江苏省南通2023级高考一模数学试题PDF版含答案

南通市2023届高三第一次调研测试

数学

本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项；

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡”条形码粘

贴处”

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改

动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回

一、选押题.本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合Z={x|l&x&3},8={x|2<x<4},则NC18=()

A.(2,3]B.[l,4)C.(—8,4)D.[l,+8)

2.已知向量a,6满足|a|=1,|力|=2,〈a,b)=空，则a•(a+b)=()

A.-2B,-1C.OD.2

3.在复平面内，复数z”Z2对应的点关于直线x—y=0对称，若Z1=1—i,则|zi—Z2I=()

A.V2B.2C.2V2D.4

4.2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成,我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要

经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点中离地

面最远的点)距地面S，近地点(长轴端点中离地面最近的点)距地面8，地球的半径为尺，则该椭圆的短轴长为

()

B.2V5AC46+R)(S2+R)D.2j(6+K)(S2+R)

5.已知sin(a—+cosa="|­，则cos(2a+件)=()

6.已知随机变量X服从正态分布N。,/),有下列四个命题：

甲：P(X>机+1)>P(XV机-2)；

乙：P(X>w)=0.5；

丙：P(X&加)=0.5；

丁：P(m—1<X<.tn)<P(m+1<X<m+2)

如果只有一个假命题，则该命题为()

A.甲B.乙C.丙D.T

7.已知函数/(X)的定义域为R,且/(2x+1)为偶函数,/(x)=/(x+1)-/(x+2),若/(1)=2,则/(18)=

()

A.1B.2C.-1D.-2

8.若过点尸”,0)可以作曲线y=(l—x)e，的两条切线，切点分别为工(片,%)，2仪,必)，则力力的取值范围是

A.(0,4e-3)B.(—oo,0)U(0,4e-3)C.(—oo,4e-2)D.(—<»,0)U(0,4e-2)

二、多选题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5

分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在棱长为2的正方体N8C£>—中，4C与8。交于点。，则()

A.4)|〃平面BOGB.80_L平面COG

C.GO与平面ABCD所成的角为45°D,三棱锥C-BOC,的体积为j-

10.函数/'(x)=sin(Gx+e乂/>0,|8|<彳~)的部分图象如图所示，则()

A.切=2

D不兀

C./(x)的图象关于点(6,0)对称

D.f(x)在区间(n,3L)上单调递增

11.一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝.从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一

次取到红球”为事件Z,“第二次取到黄球”为事件8,则()

A.P(^)=yBM,8为互斥事件C.P(SM)=yDM,8相互独立

12.己知抛物线W=4y的焦点为尸，以该抛物线上三点48,C为切点的切线分别是/「A，4,直线八，乙相交于点

。，/3与人，，2分别相交于点P，0记Z,8,。的横坐标分别为片，小，不，则()

2

A.DA-DB=OB.xl+x1=2xJC.\AF\-\BF\=\DF\V).\AP\-\CQ\=\PC\-\PD\

三、填空题;本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/(x)=(：甘呼一•<I则/(/(—2))=.

14.写出一个同时满足下列条件①②的等比数列｛四｝的通项公式a,,=.

@a„an+i<0；(2)|a„|<|a„+1|

15.已知圆。/+4=产(『>0),设直线x+何一，'=0与两坐标轴的交点分别为48,若圆。上有且只有一个

点P满足\AP\=\BP\，则r的值为.

16.已知正四棱锥S—/8CD的所有棱长都为1,点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面

多边形「，则「的边数至多为，r的面积的最大值为.(第一空2分,第二空3分)

四、解答题|本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步款.

17.(10分)在①£,£，S4成等比数歹I,②四=2处+2,③S8=S'+S’一2这三个条件中任选两个，补充在下面问题

中，并完成解答

已知数列｛凡｝是公差不为0的等差数列，其前n项和为£，且满足，.

(1)求｛凡｝的通项公式；

⑵求----1-------1-------1-•••H----—

a2a3的久a“a”+i

注:如果选择多个方案分别解答,按第一个方案计分。

-2-

18.(12分)第二十二届卡塔尔世界杯足球赛(FIFAWorIdCupQatar2022)决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大

战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别

有关,随机抽取了男、女同学各100名进行调查,部分数

喜欢足球不喜欢足球合计

男生40

女生30

合计

(1)根据所给数据完成上表,并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为寺,

女生进球的概率为十，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.

附.烂=n[ad-bcY

(a+6)(c+d)(a+c)Q+d)

尸(公＞%)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.(12分)在/\ABC中，/,8,C的对边分别为a,6,c,acosB—2acosC=(2c—b)cosA

(1)若c=Jia,求cosB的值；

(2)若6=1,/瓦IC的平分线Z。交8c于点。，求长度的取值范围.

20.(12分)如图，在中，是8c边上的高，以为折痕，将A4CQ折至^APD的位置，使得尸8_L月£

(1)证明：PBJL平面48。；

(2)若/D=PB=4,8。=2,求二面角8-取一。的正弦值.

21.(12分)已知双曲线C：与一

=1(。>0,6>0)的左顶点为儿过左焦点F的直线与C交于尸，。两点.当PQ

a2b1

，》轴时，|尸/|=/m,/^/0的面积为3.

(1)求C的方程;

(2)证明：以PQ为直径的圆经过定点.

22.(12分)己知函数/(x)=97和g(x)=生皿有相同的最大值.

aex

(1)求实数a；

(2)设直线y=b与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有四个不同的交点，其横坐标分别为两，必，不，

X4(X|<X2<X3<X4)，证明：X|X4—^3.

2023届高三第一次调研测试

数学

答案与解析

一、选择题.本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】A

【解析】4D8={xl2VxW3},选4

2.【答案】C

【解析】〃(a+b)=/+〃・b=i+ix2x(―：)=0,选C.

3.【答案】B

【解析】力=1—i,Z],Z2对应的点关于x=y对称，Z2=-1+i,

E—Z2I=|2-2i|=2V2,选B

4.【答案】D

【解析】a+c=S|+K,c=S2+R"2="—。2=(S[+R)(S2+R),b=J(S1+R)(S2+R),2b=

2/($+H)(52+夫)，选。.

5.【答案】B

【解析】-^y-sina--ycosa+cosa=,-^y-sina+-ycosa=,

sin(a+聿)=1,cos(2cc+=cos2(a+=I-2sin2^cc+=1-2x,

选民

6.【答案】D

【解析】乙、丙一定都正确，则〃=加，P(X>加+1)=P[X<m—1)>P(X<m—2)f

甲正确，，丁错,选。.

7.【答案】A

【解析"'⑵+1)为偶函数，则f(x)关于x=1对称,/(x)=2sin(yx+y)关于x=1对称J(x)+/(x+2)=

2sin(yx+聿)+2sin[y(x+2)+聿]

=2卜in(令+f)+sin照x+卷明

=21sinq兀cos]+cos与sin?+sin与xcos.+cos率sin~|■兀]=2cos4nx.

/(x+1)=2sin传x+告)=2cos-y7tx,.\/(x+1)=/(x)+/(x+2),

即/(x)=2sin(y7Lr+^-)满足条件,/(18)=2sir^6兀+春)=1.

8.【答案】D

Y<,vxx

【解析】设切点(x0,(1-x0)e),y=-e4-(1-x)e=-xe,k—-xoe^,

X,,Av(,

y-(1-x0)e=-xoe°(x一劭)过〃，0)，一(1一%o)铲=-xoe(z-x0)，

XQ—1="X0(/—X0),.\XQ—1=—%+",已一(Z+l)xo+1=0有两个不相等实根X],'2,

2

其中x\x2=1,Xi+应=E+1，△=(，+1)—4>0,：.t>1或ZV—3

A,+X2z+,

(1-X1)(l-x2)e=[l-(修+M)+即应]铲+M=(l-r)e,

令g(f)=(1—f)e,f>1或Y—3,g()=—tel+],

，V-3时，/⑺>0,g⑺/,0Vg(f)<g(-3)=4e-2

t>i时,y(t)vo,g(t)\,g⑺vg⑴=0,

综上：口及w(-8,0)u(O,4e-2),选。.

二、多选题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5

分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】18。

【解析】/4〃BCi,平面BOG，BCC平面BOC,,：.ADi〃平面BOC｝，/对8。JLCO,8。_LCC\,CDA

CC、=C,：.BD_L平面COG,B对

7

GC_L平面/8CA,GO与平面所成角为NCQC,tan/CQC=*#1,

/.NCQCW45。，C错.

忆g=%-B8=H><2xlX2=\,o对.选ABD

10.【答案】/CD

【解析】y=-|-7r—y=y,r=7t=<o=2,f(x)=sin(2x+<p),/(y)=sin("|*7t+°)—\,：.<p——y,

/对，8错.

/(x)—sin(2x—看),2x一■菅=kn,x=专+争,斤CZ

无=0时,/(x)关于(J?0)对称>C对

—~~+2kn<2x—~<与+2kli,—~+ku<x<与•+kit,kGZ,

26263

在(卷兀,予而(兀兀)U(卷兀,在(无(式)

/(x)t)/,33),.♦./(x)7,。对,

选ACD.

11.【答案】4c

【解析】P(4)=/,Z对.

A,8可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，A,B不互斥，B错.

在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为C对.

P⑻=>x1+4-xO=4-,P(AB)=《x《=J,P(AB)*P(4)P®,：.A,B不独立,

3233326

。错，选/c.

12.【答案】88

【解析】：4汨,舟,碓2,苧),C(Xo,苧)=kt=yX),

li：y-^-=—(x-X|),即y=yx,x-gc；

h-y-^x2x--xi，

,6,

9

11Xi+小

y=^x]x-—x\x=

2，即X3=g%•时,

ii◊

y=-^x2x--xiIT

X|+%2

DA-DB=（xx-^^^

T）（-2-

Xl一刀2^!（X|-X2）\/X2-X1X2G2一而）

-2-'4八-2'4-

=_良守_X*厂J=_包萨1(4+为必)不一定为0,A错.

4Io16

期•阴=4+。借+1)=嗒+]+[+[

2

DF=GI+M）2/XtX2_t\_X1+2X|X2+X2H_陋]

“~~4+<7]1—4-[6T~

=唐+4+苧+1=1"川山川，C对

）（

D（X|+MX|尤2/（M+XoXiX。）0x2+Xo必沏）

（（））

Ap_JXX|2।—_|xo—X||j4+。

）

CQ=]（必一刀02।（必向一需）_昆一沏|/4+焉

（）（

pC_'.―.2।‘Xo-4y_|X|—Xo|j4+4

（（））

pD_,（应—劭）2।G>X2X|2_昆—网|/4+后

：.AP-CQ=PC-PD,。对

三.填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.【答案】4

【解析】/（-2）=1+log,（2—（—2））=1+log,4=3,

/（/（一2））=/⑶=23T=2?=4

14.【答案】““=(-1)

【解析】可构造等比数列，的*<0,则公比为负数，⑸1>团，

4取一｝,%=(-y)"

15.【答案】T

【解析】4(VJ,O),5(O,1),尸4=P8,.•.尸在42的垂直平分线_y=6x-l上,

P在圆O:f+/=，满足条件的尸有且仅有一个，直线与圆相切，

16.【答案】5；4

【解析】方法一：「的边数至多为5,延长EGC。交于点J,

延长E/,C8交于点K,连接JK分别与4),48交于6,/7,

连接尸G,H/得截面五边形E/G，/

设SE=x,.•.SF=2x,EF=B,G7=2-2X,.•.㈤=1—2X=Z)G,==VJ(1—2X),

砍=71(2—2x)=271(1—x),JG=〃K=VI(1—2x),FG=1-2x,

/.JG2+FG2=JF2,：.JG±GF

•••5/^-=/・犯(1-2x)・(l-2x)=S4yHK，而EJ="(1-X)=EK,JK=2V2(\-x),

-7-

5As/K=y-272（1-x）2=V2（l-x）2,

显然五边形时截面面积最大，

•••5截面五边形=打（1一幻2-，1（1-2x）2

=V2（-3x2+2x）<V2--=^-=挈，x=5时取“=”，

—123J

「面积的最大值为殍.

应填：5；（

方法二:取SC中点凡■BF_LSC,Z）F_LSC,.•.SC_L平面8。尸.

作平面与8。尸平行，如图至多为五边形.

令"=L=}BF=号入,SP=4SB=3

；.PB=1-2,BQ=1一九尸。=1-A,NQ=MP=2BD=g

3+J__2/y

cosZDFB=--―-二---,sin/DFB=---.

2x4x433

MN与NQ的夹角为S4与BD夹角，而S/与BD垂直，

SPMNQ=V22（l—2）,5--v^z（l—A）+=一■~-V2z2+V22,

%|■时，S取最大值容.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步91.

17.【解析】

（独设5力公差为（若选①②，

（S1S=S2.]（4m+64）=（2〃]+d）2

贝4=></、=d=2s

1。4=2做+2[〃]+3d=2（〃i+d）+2

，7«|=6。1+2,。[=2,d=4,，a〃=2+4（〃-1）=4n—2.

若选①③或②③同理可得an=4n-2

⑵此=（4〃—2；4〃+2）=>⑵?—1；（2〃+1）♦（暴T--7

。图2。2的8、3352n—12n4-1

=±fi__!_）=__«__,

8'2〃+1/4（2〃+1）

18.【解析】

（1）2x2列联表如下:

喜欢足球不喜欢足球合计

男生6040100

女生3070100

合计90110200

2_200x（60x70-40x30）2〜

-—100x100x90x110-“18.182>10.828,

有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关

（2）3人进球总次数。的所有可能取值为0,1,2,3

X—=—,P（/=l）=cb—­—x—+—x

218、G/23322（十）一=得

-8-

「("2)=4144+(打x六小尸(”3)=信

••厚的分布列如下：

40123

P1542_

I?I?~9~9

.*的数学期望:E&)=1X2+2X5+3XV=2.

Ioyyo

19.【解析】

(1)VacosB—2QCOSC=(2c—b)cos4,

:.sinZcosB—2sinZcosC=(2sinC—sin5)cos4

=>sia4cos3+cosXsinB=2sin^cosC+2cosZsinC

=>sin(J+5)=2sin(J+C)

=sinC=2sin5nc=2b,c=鼻a0b=，

222

D苏+/_〃a+3a-^a

..cosn=--------------=------------------=———・

2ac2a•Via24

(2)由(1)知c=2b,丁6=1»/.c=2,设4BAD=6,

,2•sin20二十•2•40•sin®+•1•40•sin。

=>J£>=ycos6»,ee(0,y),AADG(0,y)

20.【解析】

(1)证明：•••尸。_1_4。，/。_1_8。，尸。05。=。，••・NQl.平面P8Z),.•./O_LP8,

又：PB上4B,4D,18U平面480,ADQAB=A,：.PB±TffiABD

(2)如图建系，则5(0,2,0),尸(0,2,4),2(4,0,0),£>(0,0,0),

：.BP=(0,0,4),PA=(4,-2,-4),DA=(4,0,0),

设平面BPA与平面PAD的一个法向量分别为范=(x"I,Z1),~n2=(如必必),

,1万•丽=04zi=0

(万•同=0=范=(1,2,0),

4xj—2y}—4zj=0

a•P4=04x—2%—4Z=0

22n&=(0,2,—1),

拓•万

=04X2=0

设二面角8一以一。平面角为仇

・9・

瓦•尾I=4=4

/.|cos0|=...in6»=y.

同同V5-V55S

21.【解析】

L22

（1）当尸。J_x轴时，尸。=且，尸尸=h

a丁'

(b2

(?)+(c—a)2=10=3

TJa=1

«

c—a=1n[b=V39

y・—・(c-a)=3

2aC2=々2+.2

(2)方法一：设尸。方程为工二叼-2,P(x”]),0(孙先)，

[x=my—2/…1/c、、

<=3(加2/—4〃?y+4)—j?=30(3%[2—[)/—]2加y+9=0,

[3x^—)r=3

以尸0为直径的圆的方程为(X—%!)(%—X2)+(卜一乃)(»—%)=0

nx2一(两+处方+修必+V一(力+力)丁+乃乃=0，

由对称性知以PQ为直径的圆必过X轴上的定点，令y=0

nf—(为+12)工+两必+%％=0，而为+必=加(乃+玖)-4=—4=,

3m7—13m~—1

X|X2=(rnyi-2)(my2-2)=nry\y2一2〃?(凹+”)+4

9m2c12m.A—3〃?2—4

3m~—13m2—13m2—1

4—3m2—4

-x+H------------=0=(3加2—Qx2—4x+5—3m2=0

3〃/—13m2—13m~—1

=[(3m2—l)x+3m2—5](x—1)=0对WmGR恒成立,r.x=1.

・•.以P0为直径的圆经过定点(1,0).

方法二:设P0方程为x=—2,P(x”]),。(必/2)，

(x=my—2....

<)=>(3"一l)y—12卯+9=0,

[3JT—y=3

由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点.

设以尸0为直径的圆过£。,0),

2

/.EP-EQ=0=>(xj—r)(x2—。+y\yi=0=>x[x2—t(x[+x2)+z+yiy2=0,

而X[X2=(加y—2)(my2—2)=m2yly2—2加(必+次)+4

9c12m.—3m2—4

=nr2-----；--------2m--------------F4A=-----；------，

3m2—13加2—13w2—1

12nr

即+工2=m（乃+乃）一4=一4=/

3加2—1

.—3加2—44z.9

+/+—7—=0,

37H2—13/H2—13阳2—1

（3阳2—l）/2—4/+5—3加2=o,即［（3m2—1）/+3、2—5］（/—。=0对V阳eR恒成立,

・