平面向量及其应用（二）

平面向量及其应用（二）一．选择题（共8小题）1．已知a→，b→为单位向量，向量c→满足2b→+cA．6 B．7 C．22 2．已知向量a→=(3，1)，b→=(1，−A．±1 B．±12 C．﹣1 3．在平行四边形ABCD中，BE→=12EC→，DF→=2A．67a→+37b→ 4．已知向量a→=（2，m），b→=（4，﹣1），且（a→A．2 B．12 C．8 D．5．边长为2的正△ABC中，G为重心，P为线段BC上一动点，则AG→A．1 B．2 C．(BG→−6．如图，在同一平面内以平行四边形ABCD两边AB，AD为斜边向外作等腰直角△ABE，△ADF，若AB＝2，AD＝1，∠BAD=π4，则A．32 B．−32 C．37．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则AB→A．10 B．12 C．14 D．168．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，若S1S2=5，则sinA．355 B．255 C．二．多选题（共4小题）（多选）9．下列判断错误的是（）A．方程组y=x−1y=3−x的解集为{2，1}B．若向量a→，b→共线，则存在实数x，使得a→C．x+1xD．如果a＜b＜0，那么1（多选）10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列关系式中正确的是（）A．（b+c）（b﹣c）＝2absinC﹣a2 B．（b+c）（b﹣c）＝2abcosC﹣a2 C．sin（A+B）sin（A﹣B）＝sin2A﹣sin2B D．cos（A+B）cos（A﹣B）＝cos2A﹣cos2B（多选）11．费马点是法国著名数学家费马在1643年提出的，根据费马的结论可得：当△ABC的三个内角都小120°时，在△ABC内部存在唯一的点P，使P到三角形三个顶点距离之和最小，且点P满足：∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．在直角坐标系xOy内，A（2，0），B（1，2），△AOB的费马点为P，点B到直线PA的距离为d，则（）A．直线PA的方程为x−3y+2＝0B．直线PA的方程为x+3y﹣2＝0C．d＞3D．d=（多选）12．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于2，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（）A．AB→⋅AC→=2 B．GF→三．填空题（共4小题）13．已知单位向量a→，b→，且a→⊥(14．已知向量m→=(2，1)和向量n→=(−3，4)，则m→15．如图，已知P，Q分别为∠AOB两边上的点，∠AOB=π6，PQ＝3，过点P，Q作圆弧，R为PQ的中点，且∠PQR=π6，则线段16．已知△ABC中，BC＝3，且ABAC=2，则tan∠ABC的最大值为四．解答题（共6小题）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足a＝2cosB（bcosC+ccosB）．（1）求B；（2）若b＝2，a+c＝4，求△ABC的面积．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2b−ca（1）求A；（2）若b+c=42，△ABC的面积为33219．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2bsinA+acosB＝c．（1）求sinA的值；（2）若点M在边AC上，且△BCM是边长为23的等边三角形，求△ABC的面积．20．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=2asin(C+π（1）求A；（2）设AB的中点为D，若CD＝a，且b﹣c＝1，求△ABC的面积．21．①（a+b）（sinA﹣sinB）+（c﹣a）sinC＝0，②（2a﹣c）cosB＝bcosC．请从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该题．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c且_____．（1）求角B；（2）若点D在BC的延长线上且满足BC＝CD，AD＝2，求2a+c的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．22．如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc．（1）求A的大小；（2）若△ABC内点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠PAC，求∠BPC的大小．

平面向量及其应用（二）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知a→，b→为单位向量，向量c→满足2b→+cA．6 B．7 C．22 【解答】解：已知a→，b又a→与b则a→又2b则c→所以c→所以|c故选：B．2．已知向量a→=(3，1)，b→=(1，−A．±1 B．±12 C．﹣1 【解答】解：向量a→则a→⋅c→=∵c→在a∴|c→⋅a故选：B．3．在平行四边形ABCD中，BE→=12EC→，DF→=2A．67a→+37b→ 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC→=AB→+∵BE→=12EC∴BE→=1∴AE→AF→∵AE→=a∴AB→+1∴AC→故选：B．4．已知向量a→=（2，m），b→=（4，﹣1），且（a→A．2 B．12 C．8 D．【解答】解：（a→−b则(a→−∵a→=（2，m），∴22+m2＝42+（﹣1）2，解得m=±13故选：D．5．边长为2的正△ABC中，G为重心，P为线段BC上一动点，则AG→A．1 B．2 C．(BG→−【解答】解：因为边长为2的正△ABC中，G为重心，由向量数量积的性质可得，AG→⋅AP→=|AG→|×32|AG故选：B．6．如图，在同一平面内以平行四边形ABCD两边AB，AD为斜边向外作等腰直角△ABE，△ADF，若AB＝2，AD＝1，∠BAD=π4，则A．32 B．−32 C．3【解答】解：由已知可得AC=AB=AD=AF=1=−3故选：B．7．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点O为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A，B所在位置如图所示，则AB→A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：连接OD，因为中间阴影部分是正方形且边长为2，由题意可得图中各个三角形都为等腰直角三角形，所以∠ADO=∠ODB=π4，|OD→|=则AB=AD=4故选：C．8．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，若S1S2=5，则sinA．355 B．255 C．【解答】解：设直角三角形的短直角边为x，则长直角边为x+S因为大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，所以由勾股定理可得（S1）2＝x2+（x+S2又S1所以解得x=S2或x＝﹣2又直角三角形较小的锐角为α，所以sinα=xS1=所以sinα+cosα=5故选：A．二．多选题（共4小题）（多选）9．下列判断错误的是（）A．方程组y=x−1y=3−x的解集为{2，1}B．若向量a→，b→共线，则存在实数x，使得a→C．x+1xD．如果a＜b＜0，那么1【解答】解：A．该方程组的解集是点集，A错误；B．需限制b→≠0C．x＜0时，x+1x无最小值，D．a＜b＜0时，﹣a＞﹣b＞0，∴a2＞b2＞0，1a2＜故选：ABC．（多选）10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列关系式中正确的是（）A．（b+c）（b﹣c）＝2absinC﹣a2 B．（b+c）（b﹣c）＝2abcosC﹣a2 C．sin（A+B）sin（A﹣B）＝sin2A﹣sin2B D．cos（A+B）cos（A﹣B）＝cos2A﹣cos2B【解答】解：对于A，若C＝90°，则b2+a2＝c2，又由已知（b+c）（b﹣c）＝2absinC﹣a2，可得b2﹣c2＝2absinC﹣a2，所以b2+a2﹣c2＝2absinC，所以2ab＝0，故错误；对于B，由已知可得b2+a2﹣c2＝2abcosC，由余弦定理可得正确；对于C，左边＝（sinAcosB+cosAsinB）（sinAcosB﹣cosAsinB）＝sin2Acos2B﹣cos2Asin2B＝sin2A（1﹣sin2B）﹣sin2B（1﹣sin2A）＝sin2A﹣sin2Asin2B﹣sin2B+sin2Bsin2A＝sin2A﹣sin2B＝右边，故正确；对于D，若A＝30°，B＝60°，则C＝90°，则左边＝0≠（32）2﹣（12）2故选：BC．（多选）11．费马点是法国著名数学家费马在1643年提出的，根据费马的结论可得：当△ABC的三个内角都小120°时，在△ABC内部存在唯一的点P，使P到三角形三个顶点距离之和最小，且点P满足：∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．在直角坐标系xOy内，A（2，0），B（1，2），△AOB的费马点为P，点B到直线PA的距离为d，则（）A．直线PA的方程为x−3y+2＝0B．直线PA的方程为x+3y﹣2＝0C．d＞3D．d=【解答】解：在直角坐标系xOy内，A（2，0），B（1，2），△AOB的费马点为P，由题意可知：∠APB＝∠BPO＝∠APO＝120°．所以P在OA的中垂线上，yP=1tan60°=33所以直线AP的方程：y﹣0=33−01−2（x﹣2），即d=|1+2所以BD正确．故选：BD．（多选）12．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于2，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（）A．AB→⋅AC→=2 B．GF→【解答】解：由题意得：四面体ABCD为正四面体，故∠BAC＝∠CBD＝60°，故AB→⋅AC因为E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，所以FG∥AC，EF∥BD，且FG=12AC=1故GF→⋅AC∵BC→⋅EF取BD的中点H，连接AH，CH，因为△ABD，△BCD均为等边三角形，所以AH⊥BD，且CH⊥BD，因为AH∩CH＝H，且AH，CH⊂平面ACH，所以BD⊥平面ACH，又AC⊂平面ACH，所以BD⊥AC，所以EF⊥FG，故GF→⋅EF故选：ACD．三．填空题（共4小题）13．已知单位向量a→，b→，且a→⊥(a→【解答】解：已知单位向量a→，b又a→⊥(a→+2b→则|a故答案为：3．14．已知向量m→=(2，1)和向量n→=(−3，4)，则m→在n【解答】解：向量m→=(2，1)，则m→在n→上的投影向量的坐标为故答案为：(615．如图，已知P，Q分别为∠AOB两边上的点，∠AOB=π6，PQ＝3，过点P，Q作圆弧，R为PQ的中点，且∠PQR=π6，则线段OR长度的最大值为【解答】解：设∠PQO＝θ，则0＜θ＜5π6，在△OPQ中，由正弦定理知所以OP＝6sinθ，因为R为PQ的中点，所以∠QPR=∠PQR=π则PR＝QR，在△RPQ中由余弦定理PQ2＝PR2+QR2﹣2PR⋅QRcos∠PRQ，解得PR=QR=3在△ORP中，∠OPR=∠OPQ+∠QPR=5π由余弦定理可得O=18(1−cos2θ)+3+63所以当θ=5π12时，OR2取得最大值即OR的得最大值3+23故答案为：3+2316．已知△ABC中，BC＝3，且ABAC=2，则tan∠ABC的最大值为3【解答】解：设AC＝x，则AB＝2x，BC＝3，由余弦定理可得，cos∠ABC=A当且仅当x=3x，即x故(cos∠ABC)min=所以tan∠ABC的最大值为12故答案为：33四．解答题（共6小题）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足a＝2cosB（bcosC+ccosB）．（1）求B；（2）若b＝2，a+c＝4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，已知a＝2cosB（bcosC+ccosB），由正弦定理可得sinA＝2cosB（sinBcosC+sinCcosB）＝2cosBsinA，又sinA≠0，则cosB=1又B∈（0，π），即B=π（2）由（1）可知B=π在△ABC中，根据余弦定理cosB=a2+即a2+c2＝ac+4，即（a+c）2＝3ac+4，又a+c＝4，则16＝3ac+4，即ac＝4，即△ABC的面积S△ABC18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2b−ca（1）求A；（2）若b+c=42，△ABC的面积为332【解答】解：（1）∵2b−ca∴在△ABC中，由正弦定理得2sinB−sinCsinA=cosCcosA，即2sinBcosA＝sinCcosA+cos∴2sinBcosA＝sinB，∵B∈（0，π），∴sinB≠0，∴cosA=1又A∈（0，π），则A=π（2）由（1）得A=π∵△ABC的面积为332，∴12bcsinA=∵b+c=42，∴b2+c2＝（b+c）2﹣2bc在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝20﹣2×6×12=14，故19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2bsinA+acosB＝c．（1）求sinA的值；（2）若点M在边AC上，且△BCM是边长为23的等边三角形，求△ABC的面积．【解答】解：（1）因为2bsinA+acosB＝c，所以结合正弦定理得2sinBsinA+sinAcosB＝sinC，因为A+B+C＝π，所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，所以2sinBsinA＝cosAsinB，因为0＜B＜π，所以sinB≠0，所以2sinA＝cosA，所以tanA=sinA因为sin2A+cos2A＝1，且0＜A＜π，所以cosA=2（2）因为△BCM是边长为23的等边三角形，所以BC=2在△ABC中，由正弦定理可得asinA=c因为A+C+∠ABC＝π，所以sin∠ABC=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=5则△ABC的面积为1220．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=2asin(C+π（1）求A；（2）设AB的中点为D，若CD＝a，且b﹣c＝1，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵b+c=2asin(C+π∴sinB+sinC＝2sinAsin（C+π∴sinB+sinC＝2sinA（32sinC+12∴sinB+sinC=3sinAsinc+sinAcosC又∵B＝π﹣（A+C），∴sinB＝sin（A+C），∴sin（A+C）+sinC=3sinAsinc+sinAcosC∴sinAcosC+cosAsinC+sinC=3sinAsinC+sinAcosC∴cosAsinC+sinC=3sinAsinC又∵C∈（0，π），∴sinC≠0，∴cosA+1=3sinA∴3sinA−cosA＝1，∴2sin（A−∴sin（A−π6）∵0＜A＜π，∴−π∴A−π∴A=π（2）在△ABC中，由余弦定理可得cosA=b∴cosπ∴b2+c2﹣a2＝bc，∴（b﹣c）2+2bc﹣a2＝bc，又∵b﹣c＝1，∴a2＝bc+1，在△ACD中，由余弦定理可得cosA=(∴cosπ3∴14∴（b+c2）2﹣bc﹣a2=又∵a2＝bc+1，∴(b+c2又∵b﹣c＝1，∴b＝c+1，∴（c+1+c2）2−52（解得c＝2，∴b＝3，∴S△ABC=121．①（a+b）（sinA﹣sinB）+（c﹣a）sinC＝0，②（2a﹣c）cosB＝bcosC．请从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该题．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c且_____．（1）求角B；（2）若点D在BC的延长线上且满足BC＝CD，AD＝2，求2a+c的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：（