平面与空间直线课件

解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题，其主要内容可示意如下：点坐标轨迹第一章第二章方程曲线曲面平面与直线一般曲面一般曲线普通参数方程与关系第三章第四章常见曲面和二次曲面第五章二次曲线的一般理论第三章平面与空间直线3.1、平面的方程3.2、平面与点的相关位置3.3、两平面的相关位置3.4、空间直线的方程3.5、直线与平面的相关位置3.6、空间两直线的相关位置3.7、空间直线与点的相关位置3.8、平面束§3.1平面的方程一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程二、平面的一般方程三、平面的法式方程一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程1.平面的向量式参数方程2.平面的坐标式参数方程3.平面的点位式方程4.平面的三点式方程5.平面的截距式方程1、方位向量

在空间给定一个点M0与两个不共线的向量a,b，则通过点M0且与a,b平行的平面就被唯一确定。向量a,b称为平面的方位向量。

显然，任何一对与平面平行的不共线向量都可作为平面的方位向量。bxyzaM0MOr0r2、平面的向量式参数方程在空间，取标架{O；e1,e2,e3},并设点M0的向径OM0=r0,平面上的任意一点M的向径为OM=r

,显然M0M=ua+vb又因为M0M=r-r0所以r-r0=ua+vb即r=r0+ua+vb（3.1-1）方程（3.1-1）称为平面的向量式参数方程

，其中u，v为参数

。bxyzaM0MOr0r点M在平面上的充要条件为向量M0M与a,b共面，因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：3、平面的坐标式参数方程若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}并设a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}则由（3.1-1）可得（3.1-2）式称为平面的坐标式参数方程,其中u，v为参数。在（3.1-1）或r-r0=ua+vb两边与a×b作数量积，消去参数u，v得（r-r0，a，b）=0，（3.1-3）从（3.1-2）中消去参数得(3.1-1),(3.1-2),(3.1-3),(3.1-4)都叫做平面的点位式方程。4、平面的点位式方程注意：点位式方程要找两个条件1、平面上的一个点2、平行于平面且不共线的两个向量例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。解：r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1},(1)因此，平面的向量式参数方程为r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1)(3)坐标式参数方程为设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的径向为ri=OMi，则可取方位向量为r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1},(2)从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0（5）(5)式可改写为或(3)(4)(5)(6)(7)都叫做平面的三点式方程。平面为将三点坐标代入得解方程两边同除以方程得平面的截距式方程特别地，若平面与三坐标轴的交点分别为M1(a,0,0)M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc≠0,则平面的方程为称为平面的截距式方程。其中a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的截距。xzyM1M2M3o由平面的点法式方程平面的一般方程法向量二、平面的一般式方程？即任一平面表示（A,B,C不同时为零）不妨设，则，为一平面.上一页下一页返回平面一般式方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于坐标面；类似地可讨论情形.类似地可讨论情形.平面的一般方程上一页下一页返回2.平面一般方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0(2)平行于坐标轴的方程（ＡＢＣ中一为零）考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n={A,B,C}与x轴上的单位向量i={1,0,0}垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=

A=0于是:平行于x轴的平面方程是

By+Cz+D=0;平行于y轴的平面方程是

Ax+Cz+D=0;

平行于z轴的平面方程是

Ax+By+D=0.特别:D=0时,平面过坐标轴.(3)平行于坐标面的平面方程（ＡＢＣ中两个为零）平行于xOy面的平面方程是平行于xOz面的平面方程是平行于yOz面的平面方程是Cz+D=0;By+D=0;Ax+D=0二、平面的法式方程

如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量．法向量的特征：垂直于平面内的任一向量．1.法向量:注:1对平面π,法向量n不唯一;2平面π的法向量n与π

上任一向量垂直.如果在空间给定一点和一个非零向量n，那么通过点与向量垂直的平面也唯一的被确定。2.平面的法式方程设平面π过定点M0(x0,

y0,z0),且有法向量n={A,B,C}.对于平面上任一点M(x,

y,z),向量M0M与n垂直.条件等价于

yxzM0MnOn

M0M=0而M0M={xx0,yy0,zz0},得:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0称方程(3.1-12)为平面的点法式方程.(3.1-12)（3.1-11）例:求过点(2,3,0)且以n={1,2,3}为法向量的平面的方程.解:根据平面的点法式方程(3.1-12),可得平面方程为:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:x2y+3z8=0设平面为由平面过原点知所求平面方程为解上一页下一页返回设平面为将三点坐标代入得解上一页下一页返回将代入所设方程得平面的截距式方程上一页下一页返回设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解上一页下一页返回化简得令代入体积式所求平面方程为或上一页返回例6、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直平分面的方程。解：因为矢量M1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2}垂直于平面，所以平面的一个法矢量为n={1,1,-2}.又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故平面的点法式方程为(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0nM3M2M1解:先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2={3,4,6}M1M3={2,3,1}可取n=M1M2M1M3=14i+9j

k例7:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x2)+9(y+1)(z4)=0即:14x+9yz15=0例8:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n={23,4}2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=0取法向量化简得所求平面方程为解例10求过点且平行于z轴的平面方程解一用点法式设所求平面的法向量为，则由点法式得，所求平面的方程为即解二用一般式因平面平行于z轴，故可设平面方程为在平面上解得所求平面方程为即例11:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.解:由于平面过x轴,所以A=D=0.设所求平面的方程是By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以3BC=0

C=3B所求平面方程为By

3Bz=0即:y

3z=0

若平面上的一点特殊地取自原点O向平面所引垂线的垂足P，而的法向量取单位向量，设，那么由点P和法向量

决定的平面π的方程为：如果设r={x,y,z},平面的坐标式方程，简称法式方程为zxyopMn0rπ（3.1-13）叫做平面的向量式法式方程.(3.1-13)式中r是平面上任意点M的向径。因为所以上式可写成(3.1-14)在上述条件下我们来推导平面的向量式法式方程：取是平面上的单位法向量则有：规定：如果点不在平面上则平面的法向量方向为的方向,如果点在平面上则任取平面的一个方向为法线向量的正向。xyopMn0rπ向量式法式方程2、设向量式的法式方程就变为：则1、设

则坐标式法式方程此处为故大于零,且向量垂直于平面，且是原点到平面的距离xyopMn0rπ一般方程与坐标式法式方程的互化平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程：①一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1；②因为p是原点O到平面π的距离，所以常数根据平面的法式方程的两个特征，我们不难把平面的一般方程(3.1-10),即Ax+By+Cz+D=0化为平面的法式方程.一般方程为：只要在左右两方同时乘以数选定符号后叫法式化因子则：一般方程可以写成：与向量式的法式方程比较可以发现：1、把改为

2、把根据符号改成符号：1、时取符号为负

2、时取符号为正取

乘平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0

可得法式方程

其中的正负号的选取与常数项D(D≠0)相反的符号,当D=0时它的符号可以任意选取,这是因为

在取定符号后叫做法式化因子在直角坐标系下，平面的一般方程的系数为法向量的坐标并且等于原点到平面的距离。平面的一般方程乘上取定符号的λ以后，便可得到平面的法式方程，这个变形就是方程的法式化.

解因为A=3，B=-2，C=6，D=14>0所以取法式化因子将已知的一般方程乘上λ，即得法式方程原点指向平面π的单位法向量为它的方向余弦为原点O到平面π的距离为p=2.作业：P10535（1）6（1）811§3.2平面与点的相关位置Contents一、点与平面的距离二、平面划分空间问题，三元一次不等式的几何意义一、点与平面的距离1.点与平面的离差2.点与平面之间的距离1.

点与平面的离差定义3.2.1一点与平面上的点之间的最短距离，叫做该点与平面之间的距离。π容易看到其实离差的绝对值就是点到平面的距离.离差的符号：（1）当且仅当位于平面π的单位法向量所指向的一侧，即与同向时，离差δ>0;（2）当位于平面π的单位法向量所指向的另一侧，即与反向时，离差δ<0;（3）当在平面上时离差为0.PR证明P点P0

到平面Ax

+By

+Cz

+D=0的距离:(3.2-4)推论22.点与平面的距离设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点，求点P0到平