简谐运动的回复力和能量、单摆知识讲解提高练习

简谐运动的回复力和能量、单摆

编稿：张金虎审稿：李勇康

【学习目标】

1.掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念。

2.知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况。

3.理解简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。

4.知道什么是单摆。

5.理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。

6.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。

【要点梳理】

要点一、简谐运动的回复力、能量

1.回复力

物体振动时受到的回复力的方向总是指向平衡位置，即总是要把物体拉回到平衡位置的力称为回

复力.

F=一kx.

要点诠释：(1)负号表示回复力的方向是与位移方向相反.(2)%为尸与x的比例系数，对于弹

簧振子，女为劲度系数.(3)对水平方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力提供：对竖直方向振

动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力与重力两力的合力提供.(4)物体做简谐运动到平衡位置时，回

复力为0(但合力可能不为0).(5)回复力大小随时间按正弦曲线变化.

2.简谐运动的能量

(1)弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即振动过程中机械能守恒.

(2)水平方向的振子在平衡位置的机械能以动能的形式出现，势能为零；在位移最大处势能最大,

动能为零.

E

振子的弹簧的

动能弹性势能总能量E

(3)简谐运动中系统的动能与势能之和称为简谐运动的能量，即£=,加2。

2

(4)简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能

量越大.

(5)在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能

最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小.

要点二、简谐运动的特征

1.物体做简谐运动的三个特征

(1)振动图像是正弦曲线；

(2)回复力满足条件歹=一质;

(3)机械能守恒.

2.简谐运动的判定方法

（1）简谐运动的位移一时间图像是正弦曲线或余弦曲线.

（2）故简谐运动的物体所受的力满足/=一日，即回复力E与位移x成正比且方向总相反.

（3）用F=一日判定振动是否是简谐运动的步骤：

①对振动物体进行受力分析；

②沿振动方向对力进行合成与分解；

③找出回复力，判断是否符合b=一日.

要点三、简谐运动的运动特点

1.简谐运动的加速度分析方法

简谐运动是一种变加速的往复运动，由。=-七无知其加速度周期性变化，“一”表示加速度的方

m

向与振动位移x的方向相反，即总是指向平衡位置，。的大小跟x成正比.

2.简谐运动的运动特点

位移X回复力b加速度a速度U势能动能

物体

方方方方

位置大小大小大小大小E,Ek

向向向向

平衡

零零零零Ekm

位置。

指指指

最大位kA

向A向kA向零Epm零

移处Mm

M00

指指指指

O^M向零一A向零一公向零一一向Vm—零零一Epm零

m

M00M

指指指指

kA中

MfO向Af零向公一零向----＞冬向零一曦EpmT■零工零一4

m

M000

通过上表不难看出：位移、回复力、加速度三者同步变（t,与速度的变4二相反.通过上表可看出

两个转折点：平衡位置。点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点；最大位移处是速度

方向变化的转折点.还可以比较出两个过程的不同特点，即向平衡位置。靠近的过程及远离平衡位置

。的过程的不同特点：靠近。点时速度大小变大，远离。点时位移、加速度和回复力大小变大

3.弹簧振子在光滑斜面上的振动

光滑斜面上的小球连在弹簧上，把原来静止的小球沿斜面拉下一段距离后释放，小球的运动是简

谐运动.

分析如下：

如图所示，小球静止时弹簧的伸长量为

mgsin0

xo=；，

K

往下拉后弹簧相对于静止位置伸长X时，物体所受回复力

F=一4(而+x)+777gsine=—kx.

由此可判定物体是做简谐运动的.

要点四、单摆

1.单摆

单摆指在一条不可伸长的，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置.单摆是实际摆的理想

化的物理模型.实际摆可视为单摆的条件：细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相

比也可以忽略.

实际摆轮看成单把的条件是:

(1)接长远大于接球的直径.

⑵排球的质量还大于摆蝶

的质量.

⑶把长远大于接动中接线

的最大伸长量.

单接结构的理想模型：

接动中接⑴把线不修伸长.

统的最大⑵摆线质量为零.

伸长量(3)接球为质点.

一个很轻的细线系着一个有质量的质点，这个模型叫做单摆.在实验室里，如果悬挂物体的细线

的伸缩和质量可以忽略，细线的长度比物体的直径大得多，这样的装置就叫做单摆.

单摆做简谐运动的条件：

小球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角叫偏角.偏角很小时，单摆做简谐运动.

2.单摆做简谐运动的回复力

单摆做简谐运动的回复力是由重力沿圆弧切线的分力sin。提供(不要误认为是摆

Y

球所受的合外力）.当。很小时，圆弧s可以近似地看成直线X,sine=—.切线的分力F可以近似

地看做沿这条直线作用，这时可以证明尸=—等》=-辰.

可见，在偏角很小的情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐运动.

3.单摆的周期公式

荷兰物理学家惠更斯发现在偏角很小的情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速

度的平方根成反比，而跟摆球的质量和振幅无关，即

T=2万

式中/为悬点到摆球球心间的距离，g为当地的重力加速度.

（1）单摆的等时性：往振幅较小时，单摆的周期与单摆的振幅尤天，单摆的这种性质叫单摆的等

时性.

（2）单摆的周期公式：由简谐运动的周期公式

对于单摆

k=鳖,

I

所以

周期为2s的单摆，叫做秒摆，由周期公式

得秒摆的摆长

T2-g22X9.8

m«1m.

A_24x3.142

要点五、单摆的应用

1.单摆的应用

（1）计时器：利用单摆周期与振幅无关的等时性，制成计时仪器，如摆钟等.由单摆周期公式知

道，调节单摆摆长即可调节钟表快慢.

（2）测定重力加速度：把单摆周期公式变形，得g=4/〃T2,由此可知，只要测出单摆的摆长

和振动周期，就可以测出当地的重力加速度g。

2.如何理解单摆的周期公式

(1)等效摆长：摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不是一定为摆线的长.如图中，

摆球可视为质点，各段绳长均为/,甲、乙摆球做垂直纸面的小角度摆动，丙摆球在纸面内做小角度

摆动，。'为垂直纸面的钉子，而且。0=—,则各摆的周期为

丙

/(sincu+1)

乙：等效摆长/'=/sina+/,T乙=2兀.

g

丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由。变为。'，摆球振动时，半个周期摆长为/,另半个周期摆

(I\22//3

长为丁，即为：/，则单摆丙的周期为扁=兀戊/g+K

3Jg

(2)等效重力加速度g,g不一定等于9.8m/s2.

①g由单摆所在的空间位置决定.由g=G亮知,g随所在地球表面的位置和高度的变化而变

化,高度越高，g的值就越小，另外,在不同星球上g也不同.

同一单摆，在不同的地理位置上，由于重力加速度不同，其周期也不同.

同一单摆，在不同的星球上，其周期也不相同.例如单摆放在月球上时，由于g月＜g地地，所以

同一单摆在月球上的周期比在地球上的周期大，但是水平弹簧振子不受g变化的影响而改变周期.

②g还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为。，则摆球处

于超重状态，沿圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值g'=(g+R,若升降机加速下降，则

重力加速度的等效值g'=(g—o).单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等

效值g'=0,摆球不摆动了，周期无穷大.若摆球在摆动过程中突然完全失重，则摆球将以那时的速

率相对悬点做匀速圆周运动.

一般情况下，g'的值等于摆球相对于加速系统静止在平衡位置时，摆球所受的张力户与摆球质量

机的比值.即，〃.

3.圆锥摆

如图所示，用细线悬吊小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，即细线所扫过的面为圆锥面,

通常我们称为圆锥摆，实质上圆锥摆中的小球不是振动，是匀速圆周运动.

设运动过程中细线与竖直方向夹角为。，线长为/,则小球做圆周运动的半径

r-1-sind,

向心力

耳句=mgtan8.

得圆锥摆的周期

IcosO

T=2i

显然该周期小于单摆周期，所以在用单摆测重力加速度的实验中，强调摆球必须在竖直面内摆动.

4.摆钟快慢问题的分析方法

摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用，其快慢不同是由摆钟的周期变化引起的，分析时应注意:

(1)由摆钟的机械构造所决定，摆钟每完成一次全振动。摆钟所显示的时间为一定值，也就是走

时准确的摆钟的周期T。

(2)在摆钟机械构造不变的前提下，走时快的摆钟，在给定时间内全振动的次数多，周期小，钟

面上显示的时间快.走时慢的摆钟，在给定时间内全振动的次数少，周期大，钟面上显示的时间就慢.因

钟面显示的时间值总等于摆动次数N乘以准确摆钟的周期7；,即/显=可工，所以在同一时间f内，

钟面指示时间之比等于摆动次数之比.

(3)无论摆钟走时是否准确，钟面上显示的时间值=N-7；,其中7；为走时准确摆钟的周期，N

为全振动的次数.同时对于走时不准确的摆钟，要计算其全振动的次数，不能用钟面上显示的时间除

以其周期，而应以准确时间除以其周期，即双非=〃看『

【例】甲、乙两只相同的摆钟同时计时，当甲摆钟指示45min时，乙摆钟已指示lh,则甲、乙

两摆钟的摆长之比/甲：/乙=。

【解析】设甲、乙两摆钟经过的时间为r,周期分别为踊,、T乙,标准钟的周期为则两钟在

f时间内完成全振动次数为

N甲=〃琦,N乙=f/7^.

两钟显不的时间为:

T=21

【答案】16:9

【说明】本题两摆钟所用时间相同，但显示的时间各不相同，无法判断哪只摆钟准确，也可能都

不准确，但对同一只摆钟每振动一次所显示的时间是一样的.摆钟所显示的时间就是摆的振动次数与

标准钟的周期的乘积.

【典型例题】

类型-对简谐运动的理解

例1.如图所示，水平面的轻弹簧一端与物体相连，另一端固定在墙上P点，已知物体的质量为

/〃=2.0kg,物体与水平面间的动摩擦因数〃=0.4,弹簧的劲度系数％=200N/m.现用力/拉物

体，使弹簧从处于自然状态的。点由静止开始向左移动10cm,这时弹簧具有弹性势能=L0J,

物体处于静止状态.若取g=10m/s2,则撤去外力F后（）.

/〃/VWWWWWWWWI

A.物体向右滑动的距离可以达到12.5cm

B.物体向右滑动的距离一定小于12.5cm

C.物体回到。点时速度最大

D.物体到达最右端时动能为0,系统机械能不为0

【答案】B、D

【解析】如图所示，物体加由最大位移处释放，在弹力作用下向右加速，由于受滑动摩擦力的作

用，物体向右运动时的平衡位置应在。点左侧。’处,

J—

AO'OA'

由平衡条件

/jmg=kx«

得

/==0.04m=4cm,

ok

即

OD=4cm

由简谐运动的对称性可知到达。点右侧O'A'=6cm的A'点时物体速度减小为零，即

AA=12cm<12.5cm,

A项错误，B项正确；在平衡位置。'处速度最大，C项错误；物体到达最右端时动能为零，弹簧

处于压缩状态，系统机械能不为零，故D项正确.

类型二、简谐振动中的牛顿第二定律

例2.（2014江苏一模）如图所示，水平面上质量相等的两木块A、B用一轻弹簧相连，整个系

统处于静止状态.时刻起用一竖直向上的力F拉动木块，使A向上做匀加速直线运动.力时刻弹簧

恰好恢复原长，玄时刻木块B恰好要离开水平面.以下说法正确的是（）

A.在0~f2时间内，拉力尸与时间f成正比

B.在072时间内，拉力尸与A位移成正比

C.在072间间内，拉力F做的功等于A的机械能增量

D.在Of时间内，拉力下做的功等于A的动能增量

【思路点拨】以木块A为研究对象，分析受力情况，根据牛顿第二定律得出F与A位移x的关系

式，再根据位移时间公式，得出F与t的关系.根据功能关系分析拉力做功与A的机械能增量关系.

【答案】C

【解析】A、8设原来系统静止时弹簧的压缩长度为X0,当木块A的位移为x时，弹簧的压缩长度

为（刖LX）,弹簧的弹力大小为k（XLX）,根据牛顿第二定律得：

F+k（Xff—x）—mg=ma

得至！I：F=kx—kxo+ma+mg,

又kxo=mg,则得到：F=kx+ma

可见尸与x是线性关系，但不是正比.

1,,1.

由x=—a广得：F-k—at"+ma,尸与，不成正比.故AB错误.

22

据题片0时刻弹簧的弹力等于4的重力，女时刻弹簧的弹力等于B的重力，而两个物体的重力相

等，所以/=0时刻和介时刻弹簧的弹力相等，弹性势能相等，根据功能关系可知，在072时间内，拉

力F做的功等于A的机械能增量，故C正确.

根据动能定理可知：在0~fi时间内，拉力尸做的功与弹力做功之和等于A的动能增量，故。错误.

【总结升华】对于匀变速直线运动，运用根据牛顿第二定律研究力的大小是常用的思路.分析功

能关系时，要注意分析隐含的相等关系，要抓住Q0时刻和及时刻弹簧的弹性势能相等进行研究.

举一反三：

【高清课堂：简谐运动的回复力和能量、单摆例1】

【变式】

如图所示，质量为加的物块A放置在质量为M的物块8上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水

平面上做简谐运动，振动过程中A、3之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为％,当物块离开平衡位

置的位移为x时，4、8间摩擦力的大小等于（）

'曰

,zzz/zzzzzz//zzzzzzz//zzzzzzz/?/zzzl/zzzz/z/zz/z

A.0B.kx

„m,„m

C.——kxD.-----kx

MM+m

【答案】D

类型振动与物体平衡的综合运用

例3.如图所示，一质量为M的无底木箱，放在水平地面上，一轻质弹簧一端悬于木箱的上边，

另一端挂着用细线连接在一起的两物体A和B,/〃八剪断48间的细线后，A做简谐运

动，则当A振动到最高点时，木箱对地面的压力为。

l

i

?■V

.-(

4工

【答案】Mg

【解析】本题考查简谐运动的特点及物体受力情况的分析.剪断细线前A的受力情况：

重力：〃归，向下；

细线拉力：向下；

弹簧对A的弹力：F=2mg,向上.

设弹簧的劲度系数为％,则此时弹簧的伸长量为

.F2mg

Ax=—=———.

kk

剪断细线后，A做简谐运动，其平衡位置在弹簧的伸长量为Ax'=2翌处，最低点即刚剪断细线

k

时的位置，离平衡位置的距离为整•由简谐运动的特点知最高点离平衡位置的距离也为螫，所以

kk

最高点的位置恰好在弹簧的原长处.此时弹簧对木箱作用力为零，所以此时木箱对地面的压力为Mg.

【总结升华】在一些力学综合题目的处理中，如果能充分考虑简谐运动的对称性，注意弹簧的原

长点、平衡点、最高点、最低点等特殊点，可收到事半功倍的效果.

举一反三：

【高清课堂：简谐运动的回复力和能量、单摆例6】

【变式】

如图所示，弹簧下面挂一质量为机的物体，物体在竖直方向上作振幅为A的简谐运动，当物体振

动到最高点时，弹簧正好为原长。则物体在振动过程中（）

A.物体在最低点时的弹力大小应为2,wg

B.弹簧的弹性势能和物体动能总和不变

C.弹簧的最大弹性势能等于2mgA

D.物体的最大动能应等于加gA

【答案】AC

【解析】A、小球做简谐运动的平衡位置处，1ng=kx,x=詈.当物体振动到最高点时，弹簧

正好为原长，可知x=A.所以在最低点时，形变量为2A.弹力大小为2mg.故A正确.

B、在运动的过程中，只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，弹簧的弹性势能、物体的动能、

重力势能之和不变.故B错误.

C、从最高点到最低点，动能变化为0,重力势能减小则弹性势能增加2，〃g4.而初位置

弹性势能为0,在最低点弹性势能最大，为2俏g4.故C正确.

D、在平衡位置动能最大，由最高点到平衡位置，重力势能减小加gA,动能和弹性势能增加，所以

物体的最大动能不等于mgA.故D错误.

故选AC.

【总结升华】解决本题的关键抓住简谐运动的对称性以及灵活运用能量守恒定律和机械能守恒定

律.

名题诠释

根据振动周期求摆长

例4.已知单摆。完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6m,则两

单摆摆长/“与4分别为（）.

A.la=2.5m,lb=0.9mB.la=0.9m,lb=2.5m

C.'=2.4m,lh=4.0mD.la=4.0m,lh=2.4m

【思路点拨】根据两单摆在相同时间内摆动的次数可以求出其周期关系，利用周期公式可以求出

摆长.

【答案】B

【解析】该题考查的是单摆的周期公式.设两个单摆的周期分别为7；和7；,由题意

107；=67；,

得

TaF=6：10.

根据单摆周期公式

7=2万

可知

l=-^—T2

41

由此得

小4=方：叶=36：100.

则

36

xl.6m=0.9m

100-36

100

xl.6m=2.5m.

b100-36

【总结升华】根据两单摆在相同时间内摆动的次数可以求出其周期关系，利用周期公式可以求出

摆长.

举一反三：

【变式】（2014安徽卷）在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同

点，进一步推测未知现象的特性和规律.法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭

秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系.已知单摆摆长为I,

引力常量为G,地球质量为摆球到地心的距离为八则单摆振动周期T与距离『的关系式为（）

【答案】B

【解析】本题考查单摆周期公式、万有引力定律与类比的方法，考查推理能力.在地球表面有

MmM

G-p-mg,解得g=Gr。单摆的周期T=2%二=2兀人」一，选项B正确.

r2VgVGM

例5.如图所示，在竖直平面内有一段光滑圆弧轨道MN,它对应的圆心角小于5°,P是脑V的

中点，也是圆弧的最低点.在NP间的一点Q和P之间搭一光滑斜面并将其固定.将两个小滑块（可

视为质点）同时分别从。点和M点由静止开始释放，则两个小滑块第一次相遇时的位置（）.

C.一定在P点D.不知道斜面PQ的长短，无法判断

【总结升华】当PMR时，可认为满足简谐振动条件，故为单摆模型.

【答案】A

【解析】P点是最低点，P、。是圆弧上两点，对应圆弧半径为R,由“等时圆”可知，。到P

历时

光滑圆弧轨道所对应的圆心角小于5。，小滑块由M到N做简谐运动，由单摆周期公式

T=2八即

得

lMP=4=5JR/g,

所以

‘MP<'I，

故相遇时应在PQ上的一点，A项正确.

【总结升华】圆弧形轨道上的运动时，当PMR时，可认为满足简谐振动条件，故为单摆模型.

单摆在加速系统中的振动

例6.在一加速系统中有一摆长为/的单摆.

(1)当加速系统以加速度。竖直向上做匀加速运动时，单摆的周期多大？若竖直向下加速呢?

(2)当加速系统在水平方向以加速度〃做匀加速直线运动时，单摆的周期多大？

【答案】(1)2凡----,27r(2)2万

Yg+a

【解析】(1)当单摆随加速系统向上加速时，设在平衡位置相对静止的摆球的视重力为/，如图

甲所示，

图甲图”乙

则

F-mg=ma，

故

F=m(g+a),

由

F=mg'

得视重力加速度

g'=g+a，

所以单摆周期

工=2*=2万

同理，当单摆随加速系统竖直向下加速时，视重力

F-m(g—a)，

则视重力加速度

g'=g-a'

(2)当在水平方向加速时，相对系统静止时摆球的位置如图乙所示，视重力

F=myjg2+a2。

故视重力加速度

g'=M+O2,

所以周期

4=2万

类型六、月球上的摆钟问题

例7.将在地面上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球上记录的时间是1h,那么实际的时间

是多少?若要在月球上使该钟与地面上时一样准，应如何调节？