均匀分布2

解

一、二维均匀分布(2)所求概率为

一、二维均匀分布

定义2

二、二维正态分布目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.3边缘分布一、边缘分布函数二、二维离散型随机变量的边缘分布律三、二维连续型随机变量的边缘密度函数四、随机变量的相互独立性

定义1

一、边缘分布函数

例1一、边缘分布函数

解一、边缘分布函数

解一、边缘分布函数

定义2

二、二维离散型随机变量的边缘分布律二、二维离散型随机变量的边缘分布律

例2解二、二维离散型随机变量的边缘分布律

二、二维离散型随机变量的边缘分布律

定义3三、二维连续型随机变量的边缘密度函数

例3解三、二维连续型随机变量的边缘密度函数

三、二维连续型随机变量的边缘密度函数

定理1证明

三、二维连续型随机变量的边缘密度函数

例4解所以三、二维连续型随机变量的边缘密度函数

定义4四、随机变量的相互独立性

定理2定理3四、随机变量的相互独立性

例5四、随机变量的相互独立性

解四、随机变量的相互独立性

解四、随机变量的相互独立性

例6解四、随机变量的相互独立性

四、随机变量的相互独立性

定理4证明四、随机变量的相互独立性

四、随机变量的相互独立性

四、随机变量的相互独立性对多维随机变量独立性的定义如下：定义5

四、随机变量的相互独立性对多维随机变量独立性的定义如下：

四、随机变量的相互独立性对多维随机变量独立性的定义如下：

四、随机变量的相互独立性对多维随机变量独立性的定义如下：

四、随机变量的相互独立性目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.4条件分布一、二维离散型随机变量的条件分布律二、二维连续型随机变量的条件密度函数

定义1一、二维离散型随机变量的条件分布律01OPTION

一、二维离散型随机变量的条件分布律02OPTION

定义1续一、二维离散型随机变量的条件分布律

定义2

二、二维连续型随机变量的条件密度函数

1

二、二维连续型随机变量的条件密度函数2

二、二维连续型随机变量的条件密度函数

定义3二、二维连续型随机变量的条件密度函数在第一节例4中

例101OPTION02OPTION03OPTION04OPTION二、二维连续型随机变量的条件密度函数⑴例4中随机变量的联合密度函数为

解

二、二维连续型随机变量的条件密度函数

二、二维连续型随机变量的条件密度函数所以

二、二维连续型随机变量的条件密度函数

二、二维连续型随机变量的条件密度函数

故

二、二维连续型随机变量的条件密度函数

例2解

二、二维连续型随机变量的条件密度函数

目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布目录/Contents3.5二维随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布二、二维连续型随机变量函数的分布

定理1（分布的可加性）

一、二维离散型随机变量函数的分布

证明一、二维离散型随机变量函数的分布

，一、二维离散型随机变量函数的分布

(2)因为所以一、二维离散型随机变量函数的分布

例1解一、二维离散型随机变量函数的分布

因此，有如下结论。

一、二维离散型随机变量函数的分布

例2解

二、二维连续型随机变量函数的分布

二、二维连续型随机变量函数的分布

该公式称为卷积公式.定理2二、二维连续型随机变量函数的分布

证明二、二维连续型随机变量函数的分布

，二、二维连续型随机变量函数的分布

正态分布的可加性:

更一般地,有

定理3

二、二维连续型随机变量函数的分布由卷积公式得

证明

二、二维连续型随机变量函数的分布

二、二维连续型随机变量函数的分布

例3

解二、二维连续型随机变量函数的分布

二、二维连续型随机变量函数的分布例4

二、二维连续型随机变量函数的分布

二、二维连续型随机变量函数的分布例4

二、二维连续型随机变量函数的分布

解二、二维连续型随机变量函数的分布

所以

二、二维连续型随机变量函数的分布总结/summary理解

二维随机变量的定义了解

二维随机变量的联合分布函数的定义、性质及计算掌握

联合分布律和联合密度函数的定义、性质及计算掌握

二维随机变量相关事件概率的计算掌握

二维随机变量的边缘分布函数的定义及计算熟练两个随机变量相互独立的定义及判别方法了解

个随机变量相互独立的定义及判别方法理解

随即变量独立的概念掌握

随机变量独立的判断方法

掌握

二维随机变量的条件分布函数的定义及计算掌握二维随机变量函数分布的计算熟练

相互独立的随机变量的最大值最小值分布函数的计算了解二维正态分布的密度函数理解二维正态分布的密度函数中参数的概率意义。掌握二维正态分布的性质谢谢观赏《概率论与数理统计》随机变量的数字特征《概率论与数理统计》04目录/Contents4.14.24.34.4数学期望方差和标准差协方差和相关系数其他数字特征目录/Contents4.1数学期望一、数学期望的定义二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质例1设甲、乙两班各40名学生,概率统计成绩及得分人数如表所示,成绩以10的倍数表示.甲、乙两班概率统计的平均成绩各是多少？甲班分数60708090100人数291892频率一、数学期望的定义乙班分数4060708090100人数3181387频率

班级平均成绩=总分÷总人数甲班平均成绩同理，乙班平均成绩=80(分)

一、数学期望的定义解定义1

一、数学期望的定义物理含义:单位质量的细棒,重心坐标

注：

1*

一、数学期望的定义23

3一、数学期望的定义复习：1234例2

一、数学期望的定义

解一、数学期望的定义

一、数学期望的定义

一、数学期望的定义定义2

一、数学期望的定义

*

一、数学期望的定义-210.20.8

解

例3一、数学期望的定义解

例4

一、数学期望的定义

一、数学期望的定义

解

例5

一、数学期望的定义解

由期望的定义得

一、数学期望的定义解

由期望的定义得

一、数学期望的定义解

例6

一、数学期望的定义解由期望的定义得

一、数学期望的定义解

由课前导读中的积分公式1得或

一、数学期望的定义解

由期望的定义得上式使用了密度函数的规范性

一、数学期望的定义二、随机变量函数的数学期望

,

14概率3/41/4-118概率1/41/21/4

-112概率1/41/21/4

定理1（随机变量一元函数的期望公式）二、随机变量函数的数学期望

二、随机变量函数的数学期望

定理1（随机变量一元函数的期望公式）二、随机变量函数的数学期望

定理2（随机变量二元函数的期望公式）

二、随机变量函数的数学期望

例8

二、随机变量函数的数学期望

二、随机变量函数的数学期望，

解：方法一略

定理3数学期望的性质：

01OPTION02OPTION03OPTION04OPTION三、数学期望的性质

（2）由随机变量一元函数的期望公式及积分的性质得：

三、数学期望的性质（3）由随机变量二元函数的期望公式及期望的定义得

三、数学期望的性质

三、数学期望的性质

公司每售出一台机器可获利1600元，若机器售出后使用2.2万小时之内出故障，则应予以更换，这时每台亏损1200元；若在2.2到3万小时之间出故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；在使用3万小时后出故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。

三、数学期望的性质

三、数学期望的性质

故，该公司售出每台机器的平均获利为1394元.

三、数学期望的性质目录/Contents4.14.24.34.4数学期望方差和标准差协方差和相关系数其他数字特征目录/Contents4.2方差和标准差一、方差和标准差的定义二、方差的性质

定义1

一、方差和标准差的定义

一、方差和标准差的定义

在实际计算方差时，我们更多的是使用下列公式，这样更简便，

一、方差和标准差的定义

4321例1一、方差和标准差的定义

解01OPTION02OPTION一、方差和标准差的定义

03OPTION一、方差和标准差的定义

04OPTION一、方差和标准差的定义

定理1方差具有下列性质，1二、方差的性质234那么，由方差的性质得

例2解二、方差的性质

由方差的性质得，

（1）由期望的性质得，例3证明二、方差的性质

（2）由期望的性质得，由方差的性质得，

二、方差的性质

故所以

例4解

二、方差的性质目录/Contents4.14.24.34.4数学期望方差和标准差协方差和相关系数其他数字特征目录/Contents4.3协方差和相关系数一、协方差二、相关系数

定义1

一、协方差在实际计算协方差时，更多的是使用下列公式，

一、协方差

定理1协方差具有下列性质：

4

一、协方差321证明01OPTION02OPTION03OPTION

一、协方差

由协方差的计算式及期望的性质得04OPTION

一、协方差例1

二、相关系数解

二、相关系数例1续

二、相关系数由数学期望的定义、随机变量函数的期望公式和【课前导读】中的积分公式3得：

二、相关系数例1续

二、相关系数例1续

定义2

二、相关系数例2解：由0-1分布的期望和方差公式得使用随机变量函数的期望计算公式得

二相关系数

例2

二相关系数解例3

二、相关系数例3续

二、相关系数

定义3

二、相关系数

定理3

二、相关系数

二、相关系数证明

二、相关系数

二、相关系数

二、相关系数定义401OPTION02OPTION03OPTION04OPTION05OPTION

二、相关系数

随机变量相互独立和线性无关都刻画了随机变量之间的关系，它们两者有什么联系与区别呢？相互独立时一定线性无关，但反之不一定成立，例如下面的例子。二、相关系数例4解

二、相关系数

随机变量相互独立和线性无关都刻画了随机变量之间的关系，它们两者有什么联系与区别呢？相互独立时一定线性无关，但反之不一定成立，例如下面的例子。二、相关系数例5解

二、相关系数

二、相关系数相互独立与线性无关、线性相关之间的关系二、相关系数

定理4证明

二、相关系数

定理给出了不相关与相互独立相统一的例子，这样的例子不是唯一的。可以这样说，独立是从整体也即分布的角度刻画随机变量之间的关系，它意味着两个随机变量无任何关系，而不相关仅仅是从数字特征角度刻画随机变量之间的关系，它意味着两个随机变量之间无线性关系，但不意味着两个随机变量之间无其它关系。二、相关系数目录/Contents4.14.24.34.4数学期望方差和标准差协方差和相关系数其他数字特征目录/Contents4.4其他数字特征

二、变异系数三、分位数和中位数

定义1

例1

证明

例2

解

证明

其中

定义2

二、变异系数定义3

三、分位数和中位数

例3三、分位数和中位数

三、分位数和中位数定义4

三、分位数和中位数总结/summary理解

离散型、连续型随机变量的数学期望的

定义及其概率含义熟悉

数学期望的性质掌握

随机变量函数的期望公式熟练

常用随机变量的数学期望理解

随机变量方差的定义及方差的概率含义熟悉

方差的性质掌握

随机变量的方差计算公式熟练

常用随机变量的方差总结/summary理解

随机变量协方差、相关系数的定义

及概率含义熟悉

协方差、相关系数的性质掌握

协方差、相关系数的计算理解

阶矩的定义掌握

正态分布的阶原

点矩的计算公式了解

期望向量、协方差矩阵的定义了解

期望向量、协方差矩阵的简单计算了解

变异系数、分位数、中位数及众数

的定义及简单计算谢谢观赏《概率论与数理统计》随机事件与概率《概率论与数理统计》05目录/Contents5.15.2大数定律中心极限定理目录/Contents5.1大数定律一、切比雪夫（Chebyshev）不等式二、依概率收敛三、大数定律

例1

一、切比雪夫不等式定理1（切比雪夫不等式）

一、切比雪夫不等式

例2

解

一、切比雪夫不等式

例3

一、切比雪夫不等式定义1

二、依概率收敛

依概率收敛性具有下列性质：

定理2二、依概率收敛定理3伯努利大数定律

三、大数定律

证明

三、大数定律

定理4（独立同分布大数定律）

三、大数定律

定理5（伯努利大数定律）

显然伯努利大数定律是独立同分布大数定律的特例。这里三、大数定律

三、大数定律

例4123

三、大数定律

解

三、大数定律例4续01OPTION02OPTION03OPTION

三、大数定律目录/Contents5.15.2大数定律中心极限定理例5（高尔顿钉板实验）

如图，有一排有一个板上面有排钉子，每排相邻的两个钉子之间的距离均相等。上一排钉子的水平位置恰巧位于下一排紧邻的两个钉子水平位置的正中间。从上端入口处放入小球，在下落过程中小球碰到钉子后以相等的可能性向左或向右偏离，碰到下一排相邻的两个钉子中的一个。如此继续下去，直到落入底部隔板中的一格中。问当有大量的小球从上端依次放入，任其自由下落,问小球最终在底板中堆积的形态.

设钉子有16排中心极限定理高尔顿钉板中心极限定理

中心极限定理

由于中心极限定理的证明需要使用其它的数学工具，因此这里不给出证明。

定理6（列维—林德伯格中心极限定理）

中心极限定理

解

中心极限定理例5

中心极限定理

中心极限定理

解

中心极限定理（2）设加数最多有𝑛个才能使误差总和的绝对值不超过5的概率超过0.95。有所以最多有78个加数，才能使误差总和的绝对值不超过5的概率超过0.95。

中心极限定理例6

在街头赌博中,庄家在高尔顿钉板的底板两端距离原点超出8格的位置放置了值钱的东西来吸引顾客，试用中心极限定理来揭穿这个街头赌博中的骗术。解中心极限定理

-110.50.5

中心极限定理

中心极限定理

定理7（德莫弗—拉普拉斯中心极限定理）

中心极限定理

某单位的局域网有100个终端,每个终端有10%的时间在使用,如果各个终端使用与否是相互独立的.（1）计算在任何时刻同时最多有15个个终端在使用的概率；（2）用中心极限定理计算在任何时刻同时最多有15个个终端在使用的概率的近似值；（3）用泊松定理计算在任何时刻同时最多有15个终端在使用的概率近似值。例7中心极限定理解

中心极限定理即在任何时刻同时最多有15个终端在使用的概率为0.9601。

中心极限定理解即在任何时刻同时最多有15个终端在使用的概率近似值为0.9522.

中心极限定理解即在任何时刻同时最多有15个终端在使用的概率近似值为0.9513.

中心极限定理切比雪夫不等式理解切比雪夫不等式的定义，掌握用切比雪夫不等式求解概率上界大数定律理解依概率收敛的定义了解切比雪夫大数定律了解伯努利大数定律了解辛钦大数定律中心极限定理掌握运用列维-林德伯格中心定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理求解独立随机变量之和的近似概率值总结/summary谢谢观赏《概率论与数理统计》统计量和抽样分布《概率论与数理统计》

06目录/Contents6.16.26.36.4总体与样本统计量三大分布正态总体的抽样分布6.1总体与样本一、总体二、样本目录/Contents研究对象的全体称为总体,组成总体的每个成员称为个体.研究对象的某项数量指标的全体称为总体,组成总体的每个成员的该项数量指标称为个体.特指一、总体

一、总体

例1解例2解

一、总体

总体抽样样本推断

二、样本

二、样本

二、样本

二、样本

二、样本

二、样本

例3解二、样本

例4解二、样本例5解

二、样本

例6解二、样本

例7联合密度函数为解二、样本

例8

二、样本6.16.26.36.4总体与样本统计量三大分布正态总体的抽样分布目录/Contents6.2统计量一、样本均值和样本方差二、次序统计量数理统计的基本任务之一是利用样本所提供的信息来对总体分布中未知的量进行推断,但是样本观测值常常表现为一大堆数字,很难直接用来解决我们所要研究的具体问题.人们常常把数据加工成若干个简单明了的数字特征,由数据加工后的数字特征就是统计量的观测值.目录/Contents

例11统计量的定义23

由定义即知⑵不是统计量,而⑴⑶是.

解统计量的定义

一、样本均值和样本方差

一、样本均值和样本方差

相应的观测值

由此可得：一、样本均值和样本方差

一、样本均值和样本方差显然有由此知

一、样本均值和样本方差

定理一、样本均值和样本方差证（1）

一、样本均值和样本方差证（2）

一、样本均值和样本方差

一、样本均值和样本方差

例2

一、样本均值和样本方差

解一、样本均值和样本方差

根据题意可知一、样本均值和样本方差

根据题意可知一、样本均值和样本方差*例3解

一、样本均值和样本方差

二、次序统计量则最小次序统计量具有概率密度函数:最大次序统计量具有概率密度函数:

二、次序统计量

二、次序统计量

例4解

二、次序统计量

二、次序统计量例5

二、次序统计量解

二、次序统计量6.16.26.36.4总体与样本统计量三大分布正态总体的抽样分布目录/Contents6.3总体与样本

目录/Contents

⑴定义

123

则：

分位数值可查表得到,比如

分位数9.488

例101OPTION02OPTION03OPTION

(3)

1

2

解

（1）定义

该性质类似于正态分布的分位数性质.分位数值查表可得.

（2）分位数

例3解

补充例题

解

（1）定义

补充例题

（2）分位数

证明

例4解

6.16.26.36.4总体与样本统计量三大分布正态总体的抽样分布目录/Contents

则有

定理1

正态总体的抽样分布

则有

定理2正态总体的抽样分布证明

由定理1可知

正态总体的抽样分布

证明根据t分布的定义，可得正态总体的抽样分布

正态总体的抽样分布12

正态总体的抽样分布

请证明以下结论补例01OPTION02OPTION03OPTION

正态总体的抽样分布定理3

正态总体的抽样分布定义：

正态总体的抽样分布01OPTION02OPTION03OPTION则有04OPTION

正态总体的抽样分布

证明（1）

正态总体的抽样分布12

证明（2）由定理1可知

正态总体的抽样分布

正态总体的抽样分布结论（1）和（2）分别转变为下面形式：证明（4）

正态总体的抽样分布12

即

正态总体的抽样分布统计量和抽样分布总体与样本常用统计量样本均值，样本方差，次序统计量三大分布分布，t分布，F分布正态总体的抽样分布总结/summary谢谢观赏《概率论与数理统计》参数估计《概率论与数理统计》07目录/Contents7.17.27.37.47.5点估计点估计的优良性评判标准置信区间单正态总体下未知参数的置信区间两个正态总体下未知参数的置信区间目录/Contents7.1点估计一、矩估计二、极大似然估计

两个常用方法:矩估计法和极大似然估计法.所求出的估计量则分别称为矩估计量和极大似然估计量.

AB一、矩估计

例101OPTION02OPTION

一、矩估计

解一、矩估计

一、矩估计

一、矩估计解（1）

一、矩估计解（2）

例3一、矩估计

解

一、矩估计

关于矩估计量有下列结论:一、矩估计

例4解

一、矩估计01OPTION02OPTION03OPTION

一、矩估计

补例解一、矩估计

补例由已知条件可求得

解

一、矩估计例5

设一箱子中装有黑和白两种颜色的球，其中一种颜色的球有99个，另一种颜色的球只有1个.但是不知道那个颜色的球是只有1个.我们随机地从这个箱子里有放回地取2个球，结果取得的都是白球，问这个箱子中那个颜色的球只有1个？二、极大似然估计

二、极大似然估计

二、极大似然估计

二、极大似然估计分析：

二、极大似然估计

二、极大似然估计极大似然估计的定义：

二、极大似然估计

二、极大似然估计可微函数时,则将似然函数取对数：

二、极大似然估计

建立并求解似然方程组:一般说来,极大似然估计值可由解对数似然方程得到.当似然函数不可微时,也可直接寻求使得似然函数达到最大的解来得到极大似然估计值和估计量.二、极大似然估计

例7

二、极大似然估计

二、极大似然估计②对似然函数取对数:解（1）①写出似然函数

例8

二、极大似然估计解方程组得③建立似然方程组:

二、极大似然估计④由此即得未知参数的极大似然估计量为

二、极大似然估计

二、极大似然估计

二、极大似然估计

解样本的似然函数为

二、极大似然估计

二、极大似然估计

二、极大似然估计于是从原始定义出发讨论,发现

二、极大似然估计

二、极大似然估计

解总体分布为补例二、极大似然估计

②对似然函数取对数二、极大似然估计这就是使似然函数达到最大的参数取值,即极大似然估计值.

③对未知参数求导并令其为零,即建立似然方程:

二、极大似然估计

④写出未知参数的极大似然估计量:

性质二、极大似然估计

二、极大似然估计

解样本观测值的似然函数为

二、极大似然估计

二、极大似然估计

取对数:二、极大似然估计

建立并求解似然方程组:一般说来,极大似然估计值可由解对数似然方程得到.似然函数不可微时,也可直接寻求使得似然函数达到最大的解来得到极大似然估计值和估计量.二、极大似然估计极大似然估计求解对数似然求导法直接法似然函数二、极大似然估计目录/Contents7.17.27.37.47.5点估计点估计的优良性评判标准置信区间单正态总体下未知参数的置信区间两个正态总体下未知参数的置信区间目录/Contents7.2点估计的优良性评判标准一、无偏性二、有效性三、相合性

如果定义1一、无偏性

解

(1)由矩估计定义可知

试求1

23例1一、无偏性

故

一、无偏性

一、无偏性

例2一、无偏性

解

一、无偏性

则有

因此,样本均值是总体均值的无偏估计,样本方差是总体方差的无偏估计,而样本的二阶中心矩是总体方差的渐近无偏估计。定理1一、无偏性

由统计量性质知

补例解

一、无偏性

定义2

例1续二、有效性

又

进一步可得二、有效性

试求解下列问题:试比较这两个估计的有效性.

补例01OPTION02OPTION二、有效性

故因此可见这两个估计都是无偏的;

二、有效性

解⑵又因为因此二、有效性

定义3

三、相合性

定理2

三、相合性

例3证明

三、相合性

补例

证明三、相合性7.17.27.37.47.5点估计点估计的优良性评判标准置信区间单正态总体下未知参数的置信区间两个正态总体下未知参数的置信区间目录/Contents

置信区间

置信区间6

置信区间6

置信区间置信水平95%的几何解释

6置信区间置信水平50%的几何解释

6置信区间定义2

置信区间

置信区间定义3

求参数置信区间的一般步骤:

1置信区间2

置信区间34

置信区间

置信区间

置信区间7.17.27.37.47.5点估计点估计的优良性评判标准置信区间单正态总体下未知参数的置信区间两个正态总体下未知参数的置信区间目录/Contents7.4单正态总体下未知参数的置信区间一、均值的置信区间二、方差的置信区间

目录/Contents

12一、均值的置信区间

取

一、均值的置信区间

相应的置信区间观测值为:

一、均值的置信区间

一、均值的置信区间

例1

故期望的双侧0.95置信区间为

一、均值的置信区间

一、均值的置信区间相应的置信区间观测值为

一、均值的置信区间

一、均值的置信区间

一、均值的置信区间一、均值的置信区间

单侧下限单侧上限一、均值的置信区间

12二、方差的置信区间

二、方差的置信区间

二、方差的置信区间

二、方差的置信区间而标准差的置信区间为

二、方差的置信区间

例2续

二、方差的置信区间

补例二、方差的置信区间

二、方差的置信区间

二、方差的置信区间二、方差的置信区间7.17.27.37.47.5点估计点估计的优良性评判标准置信区间单正态总体下未知参数的置信区间两个正态总体下未知参数的置信区间目录/Contents7.5两个正态总体下未知参数的置信区间一、均值差的置信区间二、方差比的置信区间目录/Contents

一、均值差的置信区间

1一、均值差的置信区间2

一、均值差的置信区间1

相应的单侧置信区间：

一、均值差的置信区间

例1解一、均值差的置信区间

一、均值差的置信区间

2

一、均值差的置信区间

一、均值差的置信区间相应的单侧置信区间：

一、均值差的置信区间

一、均值差的置信区间

一、均值差的置信区间

一、均值差的置信区间

12

二、方差比的置信区间

1

二、方差比的置信区间

二、方差比的置信区间

二、方差比的置信区间2

二、方差比的置信区间

例3解二、方差比的置信区间

二、方差比的置信区间参数估计点估计点估计的定义点估计的方法矩估计极大似然估计评判标准无偏性有效性相合性区间估计置信区间定义正态总体参数的置信区间单正态总体情形两个正态总体情形总结/summary谢谢观赏《概率论与数理统计》假设检验《概率论与数理统计》08目录/Contents8.18.28.3检验的基本原理正态总体参数的假设检验拟合优度检验假设检验与参数估计的区别参数估计是用样本数据对总体参数进行估计;检验的基本原理12如工厂生产的产品，长期以来不合格品率不超过0.01，某天开工后，为检验生产过程是否正常，随机地抽取了100件产品，发现其中有3件不合格，能否认这天的生产过程是正常的？假设检验是用样本数据对总体参数的某个特定假设进行检验，进而判断是否拒绝该假设.检验的基本原理在前例这个假设就是：生产过程是正常的，或者说不合格品率不超过0.01。但估计问题，在收集数据之前并不对参数真值进行假设，这是两者的重要差别。此外，检验问题的回答是定性的，而估计问题的结论是定量的。检验与估计是既有密切联系，又有重要区别的一种推断方法，假设检验在收集数据之前，就已有一个有关问题的假设，要通过收集到的样本回答这个假设是否成立。检验的基本原理也即，观察的数据与假设的差异只是由随机性引起的呢？还是反映了总体的真实差异？即关于总体的假设仍然成立呢？还是不再成立？

检验的基本原理例1分析：在这个问题中，我们要讨论的是实际车辆行驶速度有没有超过50km/h，因此，我们用一对假设：检验的基本原理

检验的基本原理

检验的基本步骤一、建立假设二、给出拒绝域的形式三、确定显著性水平四、建立检验统计量，给出拒绝域

检验的基本原理原假设和备择假设

双侧检验单侧（右侧）检验单侧（左侧）检验

一、建立假设

一、建立假设

设某厂商声称他们研发的一款新车每百公里平均油耗低于5升，现随机抽取了5位试驾后的数据，得百公里的油耗值为4.9,5.3,5.7,4.8,5.3,请问，能否相信这款新车关于油耗的广告宣传呢？例2解

一、建立假设假设检验的结论一个假设检验可能有两种结论如果我们不能找到足够多的证据来支持备择假设，则不拒绝原假设；01OPTION如果我们能找到足够多的证据来支持备择假设，则拒绝原假设。02OPTION二、给出拒绝域的形式假设检验的基本思想我们总是先假定一个原假设是成立的，直到我们找到足够多的证据来支持备择假设。数据是否落在拒绝域内就是表达是否有足够多的证据来支持备择假设。拒绝域二、给出拒绝域的形式

拒绝域的构造形式：

拒绝域的构造形式：

拒绝域的构造形式：

二、给出拒绝域的形式二、给出拒绝域的形式当有了具体的样本观测值后：

第一类错误

三、确定显著性水平和两类错误第二类错误当原假设是错误的，而我们最终接受了原假设，称这种错误叫第二类错误。三、确定显著性水平和两类错误总体参数的实际情况检验结论两类错误正确第二类错误第一类错误正确三、确定显著性水平和两类错误两类错误概率:第一类错误概率（又称为弃真概率）第二类错误概率（又称为采伪概率）

三、确定显著性水平和两类错误

三、确定显著性水平和两类错误

三、确定显著性水平和两类错误

四、建立检验统计量，给出拒绝域解12345

四、建立检验统计量，给出拒绝域检验统计量须满足：AB在原假设下的分布是完全已知的或可以计算

四、建立检验统计量，给出拒绝域

例5

解

目录/Contents8.18.28.3检验的基本原理正态总体参数的假设检验拟合优度检验目录/Contents8.2正态总体参数的假设检验一、单正态总体均值的假设检验二、单正态总体方差的假设检验三、两个正态总体均值差的假设检验四、两个正态总体方差比的假设检验

双边检验：单边（左侧）检验：单边（右侧）检验：

一、单正态总体均值的假设检验AB

一、单正态总体均值的假设检验

一、单正态总体均值的假设检验

一、单正态总体均值的假设检验检验统计量：右侧单边检验：给出拒绝域的构造形式：拒绝域为：

一、单正态总体均值的假设检验检验统计量：左侧单边检验：给出拒绝域的构造形式：拒绝域为：

一、单正态总体均值的假设检验

例1解一、单正态总体均值的假设检验

一、单正态总体均值的假设检验

一、单正态总体均值的假设检验

一、单正态总体均值的假设检验构造检验统计量：右侧单边检验：给出拒绝域的构造形式：拒绝域为：

一、单正态总体均值的假设检验构造检验统计量：左侧单边检验：给出拒绝域的构造形式：拒绝域为：

一、单正态总体均值的假设检验例2

一、单正态总体均值的假设检验

一、单正态总体均值的假设检验

一、单正态总体均值的假设检验

双边检验：单边（左侧）检验：单边（右侧）检验：

二、单正态总体方差的假设检验AB

二、单正态总体方差的假设检验

给出拒绝域的构造形式：

二、单正态总体方差的假设检验

二、单正态总体方差的假设检验类似可得：

二、单正态总体方差的假设检验

二、单正态总体方差的假设检验

二、单正态总体方差的假设检验

例4二、单正态总体方差的假设检验

首先：

二、单正态总体方差的假设检验