第五章稳定性分析版

第五章代数稳定性判据(Routh判据、Hurwitz判据第五章代数稳定性判据(Routh判据、Hurwitz判据—25.15.1如果系统受到了扰动偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，系统又能恢复原来—35.1若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随时间的推移，逐渐衰—4X XoG1 G2sHN(s)到Xo(s) bsmbsm1 s N 1GsGsH asnasn1 s n —5n(t为单位脉冲函数，Nsbsmbsm1 sXos asnasn1 s ci d is js22s s22s2 j j j—6 e etsin 12s2jsj j1 s2jjs 12 etsin 12t j —7xtfeit ig sinj1jtjjt jxoti0,jj—8i0,jj ,s0的根:ss s22s s22sj j s22s20的根:s 1j j —9ijj为系统闭环特征根的实部。闭环极点全部在[s —10三次方程x3pxq0 x3qp3qp 2 3 2 3 —115.3.1稳定性判asnasn1 asa asna1sn1 an1san0 a 0a0ss1ss2 ssns1s2 ,sn—12a1sss a1sss a2ssss s 1 1 n1a3ssssss sss 12 12 n2n1an1nss sss 12 n2n1—135.3.1稳定性判特征方程的各项系 ai(i=0，1，2，…，n)ai一般取正值，ai—14 阵列”中 阵列： 1 —155.3.1稳定性判 ba1a2a0 cb1a3 ba1a4a0a5 cb1a5 ba1a6a0 cb1a7 dc1b2 1—165.3.15.3.1稳定性判特征方程的各项系 ai(i=0，1，2，…，n)“阵列”中第一列所有为正。且，实部为正的特征根数—17例1s48s317s216s5 —18例2s42s33例2s42s33s24s3 —195.3.1稳定性判二阶系统特征式为as2asa 1 2故二阶系统稳定的充要条件a00,a10,a2—205.3.15.3.1稳定性判as3as2asa s1a1a2a0 3故三阶系统稳定的充要条件a0,a1,a2,a30,a1a2a0—21例3设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。Xis Xosss1sXos Xi ss1s2—22例例 ss1s2Ks33s22sKK23KK0K—23例 s42s3s22s1 1 0() 2 22—24例 例 s32s2s2 —254385.3.25.3.2稳定性判asnasn1 sa a0 n n×n行列式：a1a3 a0a2 a1a3 a0a2 an an2—275.3.2稳定性判即：a a3 3 a4 —28例例 设控制系统的特征方程式s48s317s216s58 —29例 18816 1 3 5 8 —30定性———31根据系统开环Gj)Hj的Nyquist图 能定量系统的稳定储备，即系统相对稳定性定量指标，及进一步提高和改善系统动态性能的途径。—325.4.1定5.4.1定n次多项式D(sp个根位于复平面的右半面，有q个根在原点上n–p-q个根位于左半面，则当以sj代入D(s，0连续增大时，复数Dj)的argss n pq p 2 n2pq2 —33证明：(1)s1为负实根，ss1当sj0argss 2 图5-4负实根情 —34s2a (a bs3a对于矢量ss2ss3,sj0变化时argssarctan argssarctan argssargss2 2 因此，(n-p-q)(n-p-q)π/2—35 图5-5—36 (2)设sm为正实根，对 (2)设sm为正实根，对于矢量ssm 当sj:0 变化时argss 图5-6—37sm1c (c dsm2c对于矢量ssm1ssm2,当sj0变化时，args arctan args arctan args args 2 2 因此，p个右根的总角变化量为p(-π/2) —38dc- 图5-7具有正实部的共轭复根情 —39 si 2 n2pq2 —40推论：如果推论：如果n次多项式D(s)的所有根都位于复平面的左半面，sj代入D(s)并令0连续增大时，复数D(s)的 argssin 2—41GHs递函数分别为Gs1s, HsB2s A2GsHsB1sB2sNK DK—42XoXos B1sA2 Xis1B1sB2 A1sA2sB1sB2 DBA1sA2s1GsHsA1sA2sB1sB2sDBA1sA2 DK同，均为n阶。—43(1)如果系统开环特征多项式的根均在s左半平 2这时如果闭环系统是稳定的，即DBs的所有根均在s左半平面，根据定理 2 则—440角变化量为0，系统闭环后就是稳定的 —45(2)如果系统开环ps右半平面，q(n-p-q)s 2DBs所有根均在s左半平面，根据定理 :0 2 —46nn2pqpq 2 2 :0若开环GjHj(-1，j0)点的pq2平面的每一个极点使角增量为180°； —47特性的角增量来判断。设开环特征多项式在s右半平面有p个根，原点处有q个根，其余(n–p–q)个根在s左半平面，则乃 0时，其相对(-1，j0)pq 2 —48例8下图所示反馈控制系统，KKTs例8下图所示反馈控制系统，KKTs (1,j0)G(s) Tsp1,q—49K例 (续)G(s)Ts当K>1时，开环乃氏图为直径大于1 当0<K<1时，开环乃氏图为直径小于1 —50例例 某反馈控制系统开环传递函数K＝10和K＝40时的频率特性如图Gs —51例9解：因为p=0,q=1, 02显然，对于K10的频率特性，满足上式， 02—52令00得出的乃氏图以实轴对称的—53p封闭的开环(-1，j0)点封闭的开环乃氏曲线(-1，j0)点，则系统—54线不封闭。为使其封闭，实用中可将其处理成左根。=0 O O (含有s项) (含有s2+a2(a>0)项)—56例 系统开环传递函数：G(s)KTsp例 系统开环传递函数：G(s)KTsp逆时针包围(-1,j0)O当0<K<1时，开环乃(-1,j0)点，—55例例 Gs 判断当K10K40 —57例9(续)Gs K令s 0Gej10eGej氏图不包围(-1,j0) 系统稳定 —58例9例9(续)Gs K令s 0Gej40eGej乃氏图包围(-1,j0) 环系统不稳定 —59其中为非常小的正数。=180 ＝270180 O O (含有s项) (含有s2+a2(a>0)项)—60例9(续)Gs K例9(续)Gs Ksej180Gej10e1图逆时针包围(-1,j0)点1圈，闭—61例9(续)Gs KGej40e开环特征多项式有1氏图顺时针包围(-1,j0)点1圈，—62例例 GssII2个原点根。sej，0Gej 1e G0—63 Gss1T T 00 00 - - 乃氏图不包围(-1,j0)点， 乃氏图包围(-1,j0)点， —64—65例13系统开环传递函数：G(s)K(ss(s开环乃氏图 将原点根处理成左根 GejK- 3Kej180ej3Kej(180 G180K1时，乃氏图逆时针包围(-1,j0)1圈，闭环系统稳定；0<K<1时，闭环系统不稳定。—66例下图所示反馈控制系统，KK例下图所示反馈控制系统，KKKG(s)OKTs(T(-1, 点，故只要K>0，则闭环系统稳定 —67例系统开环传递函数：G(sKKT2s22Ts(T0,OK(-1,j0)K0，则闭—68例GsHsKs1s2s 判断K=20K=200时的稳定性。K=20时，O包围(-1,j0)闭环系统稳定—69K=200时，OO(-1,j0)点，闭环系统不稳定—70例GsHs 40.05s s20.3s10.05s20.2sOO2—71sej，0GejHej4ej4e00GH0-—72 ss jjGjejKGK 2 G190arctanG2 G2GK G90arctan 2—73GK 2G190arctanG2G2GK 2G90arctan—74GGK12令12G90arctan arctan11010K131.6K—75如果开环系统的Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数，开环在虚轴上有极点 开环无右极点 —76- —77 —780(—79例图5-36(a)p=0，即开环传递函数无右极点，L(0范围内，正负穿越之差为0 —80例例p1L(0的频率范围内，半次正穿越 —81例图5-36(c)p2L(0的范围内，正负穿越之差为1-2=-1≠2／2，系统闭环不稳定。—82例例图5-36(d)p=2L(0的范围内，—83设II型系统p个右根，如果在所有L()0相频特性曲线()()线上正负穿(p+1)/2次，—841.用判据看系统相对稳定虚轴左移σ，令zs—851066061实际4个根为-1,2,3,5.75.72.用Nyquist Nyquist(-1,j0) O—87 1 c Gj—88 20lgK20lg 20lgGjgGj—891 Re0° —900K= 0K= K1520lgG(j1)20lg()540 )20lgG(j1)20lgG(jc1c 6dBcG(j)c90arctan() c5—91开环传递函数为Gs 例K= G(j)90arctan(